高考数学二轮复习专题四 函数与导数专题

1、函数与导数专题1.设函数相切于点（1，11）。 （1）求a，b的值； （2）讨论函数的单调性。解：（1）求导得2分 由于相切与点（1，11）， 所以5分 解得6分 （2）由 令 所以当是增函数，8分 当也是增函数；10分 当是减函数。2.已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，(1) 求函数式；（2）求函数的单调递减区间；解：（1）当时，由得，；（且）-2分当时，由.得-4分-5分（2）当且时，由0, 则h(x)=ax+2-=, （2分） 函数h(x)存在单调递增区间, h(x)0有解, 即不等式ax2+2x-10有x0的解. （3分） 当a0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少

2、有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需=4+4a0, 即a-1. 即-1a0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-10 一定有x0的解. （6分） 综上, a的取值范围是(-1, 0)(0, +) （7分）9. 已知为实数， 若在和上都是递增的，求的取值范围。解：为开口向上且过点的抛物线，由条件知：，即 解得：，所以的取值范围是10.已知函数 （1）当时，求函数在点处的切线方程及的单调区间； （2）求函数的极值解：（1）当a = -1时， 函数在点x = 1处的切线方程为y1= 3（x1），即y

3、 =3x -2 当 时，函数在（0，+）上是增函数，而的定义域为，则函数的单调增区间为，不存在递减区间 （2）函数的定义域为（0，+）， 当时，在（0，+）上是增函数；函数无极值 当时，由，得， 由， 当时，有极小值 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值11.设求a的值，使的极小值为0；解：（1）令时，无极值。（1）当的变化情况如下表（一）x（,0）0（0，22a）22a（22a,+ ）0+0极小值极大值此时应有（2）当的变化情况如下表（二）x（,22a）22a（22a，0）0（0+ ）0+0极小值极大值此时应有综上所述，当a=0或a=2时，的极小值为0。12.已知函数在区间（1，2

4、上是增函数，在区间（0，1）上为减函数.（）试求函数的解析式；（）当 x 0时，讨论方程解的个数.解: （）在恒成立,所以,.又在恒成立,所以 ,. 从而有.故,. （）令, 则所以在上是减函数,在上是增函数, 从而当时,.所以方程在只有一个解. 13.已知函数 （）求的极值； （）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围。解：（）令2分当是增函数当是减函数（）（i）当时，由（）知上是增函数，在上是减函数又当时，所以的图象在上有公共点，等价于解得（ii）当时，上是增函数，所以原问题等价于又无解14.已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同时为零的实数k和t，

5、使=+(t23)，=-k+t，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况. 解：(1)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0 =0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1

6、)1(1,+ )f(t)+0-0+f(t)极大值极小值当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k时,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)当k=或k=时,方程f(t)k=0有两解；(3) 当k时,方程f(t)k=0有三解. 15.已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.（）解：的定义域为， . 1分 的导数. . 3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. . 5分所以，当时，取得最小值. . 6分（）解：解法一：令，则， 8分 若，当

7、时，故在上为增函数，所以，时，即. . 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以，时，即，与题设相矛盾. 综上，满足条件的的取值范围是. . 13分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 8分令， 则. . 10分当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是， . 12分从而的取值范围是. 16. 已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（1）求、的表达式； (2iii）当时,若在内恒成立,求的取值范围.解: （i）依题意,即,.上式恒成立, 1分又,依题意,即,.上式恒成立, 2分由得.3分 4分（2）设,9分在为减函数 又11分所以：为所求范围.

8、12分17.已知函数f(x)=是否存在实数a0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由。解：方程即为 等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0 . （8分） 设h(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间()内根的问题, 转化为函数h(x)在区间()内的零点问题. （9分） h(x)=2ax+(1-2a)-= （10分） 当x(0, 1)时, h(x)0, h(x)是增函数； 若h(x)在()内有且只有两个不相等的零点, 只须 （13分）解得, 所以a的取值范围是(1, ) （14分）18.已知函数（m、nr，m0）的图

9、像在（2，）处的切线与x轴平行 （1）求n，m的关系式并求的单调减区间； （2）证明：对任意实数关于x的方程： 恒有实数解 （3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间a,b上连续不断的函数，且在区间（a,b）内导数都存在，则在（a,b）内至少存在一点x0，使得如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件试用拉格朗日中值定理证明：当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）解：（1）因为1分由已知2分即当3分当4分综上所述：当当5分 （2）6分可化为令7分则，即又因为所以，即8分故在区间内必有解，即关于x的方程恒有实数解9分 （3）令10分则符合拉格

10、朗日中值定理的条件，即存在使11分因为12分即14分19.抛物线经过点、与点，其中，设函数在和处取到极值。（1）用表示；（2） 比较的大小（要求按从小到大排列）；（3）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求。解：（1）由抛物线经过点、设抛物线方程，又抛物线过点，则，得，所以。 3分（2），函数在和处取到极值， 5分故， 7分又，故。 8分（3）设切点，则切线的斜率又，所以切线的方程是 9分又切线过原点，故所以，解得，或。 10分两条切线的斜率为，由，得，所以，又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且。所以。 20.如图所示，a、b为函数图象上两点，且ab/x轴，点m（1，m）（m3）是abc边ac的中点. （1）设点b的横坐标为t，abc的面积为s，