关于几类不定积分求解方法的探讨毕业论文

1、-毕 业 论 文（设计） 论文（设计）题目：关于几类不定积分求解方法的探讨 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2008104223 姓 名： 庞娟 指导教师： 黄妙 时 间： 2012年5月 河 池 学 院毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告系别: 数学系 专业:数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（设计）题目关于几类不定积分求解方法的探讨命题来源教师命题 学生自主命题 教师课题选题意义(不少于300字)：不定积分是求导问题的逆运算, 而定积分的计算主要依赖于莱布尼兹公式, 而使用莱布尼兹公式的前提是求被积函数的任一原函数.由此可见, 不定积分是联系微

2、分学和定积分的一条纽带，不定积分的计算是微积分中的重要一环.因此，探讨不定积分的求解方法是很有意义的.不定积分在理论上十分简明,但利用基本积分公式及性质,只能求出一些简单的积分,对于比较复杂的积分,在运算上则有一定难度.正确选用不定积分的方法取决于对被积函数的分析, 从被积函数的特点出发,由易到难进行剖析,着眼点不同就有不同的方法.由此可见,在求不定积分时,要想灵活运用基本方法得到解法,必须抓住被积函数的特点,进行多角度、多方位的剖析,对各类不同函数进行归纳总结,经过多次这样的尝试与探索才能丰富解题经验,产生解题意识,从而提高求不定积分的解题能力.研究综述(前人的研究现状及进展情况，不少于60

3、0字):恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里”微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力而不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，因此人们对不定积分求解方法的研究已有一定的成果，并且还将不断的研究下去目前人们常用的四种基本不定积分求解方法是：直接积分法、第一类换元积分法（也称凑微分法）、第二类换元积分法和分部积分法此外还有特殊类型函数的积

4、分：有理分式函数的积分、简单无理函数的积分（化无理为有理）但是，由于不定积分计算方法多种多样且技巧性强、题目多、题型复杂，有时候教师采用机械的方法教授，不能展现其作为生动智力斗争的成果所具有的魅力，学生学习时，也往往陷入单纯寻求技巧来计算不定积分费时多效果差见到生题又无从下手因此，牢固掌握不定积分的理论和运算方法是非常重要的，这不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分，微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础研究的目标和主要内容（不少于400字）一 研究的目标探讨不定积分的简易求解方法，在熟记基本公式、性质及常用微分关系式的基础上，注意分析被积函数的特点，进行分类

5、归纳，从而找出规律性的方法和技巧。同时，遇到具体问题要仔细分析，选择一个合适而简单的方法，达到灵活运用、熟练掌握不定积分的计算方法与技巧的目标。二 主要内容 1、在分部积分中的应用2、关于形如的解法3、的递推公式拟采用的研究方法文献法 、网络搜索法 、探究分析、归纳总结、教师指导法研究工作的进度安排2012年1月至2012年2月，阅读相关方向文献资料，与指导教师商定题目.2012年3月，大量阅读与所撰写内容相关的参考资料，拟定论文（设计）详细写作提纲，填写河池学院毕业论文（设计）开题报告，交指导教师审核批准.2012年4月到5月上旬，撰写论文初稿，及时与指导老师联系，汇报写作进展，遇到难以解决

6、的问题应及时向指导老师请教，完成初稿，交指导教师审阅.2012年5月中旬接受指导教师整改意见，反复修改，最后定稿.2012年5月下旬至6月上旬准备论文答辩，答辩结束后，把论文和各种表格装订成册交数学系办公室归档.参考文献目录（作者、书名或论文题目、出版社或刊号、出版年月日或出版期号）1 华东师范大学数学系.数学分析（上册）m.3版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一类不定积分的计算及应用j.山东师大学报（自然科学版），2001,16（3）:317-318.3 萧胜中.浅谈不定积分的求解方法j.广东民族学院学报（自然科学版），1998（4）:92-95.4 高丽，齐琼，谢瑞.关于三类

7、特殊不定积分求解方法的讨论j.西南民族大学学报自然科学版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，刘展.一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广j.平顶山学院学报，2009,24（5）：68-70.6 陈庆轩.介绍一类不定积分的解法j.重庆交通学院学报，1986,（3）:184-194.7 展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解j.高等数学研究，2005，8（6）：20-24.指导教师意见该生的选题拟采查阅资料、归纳分析的方法，探讨几类不定积分的求解方法，归纳总结出几种简便方法以求相应类型的不定积分，选题有意义，符合专业研究目标，有一定的创新性，并且难度适中，对工作量的要求合理，估计能

8、够完成既定目标，同意开题.签名： 2012 年 月 日教研室主任意见同意指导教师的意见，同意开题. 签名： 2012年 月 日目 录摘要 1关键词1引言11 在分部积分中的应用 21.1 求 21.2 求和 22 关于形如的解 42.1 求 4 2.2 对的推广 4 3 的递推公式 8 参考文献 9abstract11key words11 图11致谢 12 - 关于几类不定积分求解方法的探讨专业：数学与应用数学 庞继娟 指导教师：黄春妙摘 要不定积分是数学分析的一个重要内容，我们常用的求不定积分的方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等. 不定积分在理论上十分简明，但利用基本积分公式及性

9、质，只能求出一些简单的积分，对于比较复杂的积分，在运算上则有一定难度 有时，我们在计算中也发现有些不定积分不能用直接的方法来计算，这就要求我们在平时运算的过程中，多进行归纳总结及推广.针对我们在学习中遇到的困难，本文将介绍几种类型不定积分的求法.关键词 不定积分；分部积分；万能代换引言 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记作 ，其中称为积分号，为被积表达式，为积分变量不定积分的几何意义是：（1）若是的一个原函数，则称曲线为的一条积分曲线（2）函数的不定积分表示的某一条积分曲线沿着纵轴方向任意的向图（1）上向下平行移动所得到的所有积分曲线组成的曲线簇（3）在每一条积分曲线上横坐标相同的

10、点处作切线，则这些切线是互相平行的1，如图（1）不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的方法是非常重要的.除课本提供的方法外，本文针对一些常见的函数不定积分的方法进行归纳. 1 在分部积分中的应用在不定积分的分部积分法中，、和是两类典型的题目根据函数的导数与只差一个常数因子，以及多项式和三角函数、导数的特点，得出求解上述不定积分的一种方法待定系数法1.1 求因为一个次多项式与的乘积的导数仍是一个次多项式与的乘积，所以，一个次多项式与的乘

11、积的积分仍是一个次多项式与的乘积故令，其中两端求导可得：，即：比较等式两端的系数得 ，由此方程组可得的系数，即可求得的不定积分2.例1 求解 令，则 ；，解得 ；所以 由此可见，用待定系数法解此类题要比用部分积分法解简单.1.2 求和因为与的导数仍是这两类函数的线性组合，所以，它们的积分也应是这两类函数的线性组合故设 两边同时求导得，即 比较系数得，代入假设即可求得 同样可设，求导化简得，代入假设求得 在实际应用中，我们可以将和的计算结果当做公式来记忆，以提高解题速度 但是，上述的两个结果与被积函数或不相似，不易记忆，为此我们用以下公式来记忆， ， 其中为二阶行列式，等于3 当然，我们可以验证

12、公式与等价，公式与等价首先验证公式与等价，因为 ，所以有 ，即公式与等价同理可证公式与等价2 关于形如的解法2.1求对于形如，1. 若，则2. 若，则3. 若，中至少有一个不为，则 于是有 所以 2.2 对的推广对于的不定积分，其中，为常数且，不同时为零，我们也可以类似讨论其解法若，或，为常数，则变得非常简单，在此就不赘述了 若，中至少有一个不为，则 于是有 所以 至此，还需要求不定积分的解，我们可以用万能代换法，将其化为有理不定积分的形式令，则，故在这里我们需要讨论，的情况.下面进行分类讨论：情况一：当时，当时，为常数此时，所求的不定积分为常数当时，为常数此时，所求的不定积分 为常数当，时与

13、已知条件矛盾，在这里我们可以不讨论情况二：当时，令，则当时， (为常数)此时，所求的不定积分(为常数)当时， (为常数)此时，所求的不定积分 (为常数)当时，且 为常数)则此时所求的不定积分 (为常数)3 的递推公式6 平时，在进行不定积分的运算的过程中，我们常会碰到，这类型的，如，等等.因此，如果我们能推导出这类型不定积分的公式，那么就可以提高我们的解题速度了.下面我们一起来推导出其通用公式： 整理后得： 当时有 ， ， ，由此可导出一切，如： ， ， ， 在不定积分运算中，不仅方法是多样的，而且灵活性也较强.那么在实际运算中采用哪种方法，还要因题而宜. 积分问题多样、灵活而复杂，仅仅用教材

14、中的方法不能解决所有的不定积分问题，为了更好地掌握好更多求不定积分的方法，通过多做习题来积累经验，以求在掌握各种方法的同时，灵活运用它们解决问题.归纳不定积分的计算，其要点是：（1）抓住被积函数的表现特征；（2）选用适当的积分方法；（3）通过一定的计算把积分式子变成13个基本公式中的一个或是几个；（4）应用公式得结果. 参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析（上册）m.3版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一类不定积分的计算及应用j.山东师大学报（自然科学版），2001,16（3）:317-318.3 萧胜中.浅谈不定积分的求解方法j.广东民族学院学报（自然科学版），1998（

15、4）:92-95.4 高丽，齐琼，谢瑞.关于三类特殊不定积分求解方法的讨论j.西南民族大学学报自然科学版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，刘展.一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广j.平顶山学院学报，2009,24（5）：68-70.6 陈庆轩.介绍一类不定积分的解法j.重庆交通学院学报，1986,（3）:184-194.7 展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解j.高等数学研究，2005，8（6）：20-24. a few kinds of methods of solving indefinite integralmajor：mathematics and applie

16、d mathematics pang jijuansupervisor: huang chunmiaoabstract indefinite integral mathematical analysis is one of the important content, we commonly used for the indefinite integral method is: direct integral method, change yuan integral method and the division of integral method, etc. indefinite inte

17、gral is very simple in theory, but use of basic formulas and nature, can only find out some simple integral, for more complex integral, the operation is has the certain difficulty. sometimes, we also found in the calculation of some indefinite integral cant use direct way to calculate, which require

18、 us in the process of operation at ordinary times, many are summarized and promoted. according to our difficulties in study, this paper introduces several types of indefinite integral is also given.key wordsindefinite integral; division points; universal substitution致谢在这大学四年中，我要感谢所有教过我的老师，感谢他们对我孜孜不倦

19、的教诲。感谢所有给过我帮助的同学们，感谢他们对我的无微的关心。我能够顺利完成毕业论文地撰写，更要感谢我的指导老师黄春妙老师，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，黄老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨向郑黄老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢！ -河 池 学 院毕业论文（设计）指导教师评阅表系别：数学系 专业：数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（设计）题目关于几类不定积分求解方法的探讨指导教师黄妙职称或学位讲师论文设计评

20、分评分项目分值评分参考标准评分总分优良中及格不及格学习与工作态度201816141212分以下1885选题的价值与意义1098766分以下8文献资料检索与运用能力1098766分以下9研究水平与设计能力302724211818分以下24语言文字表达能力与论文规范201816141212分以下18成果的价值与创新性1098766分以下8指导教师评语 该论文总结了教材中求不定积分的方法中没有介绍的方法，不定积分是大学 数学的重要内容该论文通过归纳总结，探索出一些新的解不定积分中的方法该生在撰写论文的过程中，阅读了大量资料，遇到问题能够通过和指导老师或他人交流进行解决，对论文初稿进行了多次修改，态度

21、端正. 该论文反映出该同学，数学基础扎实，具有较强的分析问题解决问题的能力，语言表达能力有待提高.论文选题具有一定研究价值，文章论点鲜明，结构合理；在有限的资料范围内，能做到“论之有据”的求学严谨态度；论文格式符合规范要求；具有一定的学术水平和应用价值，达到了本科毕业论文的水平和要求是否同意参加答辩同意参加答辩指导教师签名： 2012 年 5 月 25 日河 池 学 院毕业论文（设计）评阅教师评阅表系别：数学系 专业：数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（设计）题目关于两类不定积分求解方法的探讨评阅教师覃永职称或学位讲师论文设计评分评分项目分值评分参考标准评分总分优良中及格不

22、及格选题的价值与意义1513.51210.599分以下1284文献资料检索与运用能力1098766分以下9研究水平与设计能力302724211818分以下24语言文字表达能力与论文规范302724211818分以下27成果的价值与创新性1513.51210. 599分以下12评阅教师评语庞继娟同学的毕业论文关于几类不定积分求解方法的探讨运用不定积分的几种方法求解了几类复杂的不定积分，对积分表中的几个公式作了推广。该论文反映出该同学数学基础扎实，具有较强的分析问题解决问题的能力和语言表达能力。该同学的论文行文条理清晰，推理合乎逻辑，语言表达准确，论文格式规范，选题有意义，内容有新意，可读性强，达

23、到了学士学位论文的水平。是否同意参加答辩同意参加答辩评阅教师签名： 2012 年5 月28 日注：评阅教师至少1人.河 池 学 院毕业论文（设计）答辩记录表系别：数学系 专业：数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（设计）题目关于几类不定积分求解方法的探讨答辩情况记录：1、自述： 论文题目是数学分析课程中渗透求不定积分方法的研究随着科学技术的不断进步和计算机的飞速发展，应用数学涉及的领域越来越广泛，我们不仅要理解不定积分的定义，熟练掌握教材中的解题方法，我们还要学会归纳归结，探索更多更简捷和有利的解题方法，这对提高学生的创新能力和培养学生的创新思想起着重要的意义.我的论文主要分

24、为三个部分：1、在分部积分中的应用，2、关于形如的解, 3、的递推公式. 2、答辩过程：问题1：这篇论文最精彩的部分在哪？答：本论文最精彩的部分是对的推广，推广为，其中，为常数且，不同时为零. 问题2：这篇论文最难的部分在哪？答：本论文最难的部分在于对的推导过程，特别是对，不同情况的讨论.问题3：这篇论文主要用了什么求解方法？ 答：本论文主要用的方法是待定系数法、分部积分法、万能代换法、换元法等等.这是在熟记基本公式、性质及常用微分关系式的基础上，遇到具体问题具体分析，选择一个合适而简单的方法，必要时将两种或两种以上的方法结合起来.记录员签名 2012年 5 月29日答辩小组成员签名 2012

25、 年5月29 日答辩小组组长签名 2012年5月29 日河 池 学 院毕业论文（设计）答辩情况评价表系别：数学系 专业：数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（设计）题目关于几类不定积分求解方法的探讨答辩小组评分评分项目分值评分参考标准评分总分优良中及格不及格选题的价值与意义1098766分以下884文献资料检索与运用能力1098766分以下9研究水平与设计能力201816141212分以下16语言文字表达能力与论文规范201816141212分以下18成果的价值与创新性1098766分以下9答辩效果302724211818分以下24答辩小组评语（对学生自述情况和回答提问情况等

26、进行评价）该生的论文关于几类不定积分求解方法的探讨选题合理，详细介绍了几类不定积分的一些求解方法，并结合典型的例子加以说明，文章思路清晰，语言流畅，内容充实，有一定可读性该生在答辩过程中，自述环节内容充实，阐述了论文研究的内容、方法和所得到的结果，举止大方，态度诚恳，口头语言表达能力较好，思路清楚；问题答辩环节中，能够正确地回答答辩组成员所提出的问题. 经答辩小组投票决定，该同学的答辩成绩为良好.是否同意通过答辩通过答辩小组成员答辩小组组长签名： 2012年 5 月 30 日河 池 学 院毕业论文（设计）总评成绩评定表系别：数学系 专业：数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（

27、设计）题目关于几类不定积分求解方法的探讨指 导 教 师黄妙职称或学位讲师评 分 人评分所占比例分数初评成绩指 导 教 师8540%34评分(整数计)84评 阅 教 师8425%21等级良好专业答辩小组8435%29系（院）答辩委员会意见（限重新组织答辩的毕业论文或设计）： 分数： 等级： 系（院）答辩委员会负责人签名： 年 月 日系（院）答辩委员会审定结论： 经系论文答辩委员会研究，认为该同学的毕业论文达到了数学与应用数学本科专业学士学位论文的要求最终分数： 等级： 系（院）答辩委员会主任签名（公章）： 2012年6月7日注：1. 初评成绩由答辩小组评定. 成绩等级：优秀：90100分；良好：

28、8089分；中等：7079分；及格：6069分；不及格：60分以下. 2. 需重新组织答辩的毕业论文（设计）只限于由答辩小组提出的优秀和不及格毕业论文（设计）. 其他毕业论文（设计）不需要通过系（院）答辩委员会重新组织答辩 3. 重新组织答辩的毕业论文（设计）由系（院）答辩委员会评定成绩. 4. 系（院）答辩委员会主任对初评成绩或系（院）答辩委员会的意见及成绩做最后审定.河 池 学 院毕业论文（设计）指导记录表系别：数学系 专业：数学与应用数学学 号2008104223姓 名庞娟论文（设计）题目 关于几类不定积分求解方法的探讨第一次指导记录（主要填写指导内容及学生存在问题）学生没有确定论文题目

29、，指导老师提供一些建议供学生选题目时作参考（网络）。指导时间：2012年 3月17日指导教师签 名学生签 名第二次指导记录（主要填写指导内容及学生存在问题）论文内容深度不够，论文格式不正确，需要进行修改（面谈、网络）。指导时间：2012 年3月26日指导教师签 名学生签 名第三次指导记录（主要填写指导内容及学生存在问题）论文内容需要多一些自己的思想，论文格式上还有一些细小的错误（面谈、网络）。指导时间：2012 年4月17日指导教师签 名学生签 名第四次指导记录（主要填写指导内容及学生存在问题）指导学生修改：文章结构层次，充实研究内容。指导时间：2012 年5月16日指导教师签 名学生签 名第五次指导记录（主要填写指导内容及学生存在问题） 逐句逐字指导学生修改论文，修改中英文摘要。指导时间：2012年5月25日指导