高等数学能力应用题

1、高等数学应用（建模）题 （图书馆参考图书：高等数学应用205例）1货币兑换问题已知美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。某人准备从美国到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因故未能去成，于是他又将加拿大元兑换成了美元，问他是否亏损？解：设为将美元兑换成的加拿大元数，为将加拿大元兑换成的美元数。则：，1000-985.6=14.4，即亏损14.4美元。2住房是居民消费的一个重要部分。大部分选择银行按揭贷款，然后再若干年内逐月分期还款。如果你借了10万元，还款额一定超过10万元。设贷款总额为，贷款期限为个月，采取逐月等额方式还本息。若为第

2、个月的欠款数，为月还款数，为月利率。我们得到下列迭代关系式：那么，当时，。由此可以得到月还款计算公式：例题1：农夫老李有一个半径为10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛拴在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，它想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？例题2：通道中的细杆10m5m要运送一根细杆通过由宽5m和宽10m的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持细杆水平，问这根细杆最多可以多长？又通道为圆柱 形的且细杆不必保持水平，细杆至多可以有多长？3房租如何定价使利润最大一房地产公司有50套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每增加10元时，就有一套租不出去，

3、而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？解 设租金为元/月，租出的公寓有套，总收入为令，得唯一驻点，此时。所以，当租金定为350元/月时可获得最大收入，最大收入为10890元。*4拉船靠岸问题如图所示，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，假定绳长为米，船位于离岸壁米处，试问：当收绳速度为米/秒时，船的速度、加速度各是多少？解：、h、s三者构成了直角三角形，由勾股定理得 （1）两端同时对时间求导，得，即 （2）为绳长，按速度定义，即为收绳速度，船只能沿线在水面上行驶逐渐靠近岸壁，因而应为船速，将它们代入（2）式得船速 （3）利用（1）式消去，得（m/s

4、） （4）（注：原先是的函数，现改为的函数）（4）中，都是常数，只有s是变量。按加速度定义将（4）式代入上式，得（m/s） （5）（这里的负号表明加速度的方向与x轴的正向相反）*5飞机俯冲时机翼影子的速度一架飞机沿抛物线的轨道向地面俯冲，如图所示，轴取在地面上。机翼到地面的距离以100m/s的固定速度减少。问机翼离地面2501米时，机翼影子在地面上运动的速度是多少（假设太阳光线是铅直的）解：机翼到地面的距离以100m/s的速度递减，所以机翼垂直下降的速度是（取负号是因为下降，方向向下）。因为太阳光是垂直的，所以机翼影子在地面的运动速度就是飞机机翼的水平速度，故本题是求当时，=？等式 （1）两边

5、对t求导，得 （2）由（1），有，当时，.把，代入（2）即得=1（m/s）*6如何选择最优批量某工厂生产某型号车床，年产量为台，分若干批（每一批台数相同）进行生产，每批生产准备费为元，设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批（不考虑生产需要的时间），即平均库存为批量的一半。设每年每台库存费为元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量少则批数增多，因此生产准备费高。如何选择批量，才能使一年中库存费与生产准备费的和最小。解：设批量为，库存费与生产费的和为，首先求出。因年产量为，所以每年生产的批数为，则生产准备费为，因年库存量为，故年库存费为，因此可得，其次，在不考虑生产能力的条件下，问每批生

6、产多少台（即批量）时，为最小？这是一个一元函数极值问题，对求导得，令，得，舍去负根，得驻点，又因，因此，当时，取得极小值即最小值。于是得出：要使一年中库存费与生产准备费之和最小的最优批量应为。7您的书写灯应该挂多高一个灯泡吊在半径为r的圆桌的正上方，桌上任一点受到的照度与光线的入射角的余弦值成正比（入射角是光线与桌面的垂直直线之间的夹角），而与光源的距离平方成反比。欲使桌子的边缘得到最强的照度，问灯泡应挂在桌面上方多高？灯解：如图，在桌子边缘处的照度，其中为比例常数，为灯到桌子边缘的距离。设为灯到桌面的距离，于是，所以，对求导，得，,容易验证此时取得最大值。（做了这道题后，当您在晚上阅读或书写

7、时，是否考虑设计一下您的书写灯的位置，使您在学习时能得到最佳的照度？）8何处看塑像最好海洋公园中有一高为a米的鱼美人塑像，其底座高为b米。为了观赏时看得最清楚（即对塑像张成的夹角最大），应该站在离底座脚多远的地方？解：设游人的水平视线距地面c(c0是比例常数。上式即为物体冷却过程的数学模型。求解后得可计算20分钟后温度为，当时，温度（推广：双层玻璃的功效）13投入产出分析一个城镇有三个主要企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统。生产价值1元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产1元的电，需消耗0.4元的煤费、0.05元的电费和0.1元的运输费；而提供价值1元的铁路运输服务，

8、则需消耗0.45元的煤费、0.1元的电费和0.1元的运输费。在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求，煤矿得到50000元的订单，电厂得到25000元的电量供应要求，而地方铁路得到价值30000元的运输需求。试问：（1）这三个企业在这星期各应生产多少产值才能满足内外需求？（2）除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值（即产值中除去各企业的消耗所剩的部分）。解：（1）设煤矿、电厂和铁路在这星期生产总产值分别为、元，则有 （方程组1）该方程每个等式以价值形式说明了对每一企业：中间产品（作为系统内各企业的消耗）+最终产品（外部需求）=总产品。求解方程组1得，。即在该星期中，煤矿、电厂和地方铁路的总产值分别为11458元、65395元和85111元。（2）另外，若设、元分别为煤矿、电厂和地方铁路在这星期的新创价值，则有： （方程组2）方程组2说明对每一企业：对系统内各企业产品的消耗+新创价值=总产值。由方程组1求解，代入方程组2，得：煤矿、电厂和地方铁路在这星期的新创价值为、元。课后问题1：某人看到一飞机在其垂直的头顶飞过，经过30秒后飞