2021年人教版高中数学必修第二册课件：《6.2.4向量的数量积》(含答案)

1、人教必修二第六章6.2.4向量的数量积情境导入 我们一起来看一下物理中功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功的夹角与是其中sFsFW,cosFS 思考1：前面我们学习了向量的加、减运算。类比数的运算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 由功的概念可知，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。由此，我们引入“数量积”的概念。知识探究（一）：向量的夹角 AOB)1800( OABab OABba当 ，向量同向0OABba当 ，向量反向180 OABab 当 ，向量垂直90 ba 记作已知特殊情况1特殊情况3特殊情况2注意：计算向量的夹角时，要将两个向量

2、起点放在一起.规定：零向量与任一向量垂直。ba,记作小试牛刀 说出下列两个向量 和 的夹角的大小是多少？( 1 )40O( 2)( 3) ( 5 )60O(6)60O(4)abaaaaaabbbbbb01209018060140知识探究（二）：数量积的定义 思考：根据功的定义，你能推导出数量积的定义吗？它和向量的加、减以及数乘运算有什么区别？ 数量积定义：bababababababa,coscos，即记做的数量积（或内积），与叫做向量，我们把数量，它们的夹角为与已知两个非零向量 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积

3、是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。例题讲解 例1：bababa，求的夹角与，已知3245cosbaba解：32cos45214510例题讲解 例2：的夹角与求，设bababa,254912，得解：由cosbaba22912254cosbaba430，所以，因为知识探究（三）：投影(或射影)的定义 上的投影向量。在叫做投影，向我们称上述变换为，得到，垂足分别为所在直线的垂线，分别作和终点的起点过baBAbaBABACDBAAB111111,DCb1B1AbCDaABba , 是两个非零向量，如图，设ABa知识探究（三）：投影（或射影）的定义 OMaNb1M上的投影向量。在就

4、是，则的垂线，垂足为直线作过点，作点如图，在平面内任取一baOMMONMbONaOMO11,思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有怎样的关系？与那么0,1aeOMeOMeOM11共线，即与由图得，由此可得数量积的几何意义：baa|abacos|b等于的长度与在的方向上的投影的乘积。小试牛刀如图，在等腰三角形ABC中，ABAC2，ABC30，D为BC的中点 上的投影向量；在求CDBA1 .2上的投影向量在求BACD BCADAD，则连接解： 1CDBABACDBA,cos上的投影向量为在则150-,2BCDBABA，又因为3150cos2上的投影向量为在则CDBA ABDED

5、作过2DBCD 因为上的投影向量在上的投影向量即在则BADBBACDEBADBDBBADB,cos上的投影向量为在由图可得，150-,330cosBBADBABDB，又因为23150cos3上的投影向量为在则BADB总结:求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角知识探究（四）：数量积的性质 思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有怎样的关系？与那么0,1aeOM共线与eOM1eOM1即 方向相同与为锐角时，当eOM11cos1aOM eaeOMOMcos11所以O MaN1M 02为直角时，当eaOM2cos01所以OMa

6、N1Mbb知识探究（四）：数量积的性质 思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有怎样的关系？与那么0,1aeOM共线与eOM1eOM1即 方向相反与为钝角时，当eOM1311cosMOMaOM所以OMaN1Mcos)cos(aaeaOMcos1即b知识探究（四）：数量积的性质 思考：，的夹角为与，方向相同的单位向量为设与baeb之间有怎样的关系？与那么0,1aeOM共线与eOM1eOM1即 a时，当04eaOMcos01，都有，对于任意的种情况可得：由以上5eaeaOM0cos1所以 a时，当5eaeaOMcos1所以知识探究（四）：数量积的性质 思考：有怎样的特殊性？那么，

7、它们的数量积又性。上的投影向量具有特殊在或垂直时，相互平行与个非零向量从上面的探究发现，两baba论：单位向量，则有以下结方向相同的是与，角是是非零向量，它们的夹设beba, cos1aaeea 02baba ;3bababa同向时，与当;bababa反向时，与当aaaaaa或特殊地，22aaa常常记作备注：知识探究（四）：数量积的性质 思考：有怎样的特殊性？那么，它们的数量积又性。上的投影向量具有特殊在或垂直时，相互平行与个非零向量从上面的探究发现，两baba论：单位向量，则有以下结方向相同的是与，角是是非零向量，它们的夹设beba, baba 可得：由1cos4思考：?0, 0, 0bab

8、a或是否有如果. 000cos000,cosbababababa或。即有可能或或，可得：若有。因为知识探究（五）：数量积的运算律 思考：数的乘法有相应的运算律，你能根据向量的线性运算的运算律得到数量积运算的运算律吗？你能证明吗？cbcacba下面来证明一下baODcOCbOBaOAO,，作证明：如图，任取一点ecODOBOAccbaba方向相同的单位向量为与分别为上的投影，它们在，的夹角分别为与，设,11121eaOA11cos则ebOB21cosebaODcos1BDa 因为111DBOA 所以111111OAOBDBOBOD于是ebeaeba21coscoscos即0coscoscos21

9、ebaba整理得0coscoscos21baba所以21coscoscosbaba即21coscoscoscbcacba所以得证。因此cbcacba知识探究（五）：数量积的运算律 数乘运算的运算律 abba1思考： 以此类推，可得数量积运算的运算律如下： bababa2 cbcacba3一定成立吗？为什么？是向量，设cbacbacba不一定。 cbcbacbacbabacba,cos,cos因为左右两边不一定相等，所以不一定成立。 例题讲解 例3：论？是否也有下面类似的结对任意向量恒有我们知道，对任意bababababababaRba,.2,22222 22221bbaaba 222babab

10、a bababa21解：bbabbaaa222bbaa baba2bbabbaaa22ba例题讲解 例4： .3260, 4, 6babababa，求的夹角为与已知 bbabbaaababa62332解：226bbaa226cosbbaa224660cos46672 向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算知识拓展：向量的模的计算 .60, 4, 6bababa，求的夹角为与已知2baba解：222bbaa22,cos2bbabaa22

11、460cos462616214623676方法总结：2bnambnam 222bnbamnam2222,cos2bnbabamnam例题讲解 例5：互相垂直？与为何值时，向量不共线，当与且已知bkabkakbaba, 4, 3 0bkabka互相垂直的充要条件是与解：bkabka0222bka即16922ba，因为01692k所以43k解得互相垂直。与时，也就是说，当bkabkak43 求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用 ，勿忘记开方(2) ， 可以实现实数运算与向量运算的相互转化22aa 222aaaaaa或提升训练 1、判断下列各题是否正确()( )( )( )( )( )( ) . 0, 01baba有则对任意向量若 . 0, 02baba有则对任意非零向量若 00, 03bbaa，则且若 0004baba或，则若 225aaa有对任意向量 cbcabaa则且若,06 227baba是两个单位向量，则与提升训练 2、如图,边长为1的等边三角形ABC中,求： ABC ACAB1 BCAB22121