导数与零点含答案

1、J | A 零占八、考点一。求参数取值范围(1) 设函数f(x) x3 x2 6x a,假设方程f (x) 0有且仅有一个实根，求a的取值范围.解： f(x) 3x2 9x 6 3(x 1)(x 2),因为当 x 1 时，f(x) 0;当 1 x 2 时,f(x) 0;当5x 2时，f (x) 0;所以当x 1时，f (x)取极大值f (1) - a;当x 2时，f(x)取极小值f (2)2 a;-故当f(2) 0或f(1) 0时方程f(x) 0仅有一个实根.解得a 2或a -.2(2) 函数f(x) x3 3ax 1,( a 0),假设f (x)在x1处取得极值，直线y=m与y f(x) 的

2、图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。解：f(x) 3x2 3a 3(x2 a),因为f (x)在x 1处取得极大值，所以 2f ( 1) 3(1) 3a 0, a 1.所以f(x) x3 3x 1, f(x) 3x2 3,由f(x) 0解得人 1丸 1。f (x)在x 1处取得极大 值 f( 1) 1 ,在x 1处取得极小值f(1)3，又直线y m与函数yf (x)的图象有三个不同点，贝U m的范围是(3,1)。(3) 函数f (x) x2 xsinx cosx，假设曲线y f (x)与直线y b有两个不同的交点，求b 的取值范围.解：由 f (x) x2 xsinx cosx ,得 f

3、(x)x(2 cosx)，令 f (x)0 ,得x 0.函数f (x)在区间(，0)上单调递减,在区间(0,)上单调递增，f (0) 1是f (x)的最小值.当b 1时，曲线y f (x)与直线y b最多只有一个交点；当b 1时，y f (x)与直线y b有且只有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1,).(4) 函数f(x) x 1丄 假设直线l : y kx 1与曲线y f(x)没有公共点，求k的最大值.e，解：f x x 1 直线l : y kx 1与曲线y f x没有公共点,等价于关于x的方程e ,1ikx 1 x 1 x在R上没有实数解,即关于x的方程：k 1 x x在R上没有实

4、数解.ee 当k 1时，方程(*)可化为0,在R上没有实数解.e 当k1时,方程(*)化为xex.令g xxex,那么有g x 1 xex.令g x 0,k 1得x 1,当x 1时,g x min 1,同时当x趋于 时,g x趋于 ,从而g x的取值范围为e1Je所以当1, 1时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围是1 e,1 .综上,得k的k 1e最大值为1.考点二。判断零点个数，证明1(1 )函数f(x) ex,x R.证明：曲线y=f(x)与曲线y ?x2 x 1有唯一公共点.11证明：令 h(x) f(x) x2 x 1 exx2 x 1,x R,那么22所以，曲线y=f(x)与曲线

5、y 1 x2 x 1只有唯一公共点(0,1).2函数f(x)并加以证明。3xsinx，判断函数f(x)在(0，n )内的零点个数,23解：f(x)xsinx 3h(x) f (x) sin x xcosx当 x 0,时，f (x)2f(x)在(0,上单调递增,2f(0)f(2)0 y f(x)在(0,上有唯一零点当x才时，h(x)2cos xxsin x 0 f (x)当 x孑上单调递减,2f()f(2) T 0存在唯一X。(2,)使 f (x)0。由得：函数f (x)在(0,)内有两个零点。(3)函数 f(x) 4x3 3tx26t2x t 1，证明：对任意的t (0,), f (x)在区间

6、(0,1)内均存在零点.解：f (x) 12x2 6tx 6t2，令 f (x) 0，解得 xt或x -.2当t 0时，f(x)在0,1内的单调递减，在 -,内单调递增，以下分两种情况讨论:2 2(1) 当-1,即 t 2时，f(x)在(0, 1)内单调递减，2f (0) t 10, f (1) 6t2 4t 36 4 4 230.所以对任意t 2,), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。(2) 当0 1 1,即 0 t 2时，f(x)在0,-内单调递减，在-,1内单调递增，2 2 2卄t7 3右 t (0,1, ft24t 1-t3 0.，42f (1) 6t 4t 36t 4t 3 2

7、t 30.所以f (x)在-,12内存在零点。假设 t (1,2), f -2-t3t 14-t310.，f(0)4t 10，所以f(x)在0,1内存2在零点。所以，对任意t (0,), f (x)在区间(0,1 )内均存在零点。(4)a，b是实数，1和1是函数f(x) x3 ax2 bx的两个极值点，设h(x) f(f(x) c， 其中c 2 ,2，求函数y h(x)的零点个数.解：由 f (x) x3 ax2 bx，得 f(x) 3x2 2ax b， /1 和 1 是函数 f(x) x3 ax2 bx 的两个极值点， f(1) 3 2a b=0， f( 1) 3 2a b=0，解得 a=0

8、，b= 3，贝U f (x) x3 3x，令f(x)=t，贝U h(x) f (t) c，先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况：d 2, 2。当d =2时，f(x)= 2的两个不同的根为1和一 2，f(x)是奇函数，二f (x)=2的两个不同的根 为-1和2。当 d 0， f (1) d=f( 2) d= 2 d0，于是 f(x)是单调增函数，从而 f(x) f(2)=2，此时f(x)=d在2,无实根。 当 x 1,2 时.f(x) 0 ,于是 f(x)是单调增函数。又 f d 0, y=f (x) d 的图象不间断，二f(x)=d在(1,2 )内有唯一实根。同理，f(x)=d在(一 2, I )内有唯 一实根。 当 x1,1 时，f(x)v 0,于是 f(x)是单调减两数。又T f( 1) d0,f(1) d0,y=f(x) d的图象不间断， f(x)=d在(一 1, 1)内有唯一实根。因此，当d =2时，f(x)=d有两个不同的根X1, X2满足为=1, X2 =2 ;当d 2时f (x)=d有三个不同的根x3, X1, X5，满足X 2, i=3, 4, 5,现考虑函数y h(x)的零点：(i )当c =2时，f(t)=c有两个根t, t2，满足& =1, t2 =2。而f(x)=&有三个不同的根，f(x)=t2 有两个不同的根，故y h(x)有5个零点。(1