16尺规作图--吴景治

1、1.6 尺规作图 据传为了显示谁的逻辑思维能据传为了显示谁的逻辑思维能力更强力更强,古希腊人限制了几何作图的古希腊人限制了几何作图的工具工具,结果一些普通的画图题让数学结果一些普通的画图题让数学家苦苦思索了家苦苦思索了2000多年多年.尺规作图特尺规作图特有的魅力有的魅力,使无数人沉湎其中使无数人沉湎其中.我们把用没有刻度的直尺和圆规作图,简称尺规作图.1. 1.利用直尺和圆规作一个角利用直尺和圆规作一个角, ,使它等于已知角使它等于已知角例例1已知已知AOB(如图如图1-39),求作求作AOB,使使AOB=AOB.作法作法: 1.以点以点O为圆心为圆心,适当长为半径适当长为半径画弧画弧,分别

2、交分别交OA,OB于点于点C,D. 2.画一条射线画一条射线OA,以点以点O为圆心为圆心,OC长为半径画弧长为半径画弧l l,OA于点于点C.3.以点以点C为圆心为圆心,CD长为半径画弧长为半径画弧,交弧交弧l l点点D.4.过点过点D画射线画射线OB.AOB就是所求作的角就是所求作的角OABABOCDCDl l1. 1.利用直尺和圆规作一个角利用直尺和圆规作一个角, ,使它等于已知角使它等于已知角已知已知AOB(如图如图1-39),求求AOB,使使AOB=AOB.证明证明:在在OCD与与O C D AOB=AOB.（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）OABABOCDCDl l

3、事实上如右两图中，连结事实上如右两图中，连结CD和和C D，OCD O C D 即即AOB=AOB.OC= O C OD= O D CD= C D OCD O C D（SSS）例2 已知线段已知线段AB,用直尺和圆规作线用直尺和圆规作线段段AB的垂直平分线的垂直平分线.作法作法:1.分别以点分别以点A,B为圆心为圆心,大于线段大于线段AB长度一半的长为半径画圆弧长度一半的长为半径画圆弧,相交于点相交于点C,D.2.过点过点C,D作直线作直线CD.直线直线CD就是线段就是线段AB的垂直平分线的垂直平分线.ABCD2. .用直尺和圆规作三角形用直尺和圆规作三角形已知已知 , 和线段和线段a(如下图

4、如下图 )用直尺和圆用直尺和圆规作规作ABC,使使A= , B= ,AB=aa作法作法:1.作一条线段作一条线段AB=a,2.分别以分别以A,B为顶点为顶点,在在AB的同侧的同侧作作 DAB= , EBA= ,DA与与EB相交于点相交于点C。ABC就是所求的三角形就是所求的三角形.ABCDE例3 :做一做如图如图,已知线段已知线段a,c和和 ,用直尺和圆规作用直尺和圆规作ABC,使使ABC= ,AB=c,BC=a.ac1.请完成下面的尺规作图：请完成下面的尺规作图：（1）已知）已知 和和 （如图），求作（如图），求作ABCABC，使使ABC= +ABC= +2.如图，直线如图，直线l l表示一条公路，点表示一条公路，点A，B表示两个村庄。现要在公路表示两个村庄。现要在公路l l 上造一上造一个加油站，并使加油站到两个村庄个加油站，并使加油站到两个村庄A，B的距离相等，问加油站应建在何处？的距离相等，问加油站应