中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质(含详细参考答案)

1、2019年中考数学专题复习第六章 圆第二十二讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段 oa绕它固定的一个端点 。旋转一周， 另一个端点a随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段oa叫做描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的 叫做弦弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 三类 3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线 都是它的对称轴中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3

2、、圆不仅是中心对称图形， 而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径 ,并且平分弦所对的 。2、推论：平分弦（）的直径 ,并且平分弦所对的 。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直 于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那 么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】、圆心角、弧、弦之间的关系:1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角2、定理：在

3、中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它 们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是 在同圆或等圆中1四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这 条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 , 900的圆周角所对的弦是一 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，是一类，它们的关系是 , 2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所

4、有顶点都在圆上，这个多边形叫做 , 这个圆叫做 。性质：圆内接四边形的对角 。【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 1【重点考点例析】考点一：垂径定理例1 （2018年感）已知。的半径为10cm, ab, cd是。的两条弦，ab /cd , ab=16cm, cd=12cm,则弦ab和cd之间的距离是 cm.【思路分析】分两种情况进行讨论：弦ab和cd在圆心同侧；弦ab和cd 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可， 小心别漏 解.【解答】解：当弦ab和cd在圆心同侧时，如图，. ab=16cm, cd=12cm, .ae=8cm, cf=6cm, .oa=oc=

5、10cm,eo=6cm, of=8cm,ef=of-oe=2cm；当弦ab和cd在圆心异侧时，如图,. ab=16cm, cd=12cm, .af=8cm, ce=6cm, .oa=oc=10cm,of=6cm, oe=8cm,ef=of+oe=14cm.ab与cd之间的距离为14cm或2cm.故答案为：2或14.【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解.考点二：圆周角定理例 2 (2018浊庄)如图，在 rtaacb 中，/ c=90 , ac=3cm, bc=4cm,以bc为直径作。交ab于点d .(1)求线

6、段ad的长度；(2)点e是线段ac上的一点，试问：当点e在什么位置时，直线ed与。o 相切？请说明理由.【思路分析】(1)由勾股定理易求得ab的长；可连接cd,由圆周角定理知 cdxab,易知用cdsabc,可得关于 ac、ad、ab的比例关系式，即可 求出ad的长.(2)当ed与。相切时，由切线长定理知 ec=ed,则/ecd=/edc,那么 / a和/dec就是等角的余角，由此可证得 ae=de,即e是ac的中点.在证 明时，可连接od,证odlde即可.【解答】解：(1)在 rtaacb 中，. ac=3cm, bc=4cm, / acb=90 , . .ab=5cm；v bc为直径，

7、. / adc= / bdc=90 ;./a=/a, /adc=/acb, rtaadcsrtaacb ;.ac adac2 9一 , ad =-;ab acab 5(2)当点e是ac的中点时，ed与。o相切；证明：连接od,.de是rt丛dc的中线；ed=ec, ./ edc=/ecd;.oc=od, ./ odc=/ocd; ./ edo=/edc+/odc=/ecd+/ocd=/acb=90 ; edxod, ed与。o相切.【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的 性质、切线的判定等知识.【备考真题过关】 一、选择题1. （2018才目山区）如果两个圆心角

8、相等，那么（）a.这两个圆心角所对的弦相等b.这两个圆心角所对的弧相等c.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等d.以上说法都不对2. （2018?长家界）如图，ab是。的直径，弦 cdxab于点e, oc=5cm,a. 8cmcd=8cm,贝u ae=（）d. 2cmb. 5cmc. 3cm3. （2018?临安区）如图，。的半径oa=6,以a为圆心，oa为半径的弧交 。于 b、c 点，则 bc=（）a, 673b, 672c. 3a/3d. 3724. （2018忿庄）如图，ab是。的直径，弦cd交ab于点p, ap=2, bp=6,/ apc=30 ,则cd的长为（）a.辰c. 2斤b. 2亚

9、d. 85. （2018公山）九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问 径几何？ ”译为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木 材，锯口深1寸（ed=1寸），锯道长1尺（ab=1尺=10寸）”，问这块圆形木 材的直径是多少？ ”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 ac是（）a. 13 寸b. 20 寸c. 26寸d. 28 寸6. （2018?城）如图，。中，弦bc与半径oa相交于点d,连接ab,oc.若 / a=60 ,

10、 / adc=85，则 / c 的度数是（）d. 35a. 25b. 27.5 c. 30sac7. （2018利泽）如图，在。中，ocab, /adc=32 ,则/ oba的度数是a. 64b. 580c. 32d. 2608. (2018?白银)如图，。a 过点 o (0, 0) , c (v3 , 0) , d (0, 1),点 b是x轴下方。a上的一点，连接bo, bd,则/obd的度数是（）a. 15b. 300c. 45d. 6009. (2018跳锦)如图,a. 15。0 中，oabc, /aoc=50b. 25,则/adb的度数为（）c. 300d. 50010. （2018所

11、宁）如图，点 b, c, d 在。上，若/ bcd=130 ,则/ bod 的度数是（）a. 50b. 60c. 800d. 10011. （2018油充）如图，bc是。的直径，a是。上的一点，/ oac=32 ,则/b的度数是（）a. 580b. 600c. 64d. 68012. （2018*新）ab是。o的直径，点c在圆上，/ abc=65 ,那么/ oca的度数是（）a. 25b. 350c. 15d. 200、填空题13. （2018?随州）如图，点 a, b, c 在。上，/a=40 度，/c=20 度，则 /16. （2018北林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一

12、宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是cm.“酒”16”（单位：cm）,请你帮小华算出圆盘的半径是17. （2018?吾州）如图，已知在。中，半径oa=t2,弦ab=2, /bad=18 ,od与ab交于点c,则/ aco=度.18. （2018淅:州）如图，ab是。的直轻，点c是半径oa的中点，过点c作dexab ,交。于d, e两点，过点d作直径df,连结af,则/ dfa=.19. （2018*林）如图，a,b,c,d 是。上的四个点，ab ?c，若/aob=58 ,则/bdc=度.20.如图，点a、b、c都在oo, oclob,点a在劣弧be上，且

13、oa=ab , 贝叱abc=.21. （2018狗南）如图，在平面直角坐标系中，点 a的坐标是（20, 0）,点b 的坐标是（16, 0）,点c、d在以oa为直径的半圆m上，且四边形ocdb是 平行四边形，则点c的坐标为.o m 工三、解答题22. （20182t昌）如图，在9bc中，ab=ac ,以ab为直径的圆交 ac于点d,交bc于点e,延长ae至点f,使ef=ae,连接fb, fc.（1）求证：四边形abfc是菱形；（2）若ad=7, be=2,求半圆和菱形abfc的面积.2019年中考数学专题复习第六章 圆第二十二讲圆的有关概念及性质参考答案【备考真题过关】一、选择题1 .【思路分析

14、】根据圆心角定理进行判断即可.【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等， 所对的弦的弦心距相等.故选：d.【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.2 .【思路分析】 根据垂径定理可得出ce的长度，在rtzxoce中，利用勾股定理 可得出oe的长度，再利用ae=ao+oe即可得出ae的长度.【解答】解：二.弦cdxab于点e, cd=8cm, ce=1cd=4cm.2在 rtace 中，oc=5cm, ce=4cm,. oe= joc2 ce2 =3cm,ae=ao+

15、oe=5+3=8cm .故选：a.【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出oe的长度是解题的关键.3 .【思路分析】 根据垂径定理先求bc 一半的长，再求bc的长.【解答】解：设oa与bc相交于d点.v ab=oa=ob=6.oab是等边三角形.又根据垂径定理可得，oa平分bc, 利用勾股定理可得bd j62 32 3m ,所以bc=6*.故选：a.【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理.4 .【思路分析】作oh lcd于h,连结oc,如图，根据垂径定理由ohlcd得 至ij hc=hd,再禾i用ap=2, bp=6可计算出半径oa=4, wj op=oa-ap

16、=2 ,接着 在rtaoph中根据含30度的直角三角形的性质计算出 oh=1op=1,然后在2rtaohc中利用勾股定理计算出 ch= j15,所以cd=2ch=2，i5 .【解答】解：作ohlcd于h,连结oc,如图， .ohxcd, .hc=hd, .ap=2, bp=6, . ab=8, .oa=4, .op=oa-ap=2,在 rtoph 中，./ oph=30 ,. / poh=60.oh=1op=1, 2在 rtahc 中，. oc=4, oh=1,ch ，oc2 oh2 幅,cd=2ch=2/5 .故选：c.【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的

17、两条弧.也考查了勾股定理以及含 30度的直角三角形的性质.5.【思路分析】 设。的半径为r.在rtzdo中，ad=5, od=r-1 , oa=r,则 有r2=52+ (r-1) 2,解方程即可；【解答】解：设。o的半径为r.在 rtaado 中，ad=5, od=r-1 , oa=r,则有 r2=52+ (r-1) 2,解得r=13,.oo的直径为26寸，故选：c.【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建 方程解决问题，属于中考常考题型.6.【思路分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出/b以及/odc度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案

18、.【解答】解：v z a=60 , /adc=85 ,/ b=85 -60 =25 , / cdo=95 , ./aoc=2/b=50 , ./ c=180 -95 -50 =35故选：d.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出/aoc度数是解题关键.7.【思路分析】根据垂径定理，可得ac ?c , /oeb=90 ,根据圆周角定理， 可得/3,根据直角三角形的性质，可得答案.【解答】解：如图，由 oclab，得 ac bc , / oeb=90 . /2=/3.z2=2z1=2x32=64 .在 rtabe 中，/ oeb=90 , ./ b=90-/3=90

19、-64 =26 , 故选：d.【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出ac bc , /oeb=90是解 题关键，又利用了圆周角定理.8.【思路分析】 连接dc,利用三角函数得出/ dco=30 ,进而利用圆周角定理 得出/ dbo=30即可.【解答】解：连接dc,c(邪,0) , d (0, 1), ./ doc=90 , od=1, oc=b丁. / dco=30 ,丁. / obd=30 ,故选：b.【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出/ dco=30 .10.【思路分析】首先圆上取一点a,连接ab, ad,根据圆的内接四边形的性 质，即可得/ bad+/bcd=18

20、0 ,即可求得/ bad的度数，再根据圆周角的性 质，即可求得答案.【解答】解：圆上取一点a,连接ab, ad,点 a、b, c, d 在。0 上，/ bcd=130 ,丁. / bad=50 , ./ bod=100 ,故选：d.【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质.此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法.11 .【思路分析】 根据半径相等，得出oc=oa,进而得出/ c=32。，利用直径和 圆周角定理解答即可.【解答】: voa=oc,. ./c=/oac=32 ,v bc是直径，/ b=90 -32 =58,故选：a.【点评】此题考查了圆周角的

21、性质与等腰三角形的性质.此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用.12 .【思路分析】 根据直径得出/ acb=90 ,进而得出/ cab=25 ,进而解答即 可.【解答】解：:ab是。的直径， ./acb=90 ,/abc=65 ,丁. / cab=25 , v oa=oc, ./oca=/cab=25 ,故选：a.【点评】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键.、填空题13.【思路分析】连接oa,根据等腰三角形的性质得到/ oac=/c=20,根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：如图，连接oa,. oa=oc, ./ oac=/c=20 ,丁. / oab=60 ,

22、v oa=ob , / b=/ oab=60 ,故答案为：60.【点评】本题考查的是圆周角定理的运用， 掌握圆的半径相等、等腰三角形的性 质是解题的关键.14 .【思路分析】连接cb,作cb的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出 点o的坐标即可.【解答】解：连接cb,作cb的垂直平分线，如图所示：在cb的垂直平分线上找到一点 d, cd db da 32 12 =而 ,所以d是过a, b, c三点的圆的圆心，即d的坐标为（-1, -2）,故答案为：（-1, -2）,【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置.15 .【思路分析】 连接oc,由垂径定理知，点e是cd的中点，ae=

23、cd,在 直角9ce中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可.【解答】解：连接oc, 鼻.ab 为。的直径，abxcd, ce=de= cd= _ 6=3, 22设。o的半径为xcm,则 oc=xcm, oe=ob-be=x-1 ,在 rtace 中，oc2=oe2+ce2,.x2=32+ (x-1) 2,解得：x=5,.。0的半径为5,故答案为：5.【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解， 熟练掌握并应用定理是解题的关 键.16.【思路分析】先利用垂径定理得，bd=6,再利用勾股定理建立方程求解即可 得出结论.【解答】解：如图,记圆的圆心为o,连接ob, oc交ab于d,oc

24、xab, bd=-ab , 2由图知，ab=16-4=12cm, cd=2cm,；bd=6,设圆的半径为r,则od=r-2, ob=r,在rtabod中，根据勾股定理得，ob2=ad2+od2,r2=36+ (r-2) 2,. . r=10cm,故答案为10.【点评】此题主要考查了垂径定理的应用， 勾股定理，构造出直角三角形是解本 题的关键.17 .【思路分析】 根据勾股定理的逆定理可以判断 小ob的形状，由圆周角定理 可以求得/ bod的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求 得/ aoc的度数.【解答】解：. oa= 72 , ob= 72 , ab=2 ,. .oa2+ob

25、2=ab2, oa=ob,.aob是等腰直角三角形，/ aob=90 ,丁. / oba=45 ,z bad=18 ,丁. / bod=36 , ./aco=/oba+/bod=45 +36 =81 ,故答案为：81.【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本 题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.18 .【思路分析】利用垂径定理和三角函数得出/ cdo=30，进而得出/ doa=60 , 利用圆周角定理得出/ dfa=30即可.【解答】解：二点c是半径oa的中点，oc=1od, 2v dexab,丁. / cdo=30. / doa=

26、60丁. / dfa=30 ,故答案为：30【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用垂径定理和三角函数得出/ cdo=30 .19.【思路分析】 根据/ bdc= - / boc求解即可；2【解答】解：连接oc.: ab bc ,. / aob= / boc=58 , 1 ./ bdc=1 /boc=29 ,故答案为29.【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.20.【思路分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可.【解答】解：v oa=ob , oa=ab ,oa=ob=ab ,即4ab是等边三角形， ./aob=60 , .ocxob,丁. / cob=