硬币的滚动问题(金星中学张晓华)

1、硬币的滚动问题硬币的滚动问题无锡市金星中学 张晓华在一切平面图形中在一切平面图形中, ,圆是最美的圆是最美的. . 车轮为什么是圆的？车轮为什么是圆的？硬币为什么是圆的？硬币为什么是圆的？ 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了一周，这时滚动的硬币滚动了( () )A A1 1圈圈 B B1.51.5圈圈C C2 2圈圈 D D2.52.5圈圈20092009年广东省佛山市中考数学年广东省佛山市中考数学题题rr第9题图提出问题提出问题问题：问题：如图，将一枚半径为如图，将

2、一枚半径为r r的硬币在直线上滚动一的硬币在直线上滚动一圈，则这枚硬币滚动的距离为圈，则这枚硬币滚动的距离为 ； AOl探究一探究一 硬币在直线上滚动硬币在直线上滚动A1O1r2 r 圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度圆滚动过的长度. . AO1B 4 rOra结论：当硬币在直线上滚动时，结论：当硬币在直线上滚动时，硬币滚动的圈数硬币滚动的圈数= =圆经过的路径长圆周长问题：问题：如图，若线段如图，若线段AB= AB= ，则这枚半径为，则这枚半径为r r的硬的硬币从点币从点A A无滑动地滚动到点无滑动地滚动到点B B需转需转 圈；圈； 4 r2探

3、究一探究一 硬币在直线上滚动硬币在直线上滚动圆心经过的路径长圆周长问题：如图，将总长为问题：如图，将总长为 的线段的线段ABAB在中点在中点C C处折成处折成9090，这时这枚半径为这时这枚半径为r r的硬币从点的硬币从点A A到点到点B B需转需转 圈；圈；4 r2 r2 rO OB BA AC C9090拓展延伸拓展延伸r问题：如图，将总长为问题：如图，将总长为 的线段的线段ABAB在中点在中点C C处折成处折成9090，这时这枚半径为这时这枚半径为r r的硬币从点的硬币从点A A到点到点B B需转需转 圈；圈；4 rO O2 r2 rC CA AB BO O1 1O O3 3O O2 2

4、9090拓展延伸拓展延伸r问题：如图，将总长为问题：如图，将总长为 的线段的线段ABAB在中点在中点C C处折成处折成6060，这时这枚半径为这时这枚半径为r r的硬币从点的硬币从点A A到点到点B B需转需转 圈；圈；4 rO O6060)C CB BA AO O2 2O O1 1O O3 32 r2 r120120)拓展延伸拓展延伸r思考：若思考：若ABAB长为长为a，点，点C C为为ABAB上任一点，如图所示，上任一点，如图所示，这时这枚半径为这时这枚半径为r r的硬币从点的硬币从点A A到点到点B B需转需转 圈；圈；O O) )C CB BA ArO O2 2O O1 1180236

5、0ar)拓展延伸拓展延伸问题：如图，问题：如图， 连接连接ABAB，这时这枚半径为，这时这枚半径为r r的硬币沿的硬币沿ABCABC的外侧滚动一周需转的外侧滚动一周需转 圈；圈；O O6060)C CB BA AO2O O1 1O32 r2 rr r4120120探究二探究二 硬币在多边形上滚动硬币在多边形上滚动O5O O4 4问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的外侧滚动一周需转外侧滚动一周需转 圈圈. .A AB Br rC CD D 2 r2 r2 r2 rO O1 1O O2 2O O探究二探究二 硬币在多边形上滚动硬币在多

6、边形上滚动5O Or rA AB BC CO OO OO OO OO O1 12 23 34 45 56 6)探究二探究二 硬币在多边形上滚动硬币在多边形上滚动12ar问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三角形的周长为角形的周长为a，则这枚硬币沿，则这枚硬币沿ABCABC的外侧滚动一周的外侧滚动一周需转需转 圈圈. .问题：如图，将任意三角形改为任意四边形，且该四问题：如图，将任意三角形改为任意四边形，且该四边形的周长为边形的周长为a，则这枚硬币沿四边形的外侧滚动一，则这枚硬币沿四边形的外侧滚动一周需转周需转 圈圈. .O O1 14 43

7、 32 25 57 78 86 6探究三探究三 硬币在多边形上滚动硬币在多边形上滚动12ar问题：如图，如果是一任意一个周长为问题：如图，如果是一任意一个周长为a多边多边形呢，硬币需转几圈？形呢，硬币需转几圈？ O Or rA A1 1A A5 5A A4 4A A3 3A A2 2A An n探究三探究三 硬币在多边形上滚动硬币在多边形上滚动结论：硬币沿多边形的外侧结论：硬币沿多边形的外侧滚动一周，硬币转动的圈数滚动一周，硬币转动的圈数= =1多边形的周长圆周长12ar 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动定其中一枚，而另一枚则

8、沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了一周，这时滚动的硬币滚动了( () )A A1 1圈圈 B B1.51.5圈圈C C2 2圈圈 D D2.52.5圈圈20092009年广东省佛山市中考数学年广东省佛山市中考数学 rr第9题图探究四探究四 圆在曲线上滚动圆在曲线上滚动？实践操作实践操作rrO1O 圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过的路径长度的路径长度. .结论：结论：当硬币在曲线上滚动时，当硬币在曲线上滚动时，硬币转动的圈数硬币转动的圈数= =圆心经过的路径长圆周长22r2r2硬币转动的圈数硬币转动的圈数= =解决问题解决问题r rO Or rO O

9、r rO Or rO Or rO O2 r多边形的周长为r rO Or r边数边数n n趋向于无穷大时趋向于无穷大时 将一枚半径为将一枚半径为r r的硬币沿着另一枚半的硬币沿着另一枚半径为径为2r2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动的硬币的边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了的硬币滚动了 圈圈学以致用学以致用OO1r2r2rrOO13O O1 1O O2 2O O3 3 将将4 4枚半径为枚半径为1cm1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚，的硬币放在桌上，固定其中三枚，而另一枚则沿着它们的边缘从而另一枚则沿着它们的边缘从 O滚动到滚动到 O，这时硬，这时硬币滚动的路程为币滚动的路程为 ，转了，转了 圈圈. . O OO O学以致用学以致用O O4 4O O5 5123 本节课你学到了哪些知识？有什么收获？ 课堂小结课堂小结D DC CB BA A6060cmcm4040cmcm4040cmcm)6060一位小朋友在粗糙不打滑的一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”Z”字形轨道上滚动一字形轨道上滚动一个半径为个半径为10cm10cm的圆盘，如图所示：的圆盘，如图所示：ABAB与与CDCD是水平的，是水平的，BCBC与水平面的夹角为与水