数值分析考试试卷和答案

1、名姓号学级班卷试学大峡三2011年春季学期数值分析课程考试试卷(a卷)答案及评分标准2、考试时间：120分钟;注意：1、本试卷共3页;分)i ： (x)卜：1. (23.4.5.7.将人=则l-2 1、作doolittle 分解(即lu分解),10、(2 分)，u0 0.5(2分)设 f (x) =3x2 +5,xk =kh,(k =0,1,2，)，则差商 fxn设f (x)可微，求方程x = f (x)根的牛顿迭代格式是xk 1 = xkxk ),k =0,1,2.(2 分) 1 - f (xk),xn h , xn 2, xn 3 = 0 .(2分)用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0

2、在区间0,1内的根，迭代进行二步后根所在区间为0.5,0.75 . (2分)6.为尽量避免有效数字的严重损失，当x aa 1时，应将表达式- v x改写为以保证计算结果比较精确.(2分)(10分)用最小二乘法解下列超定线性方程组:为 x2 = 4x1 2x2 = 7xj _ x2 2解：中(x1, x2) = e2 十 e2 十,、2,22,2=(x1 x2 - 4)(x1 2x2 - 7)(x1 - x2 - 2)2(3x1 2x2 - 13) = 0=2(2x1+ 6x2 16)=002得法方程组(8分)3+2乂2 = 13232xh + 6x2 = 16 v -t x12311(10 分

3、)xi -x2= .77所以最小二乘解为:x-1-0.500.5 1f(x)-100.51.5 2、(10分)已知f(x)的函数值如下表1171用复合梯形公式和复合 simpson公式求口 f (x)dx的近似值. . 一 1 ,解用复合梯形公式，小区间数n = 4,步长h = m 1(1) = 0.54ht4 f (-1)2( f(-0.5)f (0) f (0.5) f (1).2*试卷第6页共3页0.5=-1 +2(0+0.5+1.5) +2 =1.25(5 分)21 用复合simpson.小区间数n = 2 ,步长h = _ x 1 _ (_1) = 12hs2 k1) 2 f (0)

4、 4(f (-0.5)f(0.5) f (1)618八= 1 + 2 m 0.5+4(0 +1.5) +2=一定 1.33(10分)66五、（10分）取节点x0 = 0,x1 = 1，写出y（x）=e-x的一次插值多项式l（x），并估计插值误差解：建立 lagrange 公式为名姓 号学 级班 卷试学大峡三x - x1x- x0x _ 1x _ 0_1_1l1(x)= = y + y1 =x 1+xe =1x+e x . (8 分)x0 - x1x- x00-11-01 o .有精确解 y(x) =-ax2 +bx , 2rx|； |y(x) - l1(x) =曾(x0)(x1)试证明：用eu

5、ler法以h为步长所得近似解yn的整体截断误差为1；n = y(xn) - yn =二 ah2证: euler 公式为：yn=yn hf(xnyn)代入 f (x, y) =ax+b 得：yn = yn+ h(axn+b)由 y(0) = y0=0得:y1 = y0 h(ax0 b) = bh ; y2 = y1 h(ax1 b): 2bh ahx1y3 = y2 + h(ax2 +b) = 3bh +ah(x1 + x2)yn =yn h(axn4 b) = nbh ah(x x?xn)(10 分)因 xn=nh,于是yn=bxn+ah21+2+(n1) =bxn+ah2 (n -1)n2=

6、 xnxn4 bxn2；n = y(xn) f wax； b*n - (a *n *n 4 b*n )22a /、 a u= -(xn -xn)xn =-hxn221.2=anh2(12 分)11max(x-0)x-1 三一2 0、,8(10 分)六、（10分）在区间2,3上利用压缩映像原理验证迭代格式xk+i = in 4xk, k = 0,1的敛散性.解：在2,3上，由迭代格式 xk+1 = in4xk,k= 0,1，知中（x）= in4x.因 xw 2,3时，中(x)w p(2),(3)=ln 8,ln12= 2,3(5 分)一 .1 又f （x） |=| k 1,故由压缩映像原理知对任

7、意x0匚2,3有收敛x的迭代公式xk+= in 4xk,（k = 0,1； ）（10 分）名姓号学 级班 卷试学大峡三2 11a 0 0 f (x)dx- 0 0 p2(x)dx=i a f (xk),k-0试构造方程组x +2x2 =33x1 +2x2 =4收敛的jacobi迭代格式和gauss-seidel迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下：3x1 2x2 =4x1 2x2 = 3调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组 gs迭代格式一定收敛.收敛的j迭代格式为：，故可保证建立的j迭代格式和其中:0 - a 乂 .(x - xi )(x0 - x2)a。)dx二(

8、x1 - x0 )(x1 x2)a 1 (x-x)(x-xi),a = 0dx 二(x2 - x0)(x2 - x1),所求的插值型求积公式为:(k 1)x1(k 1)x2= 3(4-2x2k)二 2(3 - x1(k)k =0,1,.(5分)收敛的gs迭代格式为：解:八、（12分）已知x0(k 1)x1x2k 1)1)= 3(4-2x2k)1 /q v(k 1)、= 1(3-xi)2k =0,1,.(10 分)-,xi =-,x2421）推导以这3个点作为求积节点在2）指明求积公式所具有的代数精度 过这3个点的插值多项式,、 (x -xi)(x -x2)p2(x)二(x0 -xi)(x0 -x2)f(xo)40,1上的插值型求积公式;(x -x0)(x -x2)(x1 x0)(x1 -x2)f(x1)+ (xx)(x x0) (x2 -x1 )(x2 -x0)f (x2)131 (x” 一 / d 二 01 11 3 x-3 (4-2)(4-4),1、，3、(x )(x 一二)0 1 1 dx 二弓 马一方一7 32 dx =31 一1 一 1 一0 f(x)dx ： -2f(-)- f34_ 3十 2f (一) (10 分)42）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少