2021年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

1、2021年湖南省永州市高考数学二模试卷理科一、选择题：本大题共12小题，每题5分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1集合A=1，1，4，B=y|y=log2|x|+1，xA，那么AB=A1，1，3，4B1，1，3C1，3D12i为虚数单位，复数z满足1+iz=1i2，那么|z|为AB1CD3，均为单位向量，它们的夹角为，那么|+|=A1BCD24四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有A10种B14种C20种D24种5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A3BCD6在等差数列an中，2a7=a9+7，那么数列an的前9项和S9=A21B35C63D

2、1267设F1，F2是双曲线的两个焦点，假设点P在双曲线上，且F1PF2=90，|PF1|PF2|=2，那么b=A1B2CD8在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥PABCD所得截面面积为，那么四棱锥PABCD的体积为AB8CD9有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序，再由号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，假设通过就按此方案分配，否那么提出方案的号淘汰，不再参与分配，接下来由号提出分配方案，三人表决，依此类推假设：1四人都守信用，愿赌

3、服输；2提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3四人都会最大限度争取个人利益易知假设都淘汰，那么号的最正确分配方案能通过且对提出方案者最有利是10，0表示、号分配珍珠数分别是10和0问号的最正确分配方案是A4，2，2，2B9，0，1，0C8，0，1，1D7，0，1，210某几何体的三视图如下图，那么它的外接球外表积为A12B16C20D2411数列n的前n项和sn=3nn6，假设数列an单调递减，那么的取值范围是A，2B，3C，4D，512如图是fx=cosx+0的局部图象，以下说法错误的选项是A函数fx的最小正周期是B函数gx=x的图象可由函数fx的图象向右平移个单位得到C函数fx图象的一个

4、对称中心是，0D函数fx的一个递减区间是5，二、填空题：本大题共4小题，每题5分13的展开式中各项系数的和为256，那么该展开式的二项式系数的最大值为14实数x，y满足，那么x+3y的最大值为15AB是圆C：x2+y12=1的直径，P是椭圆E：上的一点，那么的取值范围是16fx=，假设函数gx=fxt有三个不同的零点x1，x2，x3x1x2x3，那么的取值范围是三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤1712分在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cb 求角C的大小；假设b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求ACD的面积1812分三棱柱ABCA1B1C1中，

5、AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1底面ABC，D是BC的中点，BAA1=120o，B1DAB求证：AC面ABB1A1；求二面角C1ADC的余弦值1912分某商场方案销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内含40件的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的局部每件返利6元经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998993899201042111010现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；假设将频率视作概率，答复以下问题

6、：记乙厂家的日返利额为X单位：元，求X的分布列和数学期望；商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由2012分如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P2，tt0，过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q求点Q的坐标；当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程2112分函数，其中a1fx在0，2上的值域为s，t，求a的取值范围；假设a3，对于区间2，3上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有|fx1fx2|gx1gx2|成立，求实数a的取值范围请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的

7、第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程共1小题，总分值10分2210分在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程；直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长选修4-5：不等式选讲共1小题，总分值0分23函数fx=|kx1|假设fx3的解集为2，1，求实数k的值；当k=1时，假设对任意xR，不等式fx+2f2x+132m都成立，求实数m的取值范围2021年湖南省永州市高考数学二模试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的

8、1集合A=1，1，4，B=y|y=log2|x|+1，xA，那么AB=A1，1，3，4B1，1，3C1，3D1【考点】交集及其运算【分析】分别让x取1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可【解答】解：x=1，或1时，y=1；x=4时，y=3；B=1，3；AB=1应选D【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，对数式的运算，以及交集的运算2i为虚数单位，复数z满足1+iz=1i2，那么|z|为AB1CD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法那么、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出【解答】解：1+iz=1i2，1i1+iz=2i1i，2

9、z=22i，即z=1i那么|z|=应选：A【点评】此题考查了复数的运算法那么、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于根底题3，均为单位向量，它们的夹角为，那么|+|=A1BCD2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案【解答】解：由题意可得：|+|2=，均为单位向量，它们的夹角为，|+|2=1+1+211cos=3，|+|=，应选C【点评】此题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分属于根底题4四个大学生分到两个单

10、位，每个单位至少分一个的分配方案有A10种B14种C20种D24种【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分3种情况讨论：即、甲单位1人而乙单位3人，、甲乙单位各2人，、甲单位3人而乙单位1人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论：、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排在甲乙单位即可，有C41=4种安排方法；、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单位即可，有C42=6种安排方法；、甲

11、单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排在甲乙单位即可，有C43=4种安排方法；那么一共有4+6+4=14种分配方案；应选：B【点评】此题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A3BCD【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： x y z 是否继续循环循环前 1 1 0第一圈 1 3 7 是第二圈 3 7 17 否那么输出的结果为

12、应选C【点评】此题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的方法6在等差数列an中，2a7=a9+7，那么数列an的前9项和S9=A21B35C63D126【考点】等差数列的前n项和【分析】由得a1+4d=a5=7，从而利用数列an的前9项和S9=，能求出结果【解答】解：在等差数列an中，2a7=a9+7，2a1+6d=a1+8d+7，a1+4d=a5=7，数列an的前9项和S9=63应选：C【点评】此题考查等差数列的前9项和的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用7设F1，F2是双曲线的两个焦点，假设点P在双曲线上，且F1P

13、F2=90，|PF1|PF2|=2，那么b=A1B2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，那么mn=2，m2+n2=4c2，|mn|=2a，由此，即可求出b【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，那么mn=2，m2+n2=4c2，|mn|=2a，4c24a2=2mn=4，b2=c2a2=1，b=1，应选A【点评】此题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题8在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥PABCD所得截面面积为，那么四棱锥PABC

14、D的体积为AB8CD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】取BC中点M，连结FM，HM，推导出平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥PABCD所得截面，设PA=AB=a，那么S梯形EFMH=，求出a=2，由此能求出四棱锥PABCD的体积【解答】解：取BC中点M，连结FM，HM，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，EFABMH，EFEH，MHEH，平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥PABCD所得截面，设PA=AB=a，过E，F，H的平面截四棱锥PABCD所得截面面积为，S梯形EFMH=，解得a=2，四棱锥PA

15、BCD的体积V=应选：A【点评】此题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题9有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序，再由号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，假设通过就按此方案分配，否那么提出方案的号淘汰，不再参与分配，接下来由号提出分配方案，三人表决，依此类推假设：1四人都守信用，愿赌服输；2提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3四人都会最大限度争取个人利益易知假设都淘汰，那么号的最正确分配方案能通过且对提出方案者最有利是10，0表示、号分配珍珠数分别是10和0问号的最正确分配方案是A4，2，2，2B9，0，1

16、，0C8，0，1，1D7，0，1，2【考点】进行简单的合情推理【分析】假设都淘汰，那么号的最正确分配方案能通过且对提出方案者最有利是10，0表示、号分配珍珠数分别是10和0，可得结论【解答】解：根据假设都淘汰，那么号的最正确分配方案能通过且对提出方案者最有利是10，0表示、号分配珍珠数分别是10和0，可知号的最正确分配方案是9，0，1，0，应选B【点评】此题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10某几何体的三视图如下图，那么它的外接球外表积为A12B16C20D24【考点】由三视图求面积、体积【分析】由中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，进

17、而可得答案【解答】解：由中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2，2，故斜边长为2，过斜边的侧面与底面垂直，且为高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为R，那么，解得：R=2，故它的外接球外表积S=4R2=16，应选：B【点评】此题考查的知识点是球的外表积和体积，球内接多面体，空间几何体的三视图，难度中档11数列n的前n项和sn=3nn6，假设数列an单调递减，那么的取值范围是A，2B，3C，4D，5【考点】数列的函数特性【分析】由求出an利用为单调递减数列，可得anan+1，化简解出即可得出【解答】解：sn=3nn6，sn1=3n1n+16，n1，得数列an

18、=3n122n1n1，nN*为单调递减数列，anan+1，且a1a23n122n13n22n3，且2化为n+，n1，且2，2，的取值范围是，2应选：A【点评】此题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力12如图是fx=cosx+0的局部图象，以下说法错误的选项是A函数fx的最小正周期是B函数gx=x的图象可由函数fx的图象向右平移个单位得到C函数fx图象的一个对称中心是，0D函数fx的一个递减区间是5，【考点】由y=Asinx+的局部图象确定其解析式【分析】根据图象过0，1，2，0求出 和，即可求函数fx的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论【解答】解：根据图象可知，fx=

19、cosx+0的图象过0，1，2，0可得：f0=cos=1，解得：=+2k或=+2k，kZf2=cos2+=0，解得=+k或=+k当k=1时，|为：，周期T=故A对此时可得fx=cos函数gx=x的图象图象向右平移个单位可得： =cos故B对当x=时，函数f=cos=1，故C不对由fx=cos=cos令0+2k+2k，可得：，kZ当k=2时，可得是单调递减故D对应选C【点评】此题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决此题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系二、填空题：本大题共4小题，每题5分13的展开式中各项系数的和为256，那么该展开式的二项式系数的最大值为6【考点】

20、二项式系数的性质【分析】由题意可得：令x=1，那么51m=256，解得m=4该展开式的二项式系数的最大值为【解答】解：由题意可得：令x=1，那么51m=256，解得m=4该展开式的二项式系数的最大值为=6故答案为：6【点评】此题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于根底题14实数x，y满足，那么x+3y的最大值为10【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影局部由z=x+3y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时

21、z最大由，解得B1，3，代入目标函数z=x+3y得z=1+33=10故答案为：10【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的根本方法15AB是圆C：x2+y12=1的直径，P是椭圆E：上的一点，那么的取值范围是1，【考点】椭圆的简单性质【分析】由，得=x2+y121=x2+y22y=3y22y+4 再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设Px，y，=x2+y121=x2+y22y=3y22y+4y1，1，3y22y+4，的取值范围是：1，故答案为：1，【点评】此题主要考查椭圆的根本性质，向量数量积的根本运算技巧，选好基底是解

22、决向量问题的根本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，16fx=，假设函数gx=fxt有三个不同的零点x1，x2，x3x1x2x3，那么的取值范围是【考点】函数零点的判定定理【分析】画出函数的图象，求出x0时fx的最大值，判断零点的范围，然后推出结果【解答】解：函数fx=，图象如图，函数gx=fxt有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1x2x3，即方程fx=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1x2x3，当x0时，fx=，因为x+2x0，所以fx，当且仅当x=1时取得最大值当y=时，x1=2；x2=x3=1，此时=，由=t0，可得=0，x2+x3=，x2x3=1+=2，=t+0，

23、的取值范围是故答案为【点评】此题考查函数的零点个数的判断与应用，根本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤1712分2021永州二模在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cb 求角C的大小；假设b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求ACD的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理化，即可求出sinC的值，从而求出C；根据图形设BC=x，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，再计算ACD的面积【解答】解：ABC中，由正弦定理得，又cb，； 6分如下图，设BC=x，那么AB=5

24、x，在ABC中，由余弦定理得，求得，即，所以，8分在ABC中，由正弦定理得，10分ACD的面积为=12分【点评】此题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是根底题1812分2021永州二模三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1底面ABC，D是BC的中点，BAA1=120o，B1DAB求证：AC面ABB1A1；求二面角C1ADC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】取AB中点O，连接OD，B1O，推导出B1OAB，B1DAB，从而AB面B1OD，进而ABOD，再求出ACAB，由此能证明AC面ABB1A1以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方

25、向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1ADC的余弦值【解答】本小题总分值12分证明：取AB中点O，连接OD，B1O，B1BO中，AB=2，B1B=2，B1BA=60，故AB1B是等边三角形，B1OAB，又B1DAB，而B1O与B1D相交于B1，AB面B1OD，故ABOD，又ODAC，所以ACAB，又侧面ABB1A1底面ABC于AB，AC在底面ABC内，AC面ABB1A16分解：以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，C1，2，0，A1，0，0，D0，1，0，B1，0，0，B10，0，设面ADC1的法向量为，依题意有：，令x=1，那么

26、y=1，9分又面ADC的法向量为，10分，二面角C1ADC的余弦值为 12分【点评】此题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用1912分2021永州二模某商场方案销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内含40件的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的局部每件返利6元经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998993899201042111010现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都

27、大于40的概率；假设将频率视作概率，答复以下问题：记乙厂家的日返利额为X单位：元，求X的分布列和数学期望；商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】记“抽取的两天销售量都大于40为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率设乙产品的日销售量为a，推导出X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场

28、选择乙厂家长期销售【解答】本小题总分值12分解：记“抽取的两天销售量都大于40为事件A，那么4分设乙产品的日销售量为a，那么当a=38时，X=384=152；当a=39时，X=394=156；当a=40时，X=404=160；当a=41时，X=404+16=166；当a=42时，X=404+26=172；X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，X的分布列为X152156160166172p9分依题意，甲厂家的日平均销售量为：380.2+390.4+400.2+410.1+420.1=39.5，甲厂家的日平均返利额为：70+39.52=149元，由得乙厂家的日平均返利额为16

29、2元149元，推荐该商场选择乙厂家长期销售12分【点评】此题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用2012分2021永州二模如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P2，tt0，过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q求点Q的坐标；当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】设AB直线方程，与抛物线C：y2=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；方法一A，B，C，D四点共圆，有，即可求直线l的方程方法二利用参数方程求【解答】解：易知AB不与

30、x轴垂直，设AB直线方程为：y=kx2+t，与抛物线C：y2=4x联立，消去y得：k2x2+2tk4k24x+t2k2=0，=4k2+42tk24k2t2k20i设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1，x2是上述方程两根，x1+x2=，即tk=2，代入i中，求得且t0，直线l的方程为：yt=x2，令y=0，得x=4，知定点坐标为4，0；方法一|AB|=，7分CD直线：，与抛物线y2=4x联立，消去y得：t2x28t2+16x+16t2=0，设Cx3，y3，Dx4，y4，x3+x4=，x3x4=16，8分设CD的中点为Mx0，y0，x0=，y0=，|PM|=，|CD|=，A，B，C，D四点共圆，

31、有，代入并整理得t412t2+32=0，求得t2=4或t2=8舍去，t=2直线l的方程为y=x4或y=x+412分方法二利用参数方程求：设AB直线的参数方程为：，代入抛物线C：y2=4x得，sin2m2+2sinmt4cosm+t28=0，那么直线CD的参数方程为：，或有，sin2=cos2，依题意有：|PA|PB|=|PC|PD|，sin2=cos2，那么有或，直线l的方程为y=x4或y=x+412分【点评】此题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题2112分2021永州二模函数，其中a1fx在0，2上的值域为s，t，求a的取值范围；假设a3，对于区间2，3上的

32、任意两个不相等的实数x1、x2，都有|fx1fx2|gx1gx2|成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】fx=x2a+1x+a，令fx=0得x1=1，x2=a，由题意函数fx在区间0，2无最值，知fx在0，2上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求a的取值范围；不妨设2x1x23，由知：当a3时，fx在区间2，3上恒单调递减，有|fx1fx2|=fx1fx2，分类讨论，构造函数，即可求实数a的取值范围【解答】解：fx=x2a+1x+a，令fx=0得x1=1，x2=a，1分依题意函数fx在区间0，2无最值，知fx在0，2上要么有两个极值点或者没有极值点，知1a2，3分，f0=1，i假设a=1，函数fx在区间0，2上恒单调递增，显然符合题意；4分ii假设1a2时，有，即，得；综上有6分不妨设2x1x23，由知：当a3时，fx在区间2，3上恒单调递减，有|fx1fx2|=fx1fx2，7分i假设3a4时，在区间2，3上恒单调递减，|gx1gx2|=gx1gx2，那么|fx1fx2|gx1gx2|等价于fx1gx1fx2gx2，令函数Fx=f