天津高考理科数学试题及答案

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第U卷(非选择题)两局部，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第U卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试 用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷考前须知：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每题5分，共40分。 参考公式：-如果事件A, B相互独立，那么 p

2、(ab=p(a)P(B).球的体积公式V = 4二R3.3其中R表示球的半径.如果事件A, B互斥，那么P(AU B)=P(A)+P(B).棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.(1) 设集合 A 二1,2,6, B 二2,4, C 二x R | 一仁 x 乞5，那么(AUB)nC 二(A) 2( B) 1,2,4 (C) 1,2,4,6 (D) x R |-仁 x 冬 50x + y 0,(2) 设变量x,y满足约束条件x 马-2-0,那么目标函数z = x，y的最大值为x 0,.心，2 3(A)

3、- (B) 1 (C) 3(D) 33 2(3) 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，假设输入 N的值为24,那么输出N的值为(A) 0 ( B) 1( C) 2( D) 3(4) 设R，那么“ | 一 -卜上是“ sin -:- 的12 12 2(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2 2(5) 双曲线 笃一每=1(a 0,b 0)的左焦点为F,离心率为-2.假设经过F和P(0, 4)两a b点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为(A)x22 2(B)刍七=1 (C)2=1 (D)(6)奇函数 f (x)在 R 上是增函数，g(x)

4、=xf(x).假设 a =g(-log25.1)， b=g(2.8)， c=g (3)，那么a，b，c的大小关系为(A)a :b :c (B)c : b : a(C)b ： a : c(7)设函数 f (x) =2sin( x J，(D)b ： c ： aX，R，其中 .0，|：二.假设 f()=2， f ()=0，且 f (x)8 8的最小正周期大于2二，那么2(A)=，31224(B)11兀1U-，(C) - J，( D) J，3123243x2 x 3,x -1,(8)函数f (x)二 2 X + 一，X 1.L x设R，假设关于x的不等式f (x)-a|在R上恒成立,2那么a的取值范围

5、是(A)一辭(B)-卑冷(C) -2屁(D)吨考前须知：1 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2 本卷共12小题，共110分。二. 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.(9) a. R , i为虚数单位，假设 1为实数，那么a的值为2 +i(10) 一个正方体的所有顶点在一个球面上，假设这个正方体的外表积为18，那么这个 球的体积为(11) 在极坐标系中，直线4 2OSC) 1 = 0与圆r = 2 si n的公共点的个数为6(12) 假设a,b乏R，ab 0，那么a *4b的最小值为.ab(13) 在厶 ABC 中，/ A=60，AB = 3，AC = 2.假设 二 2DC，

6、- ABC R)， 且 Ad A? = /，那么九的值为.(14) 用数字1，2, 3，4, 5, 6, 7, 8, 9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.(用数字作答)三. 解答题：本大题共6小题，共80分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题总分值13分)在厶ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a,b,c.a b , a=5,c = 6 , si nB=.5(I)求b和si nA的值；(U)求 sin(2A - J 的值.416. (本小题总分值13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立， 且在各路口遇到红

7、灯 的概率分别为丄,1,1.2 3 4(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(U)假设有2辆车独立地从甲地到乙地，求这 2辆车共遇到1个红灯的概率.(17)(本小题总分值13分)如图，在三棱锥P-ABC中, PA丄底面ABC上BAC=90点D, E, N分别为棱PA PC, BC 的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4, AB=2.(I)求证：MN/平面BDE(U)求二面角 GEMN的正弦值;(E)点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为丄,求线段AH的长.2118.(本小题总分值13分)an为等差数列，前n项和为Sn(N )，bn是首

8、项为2的等比数列，且公比大于0， b2 b3 = 12 , b3 = a4 -2冃，S11 =11b4.(I)求an和bn的通项公式；(U)求数列a2nb2nj的前n项和(n n ).(19)(本小题总分值14分)221设椭圆X2 占=1(a b 0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为一 A是抛物线 ab21y2 = 2 px( p - 0)的焦点，F到抛物线的准线I的距离为2(I )求椭圆的方程和抛物线的方程；(II )设I上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B ( B异于点A )，直线BQ6与x轴相交于点D .假设 APD的面积为6 ,求直线AP的方程2(20)(本小题总分值1

9、4分)设a Z，定义在 R上的函数f (x) =2x4 3x3-3x2-6x a在区间(1,2)内有一个零点Xo，g(x)为f (x)的导函数(I)求g(x)的单调区间；(U)设 m 1,xo)U(Xo,2，函数 h(x) =g(x)(m -Xo) - f (m)，求证：h(m)h(x) ： 0 ;(川)求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且卫 1,x)U(X0,2,满q足丨P -沧丨17 q Aq天津理数答案1-4BDCA?5-8BCAA 9.?2 10.12.411.2713.3石；14.108015. (I)解：在 ABC中，因为a b，故由sinBI，可得cosB备由

10、及余弦定3.13一 13理，有b2二 a.故 sin(2 A + n) = sin 2Acos + cos2Asin n = c2 -2accos B=13，所以 b = . 13 .a basin B由正弦定理，得sin A =-sin A sin Bb所以，b的值为.13 ,sin A的值为3卫13(U)解：由(I)及2cos2A =1 -2sin A =a :： c，得 cos A 二一:，所以 sin 2A 二 2sin Acos A 二一，1313P(XP(X11111111=1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2342342-1111111111=2)

11、= (1 ) (1 ) (1 )-23 4 234 2 344112424P(X所以，随机变量X的分布列为0123随机变量X的数学期望E(X)=0 f f 吧嚼(U)解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，那么所求事件的概率为P(Y =1Z ) =P( =Y 0=1 11 11 1 11=x + X= 4 24 24 4 48 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.48(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等根底知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力 . 总分值13分.如图，以A为原点，分别以A

12、B，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐 标系.依题意可得A( 0, 0, 0)，B( 2, 0, 0)，C( 0, 4, 0)，P( 0, 0, 4)，D( 0, 0, 2)，E( 0, 2, 2)，M(0, 0, 1), N (1, 2, 0).(I)证明：DE = (0, 2, 0) , DB= (2, 0, 2 ).设 n= (x,y,z)，为平面 BDE的法向量， 那么 P =0，即 py.不妨设 z=1 ,可得 n= (1,0,1).又 MN =( 1,2,1)，可得 MN n = 0.n DB =0 2x -2z =0因为MN亿平面BDE所以MW平面BDE(U)解

13、：易知m =(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向量， 那么卜雲=0，因为EM =(0, 2,1), MN =(1,2,1)，所以严-0 .不妨设y=1，可得% MN =0x 2y_z=0n1 n&4于是 sin： n1,鹿二二0521业=(-4,1, -2).因此有 cos： n1, n2|n11| n21V21所以，二面角C-EM-N的正弦值为10521(川)解：依题意，设 AH=h( 0 M 乞4)，那么 H(0, 0, h),进而可得 NH =(-1,-2,h),忑=(-2,2,2).5 2、321由，得g扁訂盘二2二斗，整理得10宀2巾2 ，

14、解得h ，或 h 二丄.52所以，线段AH的长为8或丄.5218【解析】(I )设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q. 由 b2 b3 =12，得 bi(q q212，而 0=2，所以 q2 q -6 =0. 又因为q 0，解得q =2.所以，0 =2n.由 b3 -a2a1，可得 3d =8 .由 1=11b4，可得 a1 5d =16 ，联立，解得a-i = 1 ， d = 3，由此可得an = 3n-2.所以，数列an的通项公式为an =3n-2,数列bn的通项公式为b 2n.(II )解：设数列a2nb2nJ的前n项和为Tn，由 a?n = 6n 2， b2n 二=2 4

15、，有 a2nb2n j = (3n -1) 4 ，故Tn =2 4 5 42 8 43 |)| (3n -1) 4n，4Tn =2 42 5 43 8 44 | (3n -4) 4n (3n -1) 4n 1，上述两式相减，得-3Tn =2 4 3 42 3 4_|3 4n - (3n-1) 4“得 Tn 二泌2 4n1 8所以，数列a2nb2n的前n项和为4n 1 8319.解：设F的坐标为(0).依题意，3 卫-a2 _a，1 1a_c=1，解得a，P =2，于是 b2 二 a2c2 二-4所以，椭圆的方程为八乎“，抛物线的方程为y2 = 4x.(U)解：设直线AP的方程为x二my T(m

16、 = 0)，与直线I的方程x = -1联立，可得点P(-1,-Z)，故Q(-1,Z).将my 1与x2=1联立，消去x，整理得mm33m2 42-3m 4-6 m(3m2 4) y2 6my二0，解得y = 0，或y二一.由点B异于点A，可得点2B(詁,斗).由Q(T,m)，可得直线BQ的方程为(-6 m(2 ；3m 42-3m 43m241)(y 一？)=0，令 y =0，解得m22 3mx厂3m 2，故D(22 -3m3m22,0).所以阳亠紆咲肌.又因为 APD的面积为，故i肥魚冷，整理得3m2 -2、6|m| *2=0，解得| m |-，所以m 6 .3 3所以，直线AP的方程为3x

17、.、6y_3 =0，或3x 、6y3 = 0.20. (I)解：由 f (x) = 2x4 3x3 -3x2 -6x a，可得 g(x) = f (x) = 8x3 9x2 - 6x - 6，1进而可得 g (x24x2 18x -6.令 g(x) =0，解得 x=-1，或 x .4当x变化时，g (x), g(x)的变化情况如下表：x+-+/ 1 一 1 所以，g(x)的单调递增区间是-1)， (_, ：)，单调递减区间是(-1,).4 4(U)证明：由 h(x) = g(x)(m -x) - f (m)，得 h(m)二 g(m)(m - x) - f (m)，h(x) =g(x)(m -x

18、) - f (m).令函数 H,x) =g(x)(x-x。)- f(x)，那么 H,(x) =g (x)(x-x).由(I)知，当 x 1,2时, g (x) 0，故当 x 1,x。)时，H1(x) ：0, Hx)单调递减；当 x (x),2时，H；(x) 0，Hx)单调递增.因此，当x引1,x)U(X0,2时，Hdx)A已(怡)=f(x )= 0可得 H1 (m) - 0 即 h (m )0令函数 H2(x) =g(x)(x -x) - f (x)，那么 H2 (x) =g(x) -g(x).由(I)知，g(x)在1,2 上单调递增，故当1,x。)时，H2 (x) 0， H2(x)单调递增；当X(x0,2时，H2(x) ：0, H2(x)单调递减.因此，当 x 1,x)U(x0,2时