浅谈矩阵的分解及应用

1、编号：08005110218南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计） 题 目： 浅谈矩阵的分解及应用 完 成 人： xxxx 班 级： 2008-02 学 制： 4 年 专 业： 数学与应用数学 指导教师： xxxxx 完成日期： 2012-03-31 第23页（共22页）目 录摘要(1)0引言(1)1矩阵的秩分解(2) 1.1矩阵的满秩分解的基本概念与定理(2) 1.2矩阵的一般秩分解(3)2矩阵的分解(4) 2.1矩阵的基本概念与定理(4) 2.2矩阵分解的常用方法(7)3矩阵特征值分解(8)4矩阵的和分解(10) 4.1矩阵的和分解(10) 4.2积分解(11)5矩阵分解的实例应用(

2、11)6总结(21)7致谢(21)参考文献(22)abstract(22)浅谈矩阵的分解与应用 摘要：矩阵是数学研究中一类重要的工具之一,有着非常广泛的应用, 矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的秩分解、矩阵的分解、矩阵的特征值分解以及矩阵的和积分解四个方面对矩阵分解方法进行了论述，给出了矩阵分解的几种方法.并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性.关键词: 矩阵分解；秩分解；分解；特征值分解；和积分解；应用0 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为秩分解、分解、特征值分解以及和积分解等几种.矩阵的分解是很重要

3、的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用.本文从矩阵的秩分解、矩阵的分解、 矩阵的特征值分解以及矩阵的和积分解等角度探讨矩阵的分解方法，将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的和或乘积.这样就能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供理论依据. 1 矩阵的秩分解1.1 矩阵的满秩分解基本概念与定理定义1.1 若矩阵的行(列)向量线性无关, 则称为行(列)满秩矩阵. 定义1.2 设是秩为r（r0）的矩阵, 若存在列满秩矩阵和行满秩矩阵,

4、 使得(2.1)则称（2.1）式为矩阵的满秩分解. 定义1.3 设是的矩阵, , 满足1)的前行中每一行至少含有一个非零元素, 且每行第一个非零元素是1, 而后行元素均为0;2)设中的第行的第一个非零元素1位于第列,有；3)的第, , , 列构成阶单位矩阵的前列. 则称为的标准型. 定理1.1 设为任一秩为的矩阵, 则必有满秩分解式, 其中为列满秩的, 为行满秩的. 证明 因为的秩为, 所以存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得若令 ,则为列满秩矩阵, 为行满秩矩阵, 且有.结论成立. 若记, 则有 (2.2)这里(2.2)式也是的满秩分解的一种表示. 定理1.2 任何非零矩阵都存在满秩分解. 证

5、明 设. 则可通过初等变换将化为阶梯形矩阵,即, 且. 于是存在有限个阶初等矩阵的乘积,使得 或者 . 于是.将作相应的分块, , , .则有.其中为列满秩矩阵,为行满秩矩阵. 由于初等行变换有三种变换：1、调换两行; 2、某一行乘以一个非零常数; 3、某一行乘以一个非零常数加到另一行. 实际上只用第三种初等变换方法就可以将其化为阶梯形. 值得指出的是,的满秩分解式为(2.1)与(2.2)并不是惟一的. 现对任一阶可逆方阵, 总有 (2.3)成立，且分别为列满秩矩阵与行满秩矩阵. 因而(2.3)式也是的一个满秩分解式. 定理1.3 设, 且均为的满秩分解, 则1) 存在矩阵,使得,;2) .

6、定理1.4 设是的矩阵, , 其标准型为, 则在的满秩分解中, 可取为由的列构成的的矩阵, 为的前行构成的的矩阵. 定理1.5 矩阵满秩分解的存在性定理1)设,则使用初等行变换可将化为标准型;2) 设, 则存在和, 使得. 1.2 矩阵的一般秩分解定义1.4 任一矩阵，都存在可逆矩阵、，使，其中为矩阵的秩.称形如这样的分解为矩阵的秩分解.定理1.6 秩为的实矩阵都可分解成.证明：由定义2，知存在可逆矩阵、，使得因此，得 得证.定理1.7 秩为的实矩阵可分解成个秩为1的矩阵之和.证明：由定义2，知 存在可逆矩阵、，使得因此，得而秩秩，得证.2 矩阵的分解2.1 矩阵的分解基本概念与定理定义2.1

7、 设是单位列向量,即, 称矩阵为矩阵. 由矩阵确定的上的现线性变换称为变换. 若不是单位向量, 则定义为矩阵, 对应的变换成为变换. 矩阵具有如下性质:1)（对称矩阵）;2)（正交矩阵）;3)（对合矩阵）;4)（自逆矩阵）;5)是阶矩阵;6). 定义2.2 如果实（复）非奇异矩阵能够转化成正交（酉）矩阵与实（复）非奇异上三角矩阵的乘积, 即,则称上式为的分解. 定理 2.1 任何实的非奇异阶矩阵可分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积,且除去相差一个对角线元素之绝对值全等于一定对角矩阵因子外, 分解式是惟一的. 定理2.2 设为复矩阵, 且个列向量线性无关, 则有分解式,其中是复矩阵, 且满足, 是

8、阶复非奇异上三角矩阵, 且除去相差一个对角线元素的矩阵行列式全为1的对角矩阵因子外, 分解式是惟一的. 推论 设为实（复）矩阵, 且其个列向量线性无关, 则存在阶正交（酉）矩阵和阶非奇异实（复）上三角矩阵, 使得定理 2.3 如果在非奇异矩阵的分解中规定上三角阵的各个对角元素的符号, 则的分解式惟一的. 定理 2.4 设为任意的矩阵, 且, 则存在阶正交矩阵与阶正交矩阵, 使得或， 这里为矩阵, 他可以表示为一个准对角矩阵形式:其中是阶的下三角非奇异方阵, 或又称为的正交三角分解. 定理2.5 设, 则存在酉矩阵, 使得, 其中是阶梯型矩阵. 定义2.3 设为阶实可逆矩阵，则可分解为，其中为正

9、交矩阵，为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵.称形如这样的分解为矩阵的qr分解.定理2.6 实矩阵可以分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵及一个正交矩阵的积.即，其中、为正交矩阵，为的秩且，.证明 已知存在可逆矩阵、，使得对、作qr分解，使得，其中、为正交矩阵，、为上三角矩阵，从而有将、分块成与等价标准形能积的形式：、，、为阶方阵.记，由定理1.2，得为实对称的正定矩阵.且有 （1）由定理3.3，得存在阶正交矩阵，使得，其中记，得,从而知为正交矩阵.现令、显然、为正交矩阵.由（1）式，得其中、为正交矩阵，现令，则，且. 得证. 2.2 矩阵分解的常用方法2.2.1 利用矩阵变换将矩阵的列向量一次实

10、施矩阵变换, 简记, 使之化为以具有1个非零元, 2个非零元, 个非零元作为列向量的上三角矩阵, 即若有,则. 2.2.2 利用分解公式设, , 为（列）正交矩阵, 为上三角矩阵, 即,若有分解, 则由, 有, 即, ,得的分解公式:, , ,=1, 2, , .利用对矩阵的列向量进行标准正交化得到, 且2.2.3 利用列初等变换法步骤如下:1)构造矩阵;2)对作初等列变换将化为下三角矩阵, 同时化为列正交矩阵;3)对上述得到的矩阵, 再利用初等列变换化的各列向量为单位向量, 则化为列正交矩阵, 同时, 即. 3 矩阵特征值分解定义3.1 任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中为矩阵的特征值，称形

11、如这样的分解叫做矩阵的特征值分解. 性质3.1 任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其，且为矩阵的特征值.对于对称矩阵有如下结论: 定理3.1 若为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得，其中为矩阵的特征值.证明:由定义1知 存在酉矩阵，使得又由于为阶实对称矩阵，因此从而，得 ,因此 ，得证. 定理3.2 矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵，使得.证明:必要性:因为为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵，使得 ，且，,令 ，则从而有 充分性:因为,则,因此为对称矩阵. 又任意不为零的向量，有令，又为非奇异矩阵,从而知因此,所以为正定矩阵. 得证.定理3.3 设是阶实对称矩阵，则是正定矩

12、阵的充分必要条件是存在正定矩阵，使得，为任意正整数.证明:必要性:因为为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵，使得，且，对任意的正整数，令，则有充分性:由于为正定矩阵，因此对任意的非零向量，有.又，则有即为对称矩阵且有 当为奇数时,又为正定矩阵，因此，即有 为偶数时，又为正定矩阵，因此，即有 从而，知对任意不为零的向量，有.因此是正定矩阵. 得证. 定理3.4 设为一个阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵和一个正交矩阵，使得或.证明：由为正定矩阵，得存在正定矩阵，使得令，则，从而有因此为正交矩阵.且又，同理可证的结论.得证. 4 矩阵的和积分解4.1 和分解定理4.1：任一阶矩阵都可表示成一

13、个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证明:令、，则 知为对称矩阵，为反对称矩阵.且有4.2 积分解定理4.2: 任意方阵可分解为两个对称矩阵之积，其中一个对称矩阵为可逆的.证明：设是任一阶方阵，则存在阶可逆矩阵，使得：.其中：，.取，与阶数相同，.显然有.令，则为阶可逆阵.5 矩阵分解的实例应用例 1 已知是一个矩阵, 则的秩为1, 且它的满秩分解为显然, 分块矩阵例 2 求矩阵的满秩分解. 解 由题可知, , 由定理2.4 可得，其中则对单位下三角矩阵求逆矩阵等于把严格下三角部分元素变号即可.取的前两列构成, 则. 例3 求矩阵的满秩分解. 解 , 且中的第1列和第2列为单位矩阵的前两列, 故例

14、 4 已知, 求的分解. 解 由变换易得令,又,可使从而例5 用正交化方法求矩阵的分解. 解 由已知, 把列向量, , 正交化可得构造矩阵, 则有. 例6 将矩阵分解为形式. 解 取, 则, 用-1乘以第一列加到第二列, 则有,即, 例7 设矩阵，求. 解 对矩阵作如下的初等变换 所以的初等因子为，.所以的标准形为: 从而得 即例8 设为阶实矩阵，为阶单位矩阵.证明：，其中为虚数单位.解 由定理1知:存在可逆的酉矩阵，使得从而有 由于为阶实矩阵，所以的特征多项式为次实多项式，又实多项式的复根是成对共轭出现的，因此的复特征值出是成对共轭出现的.当的所有特征值都不是（或），则的特征值不存在（或）.

15、 则此时 ，且有 ， 而此时 从而得 当的特征值中存在有（或），则一定有一特征值（或）存在.并且有几个（或）存在相应的就有几个（或）存在.又由于 ，从而知 （）中不为零的个数（）中不为零的个数从而可得得证.例9 设是秩为的级矩阵. 证明:存在秩为的方阵和使得.证明 因为是秩为的级矩阵，由性质2得 存在可逆矩阵、，使得现令、，则有得证. 例10 设，求.解 由于，则由性质2，知 其中，则有所以 例11 设为阶矩阵，且，证明：秩+秩.解 由于，则因此 为的化零多项式从而有所以的最小多项式的根只能为-1或1又的特征多项式与最小多项式有相同的根，因此的特征值为-1或1假设的特征值中有个-1（或1），则

16、的另外的个特征值必为-1（或1）.由性质1，知 存在正交矩阵，使得则有 因此同理可得则有从而有秩+秩 得证.例12 设为级矩阵, 求证: (1) 存在正整数使得秩() 秩(); (2) 若存在正整数使得秩()秩(), 则对于任意正整数, 秩()秩(). 证明 由性质,知,存在酉矩阵，使得，其中，且为矩阵的特征值.不妨假设、，则可得，为可逆矩阵，因此对任意的正整数，有， （2）又对任意，且， （3）因此可令，则由（3）式，知 （4）由（4），得对任意的，有 从而由（2）、（4），得秩秩且对任意的正整数，也有秩秩 得证.6 总结本文从矩阵的秩分解、矩阵的分解、矩阵的特征值分解以及矩阵的和积分解四个

17、方面对矩阵分解方法进行了论述，给出了矩阵分解的几种方法. 并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性.让大家对矩阵的分解有了一定的认识.也能够多思维的思考矩阵方面的问题，对解决矩阵类问题有了一定的推动作用.7 致谢本文是在导师王骁力教授的悉心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行，在生活上的默默关心和无私帮助使我受益匪浅，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.参 考 文 献1 王岩,王爱青.矩阵分解的应用j.青岛建筑工程学院学报,2005,26(2):90-93.2 屈立新.关于矩阵的分解形式

18、j.邵阳学院学报(自然科学版),2005.2（3）:4-5. 3 张贤达.矩阵分析及应用m. 北京: 清华大学出版社, 2004. 4 刘慧,袁文燕,姜冬青.矩阵论及应用m. 北京: 化学工业出版社,2003. 5 方保镕,周继东,李医民.矩阵论m. 北京: 清华大学出版社, 2004. 6 刘丁酋.矩阵分析m.武昌: 武汉大学出版社, 2003. 8. 7 廖安平,刘建州.矩阵论m.长沙: 湖南大学出版社, 2005. 7. 8 冯天祥, 李世宏. 矩阵的分解j. 西南民族学院学报20:4（2001） 9 曲茹,王淑华.正交矩阵的正交分解j.高师理科学刊,2001,21(2):19-22.10 史秀英.对称矩阵的分解及其应用j.内蒙古大学报(自然科学(汉文)版),1999,28(4):1-2.11 章朝庆.矩阵qr分解的一种简便求法j.泰州职业技术学院学报，2005,5（4）：41-43on the matrix decomposition and its applications