高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4.1比较法分析法练习北师大版选修45

1、第1课时比较法、分析法课后篇巩固探究a组1.若a=1x2+3与b=1x+2,则a,b的大小关系是()a.abb.a0,所以ab.答案:a2.若a2,b2,则()a.a+babb.a+b2,b2,所以1a12,1b12.所以a+bab=1a+1b1,故a+bqb.p0,q0.p2-q2=a+b22-(a+b)2=-(a-b)220,当且仅当a=b时,等号成立.p2-q20.pq.答案:d4.当x1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x1,x-10.又x2+10,x3-(x2-x+1)0,即x3

2、x2-x+1.答案:x3x2-x+15.已知a1,a2(0,1),m=a1a2,n=a1+a2+1,则m,n的大小关系是.解析:m-n=a1a2-a1-a2-1=(a1-1)(a2-1)-2.因为a1,a2(0,1),所以a1-1,a2-1(-1,0).所以(a1-1)(a2-1)(0,1),所以(a1-1)(a2-1)-20,故mn.答案:m0,y0,求证:xx+10,y0,所以(x+1)(x+y+1)0.所以-y(x+1)(x+y+1)0,故xx+1bc,求证:bc2+ca2+ab2bc,所以b-a0,c-a0,c-b0.所以(b-a)(c-a)(c-b)0.故bc2+ca2+ab20,b

3、0,a=a+b2ab,b=2a+b,求证:ab.证明a0,b0,a0,b0.ab=a+b2ab2a+b=a+b2aba+b2=(a+b)24ab4ab4ab=1,当且仅当a=b时,等号成立.ab.9.导学号35664015已知a,b(0,+),nn+,求证:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).证明(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-an).当ab0时,a-b0,bn-an0,有(a-b)(bn-an)a0时,a-b0,有(a-b)(bn-an)nb.m0,

4、故mn.答案:a2.求证:2+35.证明:因为2+3和5都是正数,所以要证明2+35,只需证明(2+3)2(5)2,展开得5+265,即260,显然成立,所以不等式2+35.上述证明过程应用了()a.综合法b.分析法c.综合法、分析法混合d.间接证法解析:分析法是“执果索因”,基本步骤为:要证明只需证明,只需证明,结合证明过程,证明过程应用了分析法.故选b.答案:b3.设abc0,x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系为.解析:abc0,x0,y0,z0.而x2-y2=a2+b2+2bc+c2-(b2+c2+2ac+a2)=2bc-2ac

5、=2c(b-a)0,x2y2,即xy.又y2-z2=b2+(c+a)2-c2+(a+b)2=2ac-2ab=2a(c-b)0,yz.xyz.答案:xy0,求证:aa+m+bb+mcc+m.证明由已知a0,b0,c0,m0.要证明aa+m+bb+mcc+m,只需证明a(b+m)+b(a+m)(a+m)(b+m)cc+m,即证明2ab+m(a+b)ab+m(a+b)+m2cc+m,只需证明ab+m(a+b)+m22ab+m(a+b)c+mc,即证明1+m2-ab2ab+m(a+b)1+mc,只需证明m2c-abc2mab+m2(a+b)成立,即证明m2c-(a+b)c.即c-(a+b)0,m2c-(a+b)0,m2c-(a+b)0,ab0,(a-b)20,所以ab+ba-(a+b)0,所以ab+baa+b.证法二ab+ba-(a+b)=ab-b+ba-a=a-bb+b-aa=(a-b)(a-b)ab=(a+b)(a-b)2ab0,所以ab+baa+b.证法三ab+baa+b=(a)3+(b)3ab(a+b)=a+b-abab=1+(a-b)2ab1,所以ab+baa+b.6.导学号35664017已知0x|loga(1+x)|.(其中a0,且a1)证明0x0,且a1,|loga(1-x)|loga