浅谈矩阵对角化及其应用

1、浅谈矩阵对角化及其应用写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。众所周知：n维向量空间v中的线性变换可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而可对角化的充要条件是关于v的矩阵a可对角化。 内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。关键词 ：矩阵 对角化 特征多项式 特征值 特征向量 导言

2、：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了 矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。具体内容：1、矩阵可对角化的条件：1）设是n维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是有n 个线性无关的特征向量。2）方块矩阵 a 被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵 p 使得 p1ap 是对角矩阵。3）设a 是数域f上的n阶矩阵，如果存在f上n阶可逆矩阵t，使得tat=,那么，就说矩阵a 是可以对角化的。可对角化矩阵的基本性质

3、和结论：1） 数域f上n阶矩阵a可以对角化的充要条件是a有n个线性无关的特征向量。2） 数域f上n阶矩阵a在f内有n个不同的特征根，那么a可以对角化。3） 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。4） 如果在n维空间v中，线性变换的特征多项式在数域p中有n个不同的根，即有n个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。 5） 任一n 阶实对称矩阵都可以对角化。6） 对任一n阶实对称矩阵a，必存在n阶正交矩阵t使得tat=diag(,.,)，其中（,.,为a的特征根)。5）实对称矩阵 的任一个特征值都是实数。6）实对称矩阵 对应于不同特征值的实特征向量是正交的。2、矩阵对角化的方法及实例解析

4、：（以实对称矩阵为例）实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。 设a 是一个n 阶实对称矩阵， , 是任意的n 维实向量，那么 (a,)=(,a) 设a是一个n阶实对称矩阵，t=是一个正交矩阵使得，则,是a的所有特征值，而x,x,x是a的n个相互正交的单位特征向量。例1设a=，求正交矩阵t，使得tat为对角阵。解：由=得的特征值为=1（三重特征值）,=5.当=1时，由(e-a)=0，即：=得基础解系为=， =，= ，把它正交化，得=，=-=，=-=再将其单位化得：=，=，= 当=5时，由(e-a)=0即：=，得基础解系为=,将其单位化得：=则,

5、是a的一组单位正交的特征向量，令t=则t是一个正交矩阵。且tat例2 设a=，求正交矩阵t，使得tai为对角阵。解：由e-a=(-2)(-8)得的特征值为=2（二重特征值），=8。=当=2时，由(e-a)x=0，即：=得基础解系为=，=，把它正交化得：=,=-=。再将其单位化得：=,=。当=8时，由（e-a）x=0，即：=得基础解系为=，将其单位化得：=。则,是的一组单位正交的特征向量，令t=则t是一个正交矩阵，且tat=.3、可对角化矩阵的应用 可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的意义，例如其在求特征值、特征向量方面有着重要的应用，可以简化计算。 1）求方阵的高次

6、幂一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵a 能相似于对角矩阵(a 可以对角化),即若存在可逆矩阵p,使得pap=b,其中b 是对角阵.则a=pbp,a =（pbp) =pbp pbppbp =pbp,而对角阵b 的n次幂是由各对角元素的n次幂组成,所以可通过a 的相似对角阵来求a 。例1 作为计算矩阵高次幂的一个实例,考察如下问题:设某城市共有3 0 万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:(1)在这30 万就业人员中,目前约有15 万人从事农业,9 万人从事工业,6 万人经商;(2)在从农人员中,每年约有20% 改为从工,10% 改为经商;(3)在从工人员

7、中,每年约有20% 改为从农,10% 改为经商;(4)在从商人员中,每年约有10% 改为从农, 1 0 % 改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多之后,从事各业人员总数之发展趋势。解:若用3 维向量x 表示第i年后从事这三种职业的人员总数, 则已知x = ,而欲求x,x并考察在n时x 的发展趋势,引进3 阶矩阵a=a用以刻画从事这三种职业人员间的转移,例如:a =0.1 表明每年有10%的从工人员改去经商。于是有a = , 由矩阵乘法得x =ax= ax = ,x 2 = a x = ax = 所以x = a x=ax要分析x 就要计算a 的n次幂a ,可先将a 对角化即

8、=(1- )(0.7- )(0.5- )特征值为=1, =0.7, =0.5 分别求出对应的特征向量q,q,q 并令q= q,q,q ,则有a= qbq 从而有a =qbq ,再由x =ax ，b= ,b 可知n时b将趋于,故知a 将趋于qq,因而x 将趋于一确定常量x * , 因而x 亦必趋于x * , 由x =ax 知x* 必满足x*=ax*, 故x* 是矩阵a 属于特征值= 1 的特征向量, x * =t= ,t +t +t =3 =30,t =10,照次规律转移,多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等, 均为10 万人。2 利用特征值求行列式的值例1 设n阶实对称矩阵a 满足a =a

9、,且a 的秩为r, 试求行列式的值。解: 设ax =x, x 0,是对应于特征值的特征向量, 因为a = a , 则x = a x =ax=x,从而有(- )x=0,因为x 0所以( -1)=0,即=1 或0,又因为a 是实对称矩阵,所以a 相似于对角矩阵,a 的秩为r, 故存在可逆矩阵p , 使得pap= =b , 其中e 是r阶单位矩阵, 从而=23 由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵a 可对角化,即存在可逆矩阵p 使p ap= b , 其中b 为对角矩阵,则a =pbp 例1 设3 阶实对称矩阵a 的特征值为=-1, =1,对应于 的特征向量为p =,求矩阵a。解:因为a 是实对称矩阵,所

10、以a 可以对角化,即a 有三个线性无关的特征向量,设对应于=1的特征向量为p=,它应与特征向量p 正交, 即p,p= 0x+x+x=0,该齐次方程组的基础解系为p =,p =,它们即是对应于=1 的特征向量。取p =(p ,p ,p )=,b=则p ap= b , 于是a =pbp =4 判断矩阵是否相似例1 下述矩阵是否相似a = , a =,a = 解: 矩阵a ,a ,a 的特征值都是=2(二重), =3,其中a已是对角阵,所以只需判断a ,a 是否可对角化先考查a ,对于特征值=2 ,解齐次线性方程组(2e- a )x=0 得其基础解系为=,由于=2 是a2 的二重特征值,却只对应于一

11、个特征向量,故a 不可对角化或者说a 与a 不相似。再考查a ,对于特征值=2,解齐次线性方程组(2e- a ,)x=0 得基础解系;对于特征值2=3 解齐次线性方程组(3e- a ,)x=0,得基础解系由于a ,有三个线性无关的特征向量,所以a , 可对角化, 即a ,与a 相似。5 求特殊矩阵的特征值例1 设a 为阶实对称矩阵,且a=2a,又r(a)= rn ,求(1)a 的全部特征值;(2)行列式的值。解:(1)设为a 的任一特征值, 为a 的对应于特征值的特征向量,所以a = ,有a=a = , 又因为a=2a,所以a=2a =2 ,所以=2 ,由此可得 =2 或0,因为a 是实对称矩阵,所以a 必能对角化即a b= ,且r(a)=r(b),故2 的个数为a 的秩数,即a 的特征值为r个2 及( n- r)个0。(2)因为由(1)可得a b,即存在可逆矩阵c ,使得c ac = b ,故有a = cbc = = =-(-1)结论：矩阵的对角化问题在高等代数中扮演着很重要的角色，在很多方面都有其重要的作用（例如求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值与特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、求特殊矩阵的特征值），因此我们应该认真学好并能和美好的应用其给我们在学习中带来的方便。参考文献：1 王萼芳,石生明修订.高等代数m