自相关函数与偏自相关函数

1、自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程中的每一个元素，t = 1, 2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表示，即，随机过程的取值将以 m 为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量，用来度量随机过程取值对其均值的离散程度。相隔k期的两个随机变量与的协方差即滞后k期的自协方差，定义为： 自协方差序列：，称为随机过程的自协方差函数。当k = 0 时，。自相关系数

2、定义： 因为对于一个平稳过程有： 所以，当 k = 0 时，有。 以滞后期k为变量的自相关系数列（）称为自相关函数。因为，即= ，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。2、自回归过程的自相关函数 （1）平稳ar(1)过程的自相关函数ar(1) 过程：，|f1| 1。已知（why?）。用同乘上式两侧上式两侧同取期望：其中（why?）（由于xt = ut + f1 ut-1 + f12 ut-2 + ，所以xt-k = ut-k + f1 ut-k-1 + f12 ut-k-2 +，而ut是白噪音与其t - k期及以前各项都不相关）。两侧同除 g0 得：因为ro =

3、1，所以有（） 对于平稳序列有 | f1| f1 0 -1f1 1情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如下图。 f1 = 1.1（强非平稳过程） f1 = 1（随机游走过程）（2）ar(p) 过程的自相关函数用(k 0) 同乘平稳的 p阶自回归过程 的两侧，得：对上式两侧分别求期望得：，k 0 用 g0分别除上式的两侧得yule-walker方程： rk = f1 rk -1 + f2 rk -2 + + fp rk -p ， k 0 令，其中l为k的滞后算子，这里, i = 1, 2, , p 是特征方程的根。为保证随机过程的平稳性，要求。则：，也即。 可证：（*）其中ai, i = 1,

4、 ，p 为待定常数。（提示：可把（*）式代入到yule-walker方程中证明）由（*）式知道会遇到如下几种情形。 当为实数时，（*）式中的将随着k 的增加而几何衰减至零，称为指数衰减。 当和表示一对共轭复数时，设，= r，则, 的极座标形式是：若ar(p) 过程平稳，则，所以必有r 1 时， 综合以上三种情形，ma(1)过程自相关函数为 rk = = q1 0 q1 1时，rk = 0。 （2） ma(q) 过程的自相关函数 ma(q) 过程的自相关函数是 rk = 当k q 时，rk = 0，说明 rk , k = 0, 1, 具有截尾特征。例如，对于ma(2) 过程，自相关函数是 r1=

5、, r2=, rk = 0, k 2。 4、 arma (1, 1) 过程的自相关函数arma (1, 1) 过程的自相关函数rk 从 r1开始指数衰减。r1的大小取决于 f1和 q1, r1的符号取决于 (f1 -q1 )。若 f1 0，指数衰减是平滑的，或正或负。若 f1 0，相关函数为正负交替式指数衰减。对于arma (p, q) 过程，p, q 2时，自相关函数的表现形式比较复杂，可能是指数衰减、正弦衰减或二者的混合衰减。 5、相关图（correlogram，或估计的自相关函数，样本自相关函数） 对于一个有限时间序列（x1, x2, , xt）用样本平均数 = 估计总体均值 m，用样本

6、方差 s2 = 估计总体方差sx2。当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图或估计的自相关函数，记为 rk =, k = 0, 1 , 2, , k, ( k 1时，。所以ar(1)过程的偏自相关函数特征是在k = 1出现峰值（f11 = r1）然后截尾。f11 0 f11 2时，。偏自相关函数在滞后期2以后有截尾特性。对于ar(p)过程，当k p时，；当k p时，。偏自相关函数在滞后期p以后有截尾特性，因此可用此特征识别ar(p)过程的阶数。对于ma(1)过程=+ q1 ut-1，有 1/ (1+ q1 l)=， (1- q1 l + q12 l2 - )=， = q1 x t-1 - q12 x t-2 +q13 x t-3 - +