自控课程设计

1、目录1 引言.12 单级倒立摆数学模型的建立.13 开环响应分析.34根轨迹法设计控制器.64.1根轨迹相应参数的确定.64.2 校正和仿真结果.75 频率特性法设计控制器.146 pid控制器设计.206.1 pid控制.206.2 pid控制参数的确定.217 设计感想.25参考资料261引言倒立摆是一种典型的快速多变量非线性绝对不稳定非最小相位系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有极大的相似性，因而对其进行研究是具有重要的理论和实践意义。同时由于倒立摆结构简单，成本低廉，因而成为人们学习研究和验证各种控制理论的理想装置。本文以单级倒立摆为研究对象，运用牛顿动力学方法为其建立数学

2、模型，并基于根轨迹法频率特性法和pid法对此系统的控制器进行设计和仿真，对实验结果的比较与分析。2单级倒立摆数学模型的建立m：小车质量1.096kgm：摆杆质量0.109kgb：小车摩擦系数0.1n/secl：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mi：摆杆惯量0.0034kgm2f加在小车上的力x小车的位置 摆杆与垂直向上的夹角摆杆与垂直向下的夹角下图为摆杆与小车的受力分析图n和p为摆杆与小车相互作用的水平和垂直方向的分量。 直线一级倒立摆模型小车及摆杆受力情况分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆的受力方向分析可得如下公式： 对摆杆垂直方向合力的分析可得下面的方程： 力矩平

3、衡得： 由以上公式可得系统的运动方程分别为： 如果令，进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车位移的传递函数： 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 其中代入数据可得系统的实际模型： 3开环响应分析在matlab下输入如下命令行：m = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;i= 0.006;g = 9.8;l = 0.3;q = (m+m)*(i+m*l2)-(m*l)2; num = m*l/q 0 0den = 1 b*(i+m*l2)/q -(m+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0% open loop system respons

4、e for impluse signalt = 0 : 0.05 : 5;impulse( num , den , t )axis ( 0 1 0 60 )运行后可以得到开环响应图如下： 开环响应曲线 由图可知该系统的响应曲线是发散的，不收敛，所以系统不稳定。然后对该系统进行仿真：输入开环响应电路图如下： 开环响应仿真电路图可得到仿真后的结果： 输入小车加速度时小车位置的单位脉冲响应 输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应 图 输入为小车加速度时小车位置的单位阶跃响应4根轨迹法设计控制器4.1根轨迹相应参数的确定开环传递函数为： 由及可得：0.5911550.938306又由 可得：13.5

5、328可以得到期望的闭环极点为： 设控制器为： 已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：因此校正装置提供的相角为： 对于最大的值的角度可由下式计算得到： 得到按最佳确定法作图规则，画出相应的直线，可得到超前校正装置的零点和极点，分别为： 校正后的开环传递函数为： 由幅值条件，并设反馈为单位反馈，则k=141.137则系统的控制器为： 4.2校正和仿真结果校正前的根轨迹图及bode图从图中可以看出，开环极点及闭环极点有一部分在右半平面，故该系统是不稳定的，需要我们对它进行校正。校正前阶跃响应图 从图中可以看出该系统的单位阶跃响应曲线发散不收敛，所以该系统是不稳定的。初步校正后阶跃响应图

6、从图中可以看出，虽然我们在系统中加入了校正装置，系统已经是稳定的系统，但是该系统的超调量按照设计要求小于10%的要求是不满足的，该系统的超调量过大，而且该系统的调节时间ts大于0.5秒，也不满足设计的要求，所以我们要对这个校正装置进行调节，以满足设计要求。 在系统根轨迹图中，我们可以使零点向左偏移来以减少闭环零点和极点的影响。然后调节复平面上根轨迹上的闭环极点，每调一次就要观察一次单位阶跃响应曲线，并计算超调量和调节时间，判断这两项指标是否达到设计要求。当满足设计要求时，记录下此时的根轨迹图。调节后的根轨迹图及bode图校正后阶跃响应图从图中可以看出超调量为8.18%，根据误差带为2%及稳态值

7、1.59可以得出达到稳态的值应为1.6218，而图中当时间为0.5秒的时候响应值为1.62，说明调节时间0.5秒。满足设计要求。在siso平台的designs按钮下的edit compensater中读出此时对应的校正装置的传递函数。记录结果如下校正装置的参数单位脉冲扰动测试模拟仿真电路摆杆角度的单位脉冲扰动响应小车位置的单位脉冲扰动响应单位阶跃响应模拟仿真电路图摆杆角度的单位阶跃响应校正后小车位置的单位阶跃响应5频率特性法设计控制器开环传递函数为： 设超前校正装置为： 已校正系统具有开环传递函数设 式中 可以得到： 于是有： 在matlab中画出g1(s)的bode图：从图可知系统的相位裕量

8、为，根据设计要求，系统的相位裕量为，因此需要增加的相位裕量为，增加超前校正装置会改变bode 图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的 g j 的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量m 近似等于。因为 计算可以得到：=0.0994确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率 = 1/t和1/(t)，可以看出，最大相位超前角m 发生在两个转角频率的几何中心上，即 = 1/( t)，在 = 1/( t)点上，由于包含(ts +1) /(ts +1)项，幅值变化为： 又分贝于是可得： 于是控制器设置为： 增加校正后系统的根轨迹和奈魁斯特图如下：（进

9、入 matlab simulink 实时控制工具箱“googol education products”打开“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experimentfrequency response experiments”中的“frequency response control m files”）从 bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯特图中可以看出，曲线绕-1 点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。得到系统的单位阶跃响应如下：可以看出，系统在遇到干扰后，在1 秒内可以达到新的

10、平衡，但是超调量比较大。 打开“l1doffreq.mdl”，在matlab simulink 下对系统进行仿真（本例和以下的例子都不再仔细说明每步的操作方法，详细的步骤请参见前一章内容）.（进入matlab simulink 实时控制工具箱“googol education products”打开“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experimentfrequency response experiments ” 中的“ frequency response controlsimulink”）图摆杆单位脉冲

11、扰动响应小车位置单位脉冲响应小车位置单位阶跃响应摆杆角度单位阶跃响应9）可以看出，系统存在一定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又可以得到良好的静态精度，我们可以采用滞后超前校正（通过应用滞后超前校正，低频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量）6 pid设计控制器6.1 pid控制pid控制规律为： 离散化后为： 式中，t为采样周期；为比例系数；为积分系数；为微分系数。将常规pid控制方法用于倒立摆的原理如图所示：6.2 pid参数的确定对于pid 控制参数，我们采用以下的方法进行设定。由实际系统的物理模型：在 simulink 中建立如图所示的直线一级倒立摆模型：（进

12、入 matlab simulink 实时控制工具箱“googol education products”打开“inverted pendulumlinear inverted pendulumlinear 1-stage ip experiment pidexperiments”中的“pid control simulink”）。直线一级倒立摆pid 控制matlab 仿真模型先设置pid控制器为p控制器，令kp=9,ki=0,kd=0,得到以下仿真结果：直线一级倒立摆p 控制仿真结果图 kp=9 ki=0 kd=0从图中可以看出，控制曲线不收敛，因此增大控制量,kp=40,ki=0,kd=0

13、,得到以下仿真结果：直线一级倒立摆p 控制仿真结果图 kp=40 ki=0 kd=0从图中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0.7s。为消除系统的振荡，增加微分控制参数 kd ，令kp=40,ki=0,kd=4。得到仿真结果如下：直线一级倒立摆pd 控制仿真结果图 kp=40 ki=0 kd=4从图中可以看出，系统稳定时间过长，大约为4 秒，且在两个振荡周期后才能稳定，因此再增加微分控制参数kd，令kp=40,ki=0,kd=10。仿真得到如下结果：直线一级倒立摆pd 控制仿真结果图 kp=40 ki=0 kd=10从上图可以看出，系统在 1.5 秒后达到平衡，但是存在一定的稳态误差。为

14、消除稳态误差，我们增加积分参数ki，令：kp=40,ki=20,kd=10。得到以下仿真结果：直线一级倒立摆pid 控制仿真结果图kp=40 ki=20 kd=10从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。双击“scope1”，得到小车的位置输出曲线为：直线一级倒立摆pd 控制仿真结果图可以看出，由于pid 控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动。7设计感想 本文对单级倒立摆的3中控制方法：根轨迹法，频率特性法及pid控制，分别进行了仿真分析，通过本次设计，更深的理解了什么是控制，及对上述三种方法有了更深入的理解，并通过本次设计认识到了原来所学理论知识在实际当中的应用，宽阔了视野。最终能够完整的完成此次课程设计，锻炼了自己查询资料，阅读资