函数的奇偶性

1、xy0观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特的值是如何体现这些特征的？征的？f(x)=x2f(x)=|x| 对于对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x2为为偶函数偶函数.f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) 一般地，对于函数一般地，对于函数f

2、(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(, 1)(22xxfxxf244)(2) )( )1(xxxfxxf例1、判断下列函数是否为偶函数：解：为偶函数。所以函数)()()()() 1 (44xfxfxxxf)(24xfxx为偶函数。所以函数)(xf24)()()()2(xxxf5)()3(xf5)()(xfxf解：为偶函数。所以函数)(xf注：常值函数都是偶函数。注：常值函数都是偶函数。 观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图

3、象的图象(下图下图)，你，你能发现能发现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 对于对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x为为奇函数奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 注意：注意： 2 2、函数

4、的奇偶性是函数的整体性质；、函数的奇偶性是函数的整体性质；3 3、函数定义域关于数、函数定义域关于数“0”0”对称；对称；4 4、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x) 成立成立. . 若若f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(-x)=f(x)成立成立. .1 1、任意一个、任意一个x x，只满足，只满足f(-2)=f(2)f(-2)=f(2)不一定是偶函数；不一定是偶函数；例2、判断下列函数的奇偶性： 0)()4( 32)( )3(1)(2) )( )1( 25xfxxfxxfxxf（1）奇函数）奇函数（2

5、）偶函数）偶函数（3）既不是奇函数又不是偶函数）既不是奇函数又不是偶函数（4）既是奇函数又是偶函数）既是奇函数又是偶函数(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断、再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒是否恒成立成立. 3 , 1,)() 6 ( 1)() 5 (0)() 4( 5)() 3 () 2( 1)() 1 (2xxxfxxfxfxfxxxf判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：2)( xxf(1)奇非偶函数奇非偶函数(2)偶非奇函数偶非奇函数(3)既奇又偶函数既奇又偶函数(4)非奇非偶函数非奇非偶函数注注： (

6、1)若奇函数在原点处有定义，则有若奇函数在原点处有定义，则有f(0)=0; (2)既奇又偶函数表达式是既奇又偶函数表达式是f(x)=0, xA A (1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数个函数为奇函数.(2)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那轴对称，那么这个函数为偶函数么这个函数为偶函数.说明：说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： A、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性已知 （1）若 为偶函数，则_ cbxaxxf2)()(xf（2）若 为奇函数，则_ )(xfb=0a=c=01、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)= -f(x) f(x)为奇函