电路理论：第03章 复杂电阻电阻电路的分析

1、电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group第三章第三章复杂电阻电路的分析规律复杂电阻电路的分析规律电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group2 2 节点分析法节点分析法1 1 支路分析法支路分析法3 3 网孔分析法网孔分析法4 4 图论的基本知识图论的基本知识5 5 回路分析法回路分析法主要内容主要内容电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group3.1 3.1 概概 述述 线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法

2、普遍性：对任何线性电路都适用。普遍性：对任何线性电路都适用。 复杂电路的一般分析法就是根据复杂电路的一般分析法就是根据KCLKCL、KVLKVL及元及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。节点电压法。元件的电压、电流关系特性。元件的电压、电流关系特性。电路的连接关系电路的连接关系KCLKCL，KVLKVL定律。定律。 方法的基础方法的基础系统性：计算方法有规律可循。系统性：计算方法有规律可循。电路理论教学研究组Circuit Theory Te

3、aching and Research Group3.2 3.2 支路分析法支路分析法 对于有对于有n n个节点、个节点、b b条支路的电路要求解支路电条支路的电路要求解支路电流流, ,未知量共有未知量共有b b个。只要列出个。只要列出b b个独立的电路方程，个独立的电路方程，便可以求解这便可以求解这b b个变量。个变量。1. 1. 支路电流法支路电流法2. 2. 独立方程的列写独立方程的列写以各支路电流为未知量列写以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。电路方程分析电路的方法。对对n-1n-1个独立节点列写个独立节点列写KCLKCL方程方程选择独立回路列写选择独立回路列写b-(n-1

4、)b-(n-1)个个KVLKVL方程。方程。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group例例0621iii1320654iii0432iii有有6 6个支路电流，需列写个支路电流，需列写6 6个方个方程。程。KCLKCL方程方程: :取网孔为独立回路，沿顺时取网孔为独立回路，沿顺时针方向绕行列针方向绕行列KVLKVL写方程写方程: :0132uuu0354uuu0651uuu回路回路1 1回路回路2 2回路回路3 3123R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234电路理论教学研究组Circuit Theory Tea

5、ching and Research Group应用欧姆定律消去支路电压得：应用欧姆定律消去支路电压得：0113322iRiRiR0335544iRiRiRSuiRiRiR6655110132uuu0354uuu0651uuu回路回路1 1回路回路2 2回路回路3 3R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234123电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group（1 1）支路电流法的一般步骤：）支路电流法的一般步骤：1 1）标定各支路电流（电压）的参考方向；）标定各支路电流（电压）的参考方向；2 2）选定）选定(n1)(

6、n1)个节点个节点，列写其节点，列写其节点方程；方程；3 3）选定）选定b(n1)b(n1)个独立回路，指定回路绕行方个独立回路，指定回路绕行方 向，结合向，结合KVLKVL和支路方程列写；和支路方程列写；4 4）求解上述方程，得到）求解上述方程，得到b b个支路电流；个支路电流；5 5）进一步计算支路电压和进行其它分析。）进一步计算支路电压和进行其它分析。kkkSuiR小结电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group（2 2）支路电流法的特点：）支路电流法的特点： 支路法列写的是支路法列写的是 KCLKCL和和KVLKVL方程，方程，

7、 所以方程列所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。的情况下使用。例例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。求各支路电流及各电压源发出的功率。 12解解 n1=1 个个KCLKCL方程：方程：节点节点a： I1I2+I3=0 b( n1)=2 个个KVLKVL方程：方程：11I2+7I3= 67I111I2=70-6=64U=US70V6V7ba+I1I3I2711电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research GroupA620312181IA22034062IA426213I

8、IIW42070670PW12626P70V6V7ba+I1I3I271121电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group例例2I1I2+I3=0列写支路电流方程列写支路电流方程.(.(电路中含有受控源）电路中含有受控源）解解11I2+7I3= 5U7I111I2=70-5U增补方程增补方程：U=7I3有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程；将控制量用未知量表示，并代入将控制量用未知量表示，并代入中所列的方程，中所列的方程，消去中间变量。消去中间变量。注意5

9、U+U_70V7ba+I1I3I271121+_节点节点a：电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group3.3 3.3 节点分析法节点分析法 选节点电压为未知量，则选节点电压为未知量，则KVLKVL自动满足，无需自动满足，无需列写列写KVLKVL方程。各支路电流、电压可视为节点电压方程。各支路电流、电压可视为节点电压的线性组合，求出节点电压后，便可方便地得到各的线性组合，求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。支路电压、电流。 基本思想基本思想：1.1.节点电压法节点电压法 以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方以节点电压为

10、未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于节点较少的电路。法。适用于节点较少的电路。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group列写的方程列写的方程节点电压法列写的是节点上的节点电压法列写的是节点上的KCLKCL方程，独立方程，独立方程数为：方程数为：)1(n与支路电流法相比，方程数减少与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)b-(n-1)个个。任意选择参考点：其它节点与参考点的电位差即任意选择参考点：其它节点与参考点的电位差即为节点电压为节点电压( (位位) )，方向为从独立节点指向参考节，方向为从独立节点指向参考节点。点。电路理论教

11、学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group2. 2. 方程的列写方程的列写选定参考节点，标明其余选定参考节点，标明其余n-1n-1个独立节点的电压；个独立节点的电压；132列列KCLKCL方程：方程：i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0-i3+i5=iS2 SR入出iiiS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group 把支路电流用节点电压表示把支路电流用节点电压表示：S2S12n2n11n1iiRuuRu04n23n3n

12、22n2n1RuRuuRuu25n33n3n2SSiRuuRuui1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0-i3+i5=-iS2132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group整理得：整理得：n1n2S1S2122111 uuiiRRRn1n232234311111 0nuuuRRRRR令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为上式简记为：G11un1+G12un2 G13un3 = iSn1n2n3S23355111 SuuiRRuRR G21u

13、n1+G22un2 G23un3 = iSn2G31un1+G32un2 G33un3 = iSn3标准形式的节标准形式的节点电压方程点电压方程等效电流源等效电流源电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research GroupG11=G1+G2 节点节点1 1的自电导的自电导G22=G2+G3+G4 节点节点2 2的自电导的自电导G12= G21 =-G2 节点节点1 1与与节点节点2 2之间的互电导之间的互电导G33=G3+G5 节点节点3 3的自电导的自电导G23= G32 =-G3 节点节点2 2与与节点节点3 3之间的互电导之间的互电导 小结节点

14、节点的自电导等于接在该的自电导等于接在该节点节点上所有支路的电导之和。上所有支路的电导之和。 互电导为接在互电导为接在节点节点与与节点节点之间所有支路的电之间所有支路的电导之和。导之和。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research GroupiSn3=-iS2uS/R5 流入流入节点节点3 3的电流源电流的代数和的电流源电流的代数和。iSn1=iS1+iS2 流入节点流入节点1 1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。1n11Rui 4n24Rui 3n3n23Ruui2n2n12Ruu

15、i5S35Ruuin由节点电压方程求得各节点电压后即可求得由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用节点电压表示：各支路电压，各支路电流可用节点电压表示：电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research GroupG11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1Gii 自电导自电导。 iSni 流入节点流入节点i i的电流源电流（等效电流源）的代数和。的电流源电流（等效电流源

16、）的代数和。Gij = Gji互电导，节点互电导，节点i i与与节点节点j j之间所有支路电导之和之间所有支路电导之和。节点法标准形式的方程：节点法标准形式的方程：注意 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group节点法的一般步骤节点法的一般步骤：(1)选定参考节点，标定选定参考节点，标定n-1n-1个独立节点；个独立节点；(2)对对n-1n-1个独立节点，以节点电节点未知量，列个独立节点，以节点电节点未知量，列写其写其KCLKCL方程；方程；(3)求解上述方程，得

17、到求解上述方程，得到n-1n-1个节点电压；个节点电压；(5)其它分析。其它分析。(4)通过通过节点电压求各支路电流；节点电压求各支路电流；总结电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group3. 3. 无伴电压源支路的处理无伴电压源支路的处理以电压源电流为变量，以电压源电流为变量，用节点电压表示电压源用节点电压表示电压源。UsG3G1G4G5G2+_312(G1+G2)U1-G1U2 =I-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0-G4U2+(G4+G5)U3 =IU1-U3 = US增补方程增补方程看成电流源看成电流源电

18、路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group选择合适的参考点选择合适的参考点U1= US-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=04.4.受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，先把受控源看作对含有受控电源支路的电路，先把受控源看作独立电源列方程，再将控制量用节点电压表示。独立电源列方程，再将控制量用节点电压表示。UsG3G1G4G5G2+_312电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group先先把

19、受控源当作把受控源当作独立源列方程独立源列方程: :用节点电压表示控制量用节点电压表示控制量: :列写电路的节点电压方程列写电路的节点电压方程 12S1122111()nnuuiRRR212m223111()nnRuug uRRR例例1212RnnuuuiS1R1R3R2gmuR2+uR2_21解解电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group节点电压方程为节点电压方程为列写电路的节点电压方程列写电路的节点电压方程 例例2解解12321231111412222811112222nnnnnnnUUUUUUUi111420.52nnUiU增补

20、方程增补方程电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group3.4 3.4 网孔电流法网孔电流法基本思想基本思想 为减少未知量为减少未知量( (方程方程) )的个数，假想每个回的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示，来求得电路的解。流的线性组合表示，来求得电路的解。1.1.网孔电流法网孔电流法 以网孔电流（沿网孔连续流动的假想电流）以网孔电流（沿网孔连续流动的假想电流）为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用

21、于平面电路。流法。它仅适用于平面电路。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group 独立回路数为独立回路数为2 2。选。选图示的两个独立回路，支图示的两个独立回路，支路电流可表示为：路电流可表示为：1222311 lllliiiiiii网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关节网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以点均流进一次，流出一次，所以KCLKCL自动满足。自动满足。因此网孔电流法是对网孔回路列写因此网孔电流法是对网孔回路列写KVLKVL方程，方方程，方程数为网孔数。程数为网孔数。列写的方程列写的方程bil

22、1il2+i1i3i2uS1uS2R1R2R3电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group网孔网孔1 1： R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0网孔网孔2 2： R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0整理得：整理得：(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS22 2. 方程的列写方程的列写观察可以看出如下规律：观察可以看出如下规律： R11=R1+R2 网孔网孔1 1中所有电阻之和，中所有电阻之和，称网孔称网孔1 1的自电阻。的自电阻。il

23、1il2+i1i3i2uS1uS2R1R2R3电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group R22=R2+R3 网孔网孔2 2中所有电阻之和，称网孔中所有电阻之和，称网孔2 2的自电阻。的自电阻。自电阻为所有电阻之和。自电阻为所有电阻之和。 R12= R21= R2 网孔网孔1 1、网孔、网孔2 2之间的互电阻。之间的互电阻。当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。阻取正号；否则为负号。uSl1= uS1-uS2 网孔网孔1 1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的

24、代数和。uSl2= uS2 网孔网孔2 2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。注意当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号；反之取正号。负号；反之取正号。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group方程的标准形式：方程的标准形式：对于具有对于具有 l 个网孔的电路，有个网孔的电路，有: : slllll lllllsllllllslllllluiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2211222221211121211122221211212111slllsllluiRi

25、RuiRiRil1il2+i1i3i2uS1uS2R1R2R3电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research GroupRjk: 互电阻互电阻+ + : : 流过互阻的两个网孔电流方向相同流过互阻的两个网孔电流方向相同；- - : : 流过互阻的两个网孔电流方向相反流过互阻的两个网孔电流方向相反；0 : : 无关无关。Rkk: 自电阻自电阻1111221121122222l11l22lslllll llsllll llsllll llR iRiR iuRiRiRiuR iRiR iu注意电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching

26、 and Research Group用网孔电流法求解电流用网孔电流法求解电流 i选网孔为独立回路选网孔为独立回路：i1i3i2SSUiRiRiRRR3421141)(0)(35252111iRiRRRiR0)(35432514iRRRiRiR无受控源的线性网络无受控源的线性网络Rjk=Rkj , , 系数矩阵为对称阵系数矩阵为对称阵。当网孔电流均取顺（或逆）时针方向时当网孔电流均取顺（或逆）时针方向时，Rjk均为负均为负。32iiiRSR5R4R3R1R2US+_i表明例例1解解电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group3. 3.

27、无伴电流源支路的处理无伴电流源支路的处理无伴电流源位于两个网孔公共无伴电流源位于两个网孔公共支路：假设电流源电压，增补支路：假设电流源电压，增补网孔电流与电流源关系方程网孔电流与电流源关系方程增补方程增补方程看成电压源看成电压源23412233221122331031323530()()()lllSlllSlllRRR IR IR IUR IRR IR IUUR IR IRR IU 列写网孔电流方程列写网孔电流方程32llSIII电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group234122332211225313()()lllSlllSlS

28、RRR IR IR IUR IRR IR IUII 列写网孔电流方程列写网孔电流方程无伴电流源仅仅属于一个无伴电流源仅仅属于一个网孔，则该网孔电流为该网孔，则该网孔电流为该电流源电流电流源电流电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group4.4.受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，立电源按上述方法列方程，再将控制量用网孔电流表示再将控制量用网孔电流表示。234122332211225313()()lllSlllSlSRRR I

29、R IR IUR IRR IR IUII 列写网孔电流方程列写网孔电流方程电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group3.5 3.5 图论的基本知识图论的基本知识1.1.网络图论网络图论图论是拓扑学的一个分支，是富有趣图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。味和应用极为广泛的一门学科。2.2.电路的图电路的图 用以表示电路几何结构的图形，图用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和节点与电路的支路和节点一一对应。中的支路和节点与电路的支路和节点一一对应。抛开元抛开元件性质件性质543216R4R1R3R2R6uS+_R

30、5电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group图的定义图的定义(Graph)G=支路支路，节点节点 图中的节点和支路各自是一个整体图中的节点和支路各自是一个整体。移去图中的支路，与它所联接的节点依然存在，移去图中的支路，与它所联接的节点依然存在，因此允许有孤立节点存在因此允许有孤立节点存在。如把节点移去，则应把与它联接的全部支路如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去同时移去。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group从图从图G G的一个节点出节点着一些支路连续移的一个节

31、点出节点着一些支路连续移动到达另一节点所节点的支路构成路径。动到达另一节点所节点的支路构成路径。(2)路径路径 (3)连通图连通图图图G G的任意两节点节点少有一条路径时称为的任意两节点节点少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分连通图，非连通图至少存在两个分离部分。电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group(4)(4)子图子图 若图若图G1G1中所有支路和节点都是节点中中所有支路和节点都是节点中的支路和节点，则的支路和节点，则G1G1是是G G的子图。的子图。树树(Tree)T T是连通图的一个子图且满足下列条件是连通

32、图的一个子图且满足下列条件：a.a.连通连通b.b.包含所有节点包含所有节点c.c.不含闭合路径不含闭合路径电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group树支树支：构成树的支路构成树的支路连支连支：属于属于G而不属于而不属于T的支路的支路树支的数目是一定的树支的数目是一定的连支数连支数：不不是是树树树树对应一个图有很多的树对应一个图有很多的树明确明确电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group回路回路(Loop)(Loop)L是连通图的一个子图，构成一条闭是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足合路径，并满足：(1)连通连通，(2)每个节每个节点关联点关联2 2条支路。条支路。12345678253124578不不是是回回路路回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数基本回路的数目是一定的，为连支数；1）对应一个图有很多的回路对应一个图有很多的回路；3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数对于平面电路，网孔数等于基本回路数。明明确确电路理论教学研究组Circuit Theory Teaching and Research Group基本回路基本回路( (单连支回路单连支回路) )