常见不等式通用解法

1、常见不等式通用解法总结一、根底的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 根底一元二次不等式如2x2 x 6 0， x2 2x 1 0，对于这样能够直接配方或者因式分解的根底一元二次不 等式，重点关注解区间的“形状。当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时，解区间为两根的中间。2x2 x 6 0 的解为(-,2)2当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时，解区间为两根的两边。x2 2x 1 0 的解为(，1 2)(1 2,)当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 可化为类似一元二次不等式的不等式(换元)如3x 1 9x 2，令t 3x，原不等式就变为

2、t2 3t 2 0，再算出t的范围，进而算出x的 范围又如x2 ax4 -，令t x2，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集2 含参数的一元二次不等式解法步骤总结：序号步骤1首先判定二次项系数是否为0,为0那么化为一元一次不等式，再分类讨论2二次项系数非0,将其化为正的，讨论 判别式的正负性，从而确定不等式的解 集3假设可以直接看出两根，或二次式可以因 式分解，那么无需讨论判别式，直接根据 不同的参数值比拟两根大小4综上，写出解集如不等式x2 ax 1 0 ,首先发现二次项系数大于 0,而且此不等式无法直接看出两根, 所以，讨论a2 4的正负性即可。0,R此不等式的解集为0,xR|x -2a

3、. a2 4a a240,(,2 )(2 ,)又如不等式x2 (a2 a)x a3 0,发现其可以通过因式分解化为(x a)(x a2) 0，所以只 需要判定a2和a的大小即可。a 0or a 1,x R | x a此不等式的解集为0 a 1,(,a2) (a,)2a 0or a 1,(,a) (a ,)又如不等式ax2 2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成(ax 2)( x 2) 0，然后开始判断两根-和2的大小关系，这样做是有问题的。a事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。讨论完a 0的情况再讨论a 0和a 0的

4、情况。所以此不等式的解集应该是： 注意，a 0和a 0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式这种问题的一般形式是(x aj(x a2)(x a3).(x a.) 0 (或，)步骤： 将不等式化为标准式，一段为 0，另一端为一次因式的乘积(注意！系数为正)或二 次不可约因式(二次项系数为正)。 画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。例如，求不等式(x 1)(x 2)( x 3)(x 4) 0的解集，画出图如下，发现解集为(,1)(2,3)(4,)为什么数轴标根法是正确的

5、呢对于不等式(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0来说，要满足四项相乘为正，说明四项均正，解集为(4,)两正两负，只能是(x 1),(x 2)正，(x 3),(x 4)负, 此时解集为(2,3)四项均负，解集为(,1)。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左 侧有奇数项的时候同理。由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错 误的。注意，这种方法要灵活使用，假设不等式为(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0，使用数轴标根法得 到的解集显然和上述不一样，因为(x 1)2是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线时，可 以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿

6、。(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4)0 的示意图见下。三、解分式不等式分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为竺 0 (或g(x),的形式)，此时解f(x)g(x) 0就可以解出原不等式的解集。特别地，假设要解 他0,那么解f(x)g(x) 0即可。g(x)g(x) 02例如81，移项化简得x 2 3x 2 0，使用穿针引线法得到解集为x x 6x x 6x|x 2或1 x 2或x 3，一定要注意 分母不为零，而分子可以为零例：一道比拟复杂的题，求a(x 1(a 1)的解集，现写出此

7、题的完整解题过程x 2解：原不等式通过移项通分可化为y 0，由于a 1，所以可以进一步化为a 20，两根为2和2a 1(a 1)(x)a 1 r2当a 1时，解集为两根的两边，显然有 2，所以此时解集为(，电二)(2,) a 1a 1当a 1时，解集为两根中间，此时必须根据 a的取值判断两根范围。 当0 a 1时，2，此时解集为(2,)a 1a 1 当a 0时，匚2，此时解集为a 1 当a 0时，-2 2，此时解集为(a,2)a 1a 1至此，a的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了当然，如果这道题不给a 1的限制条件，只需要再讨论一下a 1时的解集情况即可。 补充内容：一类经典但易

8、错的分式不等式问题 求1 1的解集x 求1 1的解集x 求11的解集x 求11的解集x 求3 1 2的解集x解答：(0,1)(，0)(1,)(1,0)(，1) (0,)( 丄)(-)，注意的，32区别四、绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题思想为 直接脱去绝对值符号f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)， f (x) g(x) f(x) g(x)或 f (x) g(x) 构造函数，数形结合 在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见) 平方法(不等式两边都是非负时才能用，慎用)的图像如下，然后分类例：图形法某经典问题，解不等式1 1 a，先画出f

9、(x) 1x讨论a的取值，通过观察y f (x)和y a的图像，来确定不等式的解集情况当a 0时，y f(x)的图像在y a的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解 当a 1时，y f (x)的图像与y a的图像交点为(-,1)，此时的解集为(-,)2 2 当0 a 1时，y f(x)的图像与y a的图像交点横坐标为L,L，此时解集为(,L)1 a 1 a1 a 1 a 当a 1时，y f(x)的图像与y a的图像交点横坐标为L,L，此时解集为1 a 1 aa),(当然此题使用f (x) g(x) g(x) f(x) g(x)也可以做，化成a 1 1 a，只是在讨论的x时候需要细心，考

10、虑到a的所有取值。绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧例如x 1 x 25，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论 当x 1时，原不等式化为2x 1 5，解得x 2 当2 x 1时，原不等式化为3 5，显然无解 当x 2时，原不等式化为1 2x 5，解得x 3综上，原不等式的解集为三种情况下的并集(注意，为什么是并集而不是交集) (,32,)技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将 x 1看成数轴上点x到点1的距离，将x 2看成x到-2的距离，假设画出数轴，发现位于区间2,1的点(绿色点)到区间端点的距离之和为3，位于区间2,1之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之 和为5，所以令x继续远离区间2,1，发现距离之和大于5。也就是说x 1 x 2的取值范围是3,同理，遇到减号的情况，例如x 3 x 1，发现其取值范围是4,4此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。例1：假设存在实数x使得不等式x 1 x a 1成立，那么a的取值范围是 (答案2,0)例2:不等式x 2 x 12的解集是 _