线性代数第二章矩阵试题与答案（精华版）

1、下载可编辑第 22 页，共 22 页.专业.整理.1、矩阵的定义第二章矩阵一、知识点复习对角矩阵 : 对角线外的的元素都为0 的 n 阶矩阵 .单位矩阵 : 对角线上的的元素都为1 的对角矩阵 ,记作 e(或 i).数量矩阵 : 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵 ,它就是 c e.由 mn 个数排列成的一个m 行 n 列的表格 ，两边界以圆括号或方括号，就成为一个 mn 型矩阵 。例如2 -101111102254 -29333 -18是一个 4 5 矩阵 .上三角矩阵 : 对角线下的的元素都为0 的 n 阶矩阵 .下三角矩阵 : 对角线上的的元素都为0 的 n 阶矩阵 .对称矩阵

2、 : 满足 a t= a 矩阵 ， 也就是对任何 i,j,(i,j) 位的元素和 (j,i)位的元素总是相等的 n 阶矩阵 .反对称矩阵 :满足 at=- a 矩阵.也就是对任何 i,j,(i,j) 位的元素和 (j ,i) 位的元素之和总等于 0 的 n 阶矩阵 . 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)一个矩阵中的数称为它的元素,位于第 i 行第 j 列的数称为 (i,j)位元素 。元素全为 0 的矩阵称为 零矩阵 ,通常就记作 0。两个矩阵 a 和 b 相等(记作 a= b)，是指它的行数相等， 列数也相等 (即它们的类型相同 )， 并且对应的元素都相等。正交矩阵 ：若 aa t=a t

3、a=e ， 则称矩阵 a 是正交矩阵 。（ 1） a 是正交矩阵at=a -1（ 2） a 是正交矩阵阶梯形矩阵 :一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足 : 如果它有零行 ， 则都出现在下面 。2a=12、 n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为 n 的矩阵也常常叫做 n 阶矩阵 。n 阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线 。下面列出几类常用的n 阶矩阵 ,它们都是考试大纲中要求掌握的. 如果它有非零行 ， 则每个非零行的第一个非0 元素所在的列号自上而下严格单调递增 。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0 元素所在的位置称为 台角 。每个矩阵都可以用初等行变换化

4、为阶梯形矩阵， 这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算， 必须十分熟练 。请注意 ： 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的， 但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算（ 1） 加( 减)法:两个 mn 的矩阵 a 和 b 可以相加 (减),得到的和 (差)仍是 mn矩阵 ,记作 a+ b (a - b),运算法则为对应元素相加(减).（ 2） 数乘 : 一个 mn 的矩阵 a 与一个数 c 可以相乘 ,乘积仍为 mn 的矩阵 ,记作 ca ,运算法则为 a 的每个元素乘 c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律 : 加法交换律 : a + b= b+

5、 a.2 加法结合律 : (a+ b)+ c= a+( b+ c). 加 乘 分 配 律 :c( a+ b)=c a+c b.(c+d) a=c a+d a. 数 乘 结 合 律 : c(d) a=(cd) a. c a =0c=0或 a =0.4、矩阵乘法的定义和性质（ 1） 当矩阵 a 的列数和 b 的行数相等时 ,则 a 和 b 可以相乘 ,乘积记作 ab. ab 的行数和 a 相等 ,列数和 b 相等 . ab 的(i,j)位元素等于 a 的第 i 个行向量和b 的第 j 个列向量 (维数相同 )对应分量乘积之和.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: 矩阵乘法有条件 . 矩阵乘法无交换

6、律 .即 abba 矩阵乘法无消去律 ：即一般地由 ab=0 推不出 a=0 或 b=0.由 ab= ac 和 a0 推不出 b= c.(无左消去律 )由 ba= ca 和 a 0 推不出 b= c. (无右消去律 )请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来 .矩阵乘法适合以下法则: 加乘分配律a (b+ c)= ab + ac, (a + b)c= ac + bc. 数乘性质(ca )b=c( ab ). 结合律(ab )c= a (bc)（ 2） n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个 n 阶矩阵 a 和 b 都可以相乘 ,乘积 ab 仍是 n 阶矩阵 .并且有行列式

7、性质: |ab|=| a|b|.如果 ab = ba,则说 a 和 b 可交换 .方幂设 k 是正整数 , n 阶矩阵 a 的 k 次方幂 a k 即 k 个 a 的连乘积 .规定 a 0= e.显然 a 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: a k a h = a k+h . ( a k )h= a kh .即： ams bs ncm n但是一般地 (ab)k 和 a k b k 不一定相等 !n 阶矩阵的多项式 ：设 f(x)=a m xm +a m-1 xm-1 + +a1x+a 0,对 n 阶矩阵 a 规定f(a)=a m a m +a m-1 a m-1 + + a

8、1a +a 0e.称为 a 的一个多项式 .请特别注意在常数项上加单位矩阵e.乘法公式一般地 ,由于交换性的障碍 ,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于 n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是互相可交换的,则乘法公式成立 .例如当 a 和 b 可交换时 ,有:(a b)2= a2 2ab+ b2;a 2- b2=( a+ b)(a -b)=( a+ b)(a- b).=(b 1 ,b2 ,b n)t,则 a= b 11 +b 22+ +b nn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b 1i,b 2i,b ni )t,则i= ai=b 1i1 +b 2i2 + +b nin

9、 .即:乘积矩阵 ab 的第 i 个列向量i 是 a 的列向量组1 ,2 ,n 的线性组合， 组合系数就是 b 的第 i 个列向量i 的各分量 。类似地 , 乘积矩阵 ab 的第 i 个行向量是 b 的行向量组的线性组合， 组合系数就是 a 的第 i 个行向量的各分量。以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们二项展开式成立 :( ab )cab1等等 .无论在理论上和计算中都是很有用的.利用以上规律容易得到下面几个简单推论:前面两式成立还是a 和 b 可交换的充分必要条件.(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组设 a 是 mn 矩阵 b 是 ns 矩阵 ，a 的列向量

10、组为1,2,n， b 的列向量组为1,2,s， ab的列向量组为1,2,s， 则根据矩阵乘法的定义容 用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量， 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵 ,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。易看出 (也是分块法则的特殊情形): ab 的每个列向量为 :i= ai,i=1,2, ,s.即a (1 ,2 ,s)= (a1,a2 ,as).12m am n11a122 a233a3m44 a421矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等 .ama1a2a3a41 a12a23a34 a4命题： 两个 m*n矩阵 a 与 b

11、 等价的充要条件是存在 m 阶满秩矩阵 pm 数量矩阵 ke 乘一个矩阵相当于用k 乘此矩阵 ； 单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵 。 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂。5、矩阵的行列式a 为 n 阶方阵 ，由 a 的元素所构成的行列式称为a 的行列式 ， 表示为 |a|。若 a 的行列式 |a|0，称 a 为非奇异方阵 ，|a|=0 ，称 a 为奇异方阵|ab|=|a|b|ca|=c n |a|.6、矩阵的转置把一个 mn 的矩阵 a 行和列互换 ， 得到的 nm 的矩阵称为 a 的转置 ， 记作 a t(或 a )。有以

12、下规律 ：及 n 阶满秩矩阵 q， 使得 a=pbq 8、矩阵方程和可逆矩阵 (伴随矩阵 )(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法， 乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程 :(i) ax = b.(ii) xa = b.这里假定 a 是行列式不为 0 的 n 阶矩阵 ， 在此条件下 ， 这两个方程的解都是存在并且唯一的 (否则解的情况比较复杂 .)。当 b 只有一列时 ,(i)就是一个线性方程组 .由克莱姆法则知它有唯一解.如果 b 有 s 列,设 b=( 1, 2, s ),则 x 也应该有 s 列,记 x=( x1 ,x2,xs ),则有 ax i= i,i=1,2, ,s,这是 s 个线

13、性方程组 ，由克莱姆法则 ,它们都有唯一解 ，从而ax = b 有唯一解 。 这些方程组系数矩阵都是 a ， 可同时求解 ，即得(i) 的解法 ： 将 a 和 b 并列作矩阵 (a|b)， 对它作初等行变换， 使得 a 变为单位(a t)t= a. (a+b) t=a t+b t. (ca)t=ca t. (ab)t=b tat.7、矩阵的等价定义 ：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价 .t|a|=|a|矩阵 ,此时 b 变为解 x ( a|b)(e|x)。(ii) 的解法 ： 对两边转置化为 (i)的形式 :atxt= bt， 再用解 (i)的方法求出x t， 转置得 x.：(

14、a t|bt)(e|xt)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(i)或 (ii)的形式 ,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。(2) 可逆矩阵的定义与意义定义 ：设 a 是 n 阶矩阵 ， 如果存在 n 阶矩阵 b， 使得 ab = e， ba = e， 则称 a为可逆矩阵 ， 此时 b 是唯一的 ，称为 a 的逆矩阵 ，通常记作 a-1 。如果 a 可逆， 则 a 在乘法中有消去律：ab=0b=0 ；ab=acb=c.( 左消去律 )； ba=0b=0 ；ba=cab=c. ( 右消去律 )如果 a 可逆， 则 a 在乘法中可移动 (化为逆矩阵移到等号另一边)： a

15、b = cb= a -1 c， ba = cb= ca -1由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：(i) ax = b 的解 x = a -1 b(ii) xa = b 的解 x= ba -1.这种解法想法自然， 好记忆 ， 但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n 阶矩阵 a 可逆|a| 0.证明充分性 ： 对 aa -1 = e 两边取行列式,得 |a|a-1 |=1, 从而 |a| 0. ( 并且|a-1 |=| a|-1.)必要性 ： 因为 |a| 0,矩阵方程 ax = e和 xa= e 都有唯一解 .设 b,c 分别是它们的解,即 ab=

16、e, ca= e. 事实上 b= c(b= eb= cab= ce= c),于是从定义得到 a 可逆 .推论如果 a 和 b 都是 n 阶矩阵 ,则 ab= eba = e.于是只要 ab= e(或 ba= e)一式成立 ,则 a 和 b 都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质 :如果 a 可逆,则 a -1 也可逆 ,并且(a-1 )-1 = a. a t 也可逆 ,并且 (at)-1 =( a-1 )t. 当 c0 时, ca 也可逆 ,并且 (ca)-1 =c -1 a -1 . 对任何正整数 k, a k 也可逆 ,并且 (ak)-1 =( a-1 )k.(规定可逆矩阵 a 的负整数

17、次方幂 a-k =( ak)-1 =( a-1 )k.) 如果 a 和 b 都可逆 ,则 ab 也可逆 ,并且 (ab)-1 = b-1 a-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形 .) 初等矩阵都是可逆矩阵,并且e(i,j)-1 = e(i,j), e(i(c)-1 = e(i(c -1), e(i,j(c) -1 = e(i,j(-c).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵 计算逆矩阵的初等变换法当 a 可逆时 , a -1 是矩阵方程 ax = e 的解 ,于是可用初等行变换或列变换求a-1 :初等行变换 ：a | ee | acd=-ca,初等列变换 ： aeea 111因此当 ad-bc

18、0 时,abcd1db adbcca这个方法称为求逆矩阵的初等变换法 .它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.二 例题 伴随矩阵若 a 是 n 阶矩阵 ，记 a ij 是|a |的(i,j) 位元素的代数余子式 ， 规定 a 的伴随矩阵a 11a21 an1一、 填空题1 设 1,2,3,均为 4 维向量 , a = 1,2 ,3 , b = 1 ,2,3, 且|a| =2, | b| = 3,则|a 3 b| =.a*=a 12 a 22 a n2=(a ij)t.解： | a3b |2 12 22 33=81233a 1n a 2n a mn请注意 ， 规定 n 阶矩阵 a 的伴随矩阵并没有要

19、求a 可逆 ， 但是在 a 可逆时 , a *=8(1232. 设 aa1a23 12an，则ta13)8(| a| 3|b|)56 aat， at a和 a-1 有密切关系 。基本公式 : aa *= a* a=| a|e. a -1= a */| a|, 即 a*=| a|a -1 .解： aaa2222aaaa1 , a2an12n2ana2因此可通过求 a*来计算 a-1 .这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.a11a1a2a1ana2和初等变换法比较 , 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非 n=2, 一般不用它来求aata2aa1, a2ana1a22a2an逆矩阵 .对于 2 阶矩阵ana1

20、ana2 annab *d -b3. 若对任意 n1 矩阵 x, 均有 ax = 0,则 a =.tt解： 假设 a1m ,i 是 a 的列向量 。对于 j = 1, 2, m,7 设 a101020, 则( a3e)1 ( a29e) =答.案 ： a 3e201010x j010， 第 j 个元素不为 0 ， 所以1m010j0001002(j = 1, 2, m).，a = 0 。118 若 a2 -2a+e=0 ， 则（ a-2e） -1 =tt4. 设 n 维向量(,0,2,0,) , 矩阵 ae2,be2其中 e为解：n 阶单位矩阵 , 则 ab =a 22 aea a2 eea

21、a2 eea2 e1a解： abea t a e2a t aea t a2a t aat ae二、 单项选择题5. 设矩阵a11 , ba2233 a2e,则b1 =.1. 设 n 阶矩阵 a 与 b 等价 ，则必有解： a2111114=a 当 aa a0 时， bab 当 aa a0 时， ba232387c 当 a0 时， b0d 当 a0 时， b0ba23a2 e =184 33+7692021=0220解： ap1 p2bq1q2*b 1b101=011| b |222122. 下列命题正确的是()， 并说明理由 .a 若 a 是 n 阶方阵且 a o，则 a 可逆 b 若 a，

22、b 都是 n 阶可逆方阵 ， 则 a+b 可逆或者 ：221 1000121 1001 11200101 11c 若 ab=o ， 且 a o，则必有 b=od 设 a 是 n 阶方阵 ， 则 a 可逆 a t 必可逆 .3. 设 a、b 都是 n 阶方阵 , 下面结论正确的是a6 设 n 阶矩阵 a 满足22 a3e10, 则a=.a若 a、b 均可逆 , 则 a +b 可逆.b 若 a、b 均可逆 , 则 ab 可逆 .解： 由 a22 a3e0, 得a( a2e )3e . 所以| a | a2 e | |3e |0 ,于是 a 可逆 . 由 a22 a3e0, 得 a2e3a 10,a

23、 11( a2 e)c 若 a +b 可逆 , 则 a b 可逆 .d若 a + b 可逆 , 则 a, b 均可逆 .3解： 若 a、b 均可逆 , 则 ( ab) 1b 1 a 18 以下命题是正确的是 ()， 且说明理由 ：(1) 对任何矩阵 a ， 均有4.aatat a .则在 b, c, d 中与 a 等价的矩阵为，解： 只有当 a 是方阵时 ， aat5. 下述命题正确的是 ()a 若 a 与 b 等价 ， 则 a=b.b 若方阵 a 与方阵 b 等价， 则 ab .(2) a ， b, c，d 均为 n(n1) 阶方阵 ， 若m解： 分块矩阵不满足这样的公式。ab， 则 ma

24、db c .cdc 若 a 与可逆矩阵 b 等价 ，则 a 也是可逆矩阵 .d 若 a， b，c，d 均为 n 阶(3) a ， b， c， d 均为 n 阶方阵 ， 若 mab, 则 m tcda c.b d方阵 ，若 a 与 b 等价 ， c 与 d 等价 ， 则 a+c 与 b+d 等价.解： m tatct， （ 4） 题答案 ： oan26. 设 a、b 为同阶可逆矩阵 , 则aab = bab 存在可逆矩阵p, 使 p1 apbbtdtoa(4) a ， b 为 n(n1) 阶方阵则bo1a bboa b .c存在可逆矩阵c, 使 c t acbd 存在可逆矩阵 p 和 q, 使

25、paqb(5) a ， b 为可逆矩阵 ， 则 axbc 有惟一解xa 1cb 1 .baab解： 因为 a 可逆 , 存在可逆因为 b 可逆 , 存在可逆pa , q a使pa aqae .pb , qb使pb bq be .(6) (6)111222nnn等价于n n100000000 n n所以pa aq a =1pb bqb . 于是1p 1p aq q 1b三、 计算题310110令ppb pa ,qqaqb. (d) 是答案 .1. 设 a121 ,b342225341. 求: i. ab baii. a 2 b2iii. b ta t7 已知12012240 与 250032a3

26、146946561717173151595139181632613511228 等价 ，则 a = 61 d 2 d 3 b 4 c 5 c 6 d 7 a=42. k 取什么值时 ,a1000k0111可逆 , 并求其逆 。5. 计算下列矩阵的值21n212110212132003232013232（ 1 ）1解： | a |0100k0k110 ， a 110001 k011 k1（ 2 ） 设 a10 , 求 an3. 解下列矩阵方程 ：01解： 使用数学归纳法a2100000102002200101122123502460246012322解： (1)101110112a3200002

27、0103002330(2) x2211(3) x12201k(12)323001 4012假设ak =(1kk 1k1)k 2k0kk 1k4. 已知三阶矩阵 a 满足 aiii (i1,2,3) ，其中 1(1,2,2)t ，00k3002(2,2,1)t ，(2,1,2 )t ， 试求矩阵 a.则 ak 1 =(1kk 1k1)k 2kkk 1010k01解： aa1a1 ,aa22a2 ,aa33a3a a1 , a 2 , a3a1 ,2a2 ,3a 3k 100a243226021227146999322199921299930523322233所以 ：=( k(11)kk )k 1

28、k 10(k1)kk1an =nnn 100n0=n00nn 1n0解： 因为1a 6e，a113a12 a 1ea 1*1313(1n1) n 2nn 1nnn(n1)n 22100222222a101n 22nn 1n| a |2 321, 所以1a 1a| a |22a112231316. 设矩阵 a（ 1） 证明 : n3 时,aaae0108. 已知 a、b 为 3 阶矩阵 ， 且满足2 a 1bb4e ， 其中 e 是 3 阶单位矩阵(e 为三阶单位矩阵 )（ 2 ） 求 a100 .（ 1 ） 证明 ： 矩阵 a-2e 可逆 。1103a201001110解： 因为 a21001

29、00（ 2 ） 若 b120120002， 求矩阵 aaa2e100100100100解： 2 aa 1bab4 a2 bab4 aa2e b4 a2 e8 e101110010201a3010101001110a2 eb4 e8ea2 e8 b4 e1所以a3a3 2a2e ， 假设akak 2a2e则 ak 1ak 1a3aak 1aa2ea=a（ k1） 2a2e所以anan 2a2e，10010098296229. 设 a ，p 均为 3 阶矩阵 ， pt 为 p 的转置矩阵 ， 且 t， 若ii.aa500ae049a2 a2 e50 a0010049ep ap01000250500

30、500500490004950105001pa1, a2, a3 ,qa1a2 , a2, a3,则qt aq 为7.当 a1322时, a6 =e. 求 a11 .31解：22e(i,j)： 交换 e 的 i,j 两行 (或列 )所得到的矩阵 。e(i(c)： 用非 0 数 c 乘 e 的第 i 行(或列)所得到的矩阵 ，也就是把 e 的对角线上的第 i 个元素改为 c。e(i,j(c)(ij)： 把 e 的第 j 行的 c 倍加到第 i 行上 (或把第 i 列的 c 倍加到第 j 列上)此例说明结论 :乘积矩阵 ab 的第 i 个列向量i 是 a 的列向量组1 ,2,n 的线性组合 ， 组

31、合系数就是b 的第 i 个列向量i 的各分量 。类似地 , 乘积矩阵 ab 的第 i 个行向量是 b 的行向量组的线性组合，组合系数就是a 的第 i 个行向量的各分量 。所得到的矩阵 , 也就是把 e 的(i,j)位的元素改为 c。初等矩阵都是可逆矩阵 ,并且e(i,j)-1 = e(i,j), e(i(c)-1 = e(i(c -1), e(i,j(c) -1 = e(i,j(-c).命题： 对矩阵作一次初等行 (列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左( 右)乘它 .四、关于矩阵的初等变化和初等矩阵知识点1. 设 aa11 a21a12 a22a13a23,ba 21a11a 22a12a2

32、3 a13,p1010100 ,矩阵有以下三种初等行变换：a31a32a33a31a21a32a22a 33a23001 交换任意两行的位置 。 用一个非 0 的常数乘某一行的各元素。设有 p2p1a = b, 则 p2 =解： p1 a 表示互换 a 的第一 、二行 . b 表示 a 先互换第一 、二行 , 然后将互换后的 把某一行的倍数加到另一行上。类似地 , 矩阵还有三种初等列变换， 初等行变换与初等列变换统称初等变矩阵的第一行乘以 ( 1) 加到第三行 . 所以 p2 =100010 。101换。对单位矩阵e 作一次初等 (行或列 )变换 ， 所得到的矩阵称为初等矩阵。有三类初等矩阵

33、：2. 设 a 是 3 阶方阵 ， 将 a 的第 1 列与第 2 列交换得 b,再把 b 的第 2 列加到第 3 列得 c, 则满足 aq=c 的可逆矩阵 q 为010100b b 011c， a 100011a100c.0010010010010015. 已知 3 阶矩阵 a 可逆 ， 将 a的第 2列与第 3 列交换得到b， 再把 b 的第 1列-2a100010100011a 的 i 列乘以k 加到第 j 列上 。1倍加到第 3 列得 c，则满足 pa-1=c -1 的矩阵 p 为。解：bae 2,3，cae2,3 e1,32c 1e2,3 e1,321 a 1211102120e 1,

34、3 2010e 1,3 2e2,3001001010c 1pa 1pc 1 ae 2,3e 1,321 a 1ae 1,3 2e 2,3解： bap1 p 2b 1p p1 a 1p 1 p 1 a 1p 2 p1 a121bap2 p1bp2 p11 a 1p 1 p 11p1 p2 a6. 设 a 是 n 阶可逆方阵 ， 将 a 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵为b，1a24. 若可逆矩阵 a 作下列变化 ， 则a 1 相应地有怎样的变化 ?（ 1 ） 证明 b 可逆 ，（ 2 ） 求 ab -1(1) a 中 i 行与 j 行互换 ；(2) a 中 i 行乘上非零数 k ；(3)

35、i j 时， a 中第 j 行乘上数 k 加到第 i 行解： be i , j aba ， 所以 b 可逆 。解：（ 1） be i, j ab 1e i, j a1a 1ei, j1a 1ei , jb 1ei , j a1a 1ei , j1a 1ei , j， ab 1e i , j1五、关于分块矩阵的重要结论 ， 其中均 a 、 b 可逆：a的 i 列与 j 列互换 。a1a11a 1（ 2 ） be i kab 1a 1e i ka 1e i11ka2a若as， 则：a 12a1s1a的 i 列乘以 1k aa1a2as ；1（ 3 ） be i , j kab 1a1 e i ,

36、j k1a 1 e i, jkao1a 1o、obob 1；（ 主对角分块 ）11oaobt、boa 1；（ 副对角分块 ）o2. 设 a、b 都是 n 阶可逆矩阵 , 则2 a00等于1b11acaa 1cb 1、obob 1；（ 拉普拉斯 ）解：2 a0t(2)2n| a | b | 1 。1110baoao、cbb1ca 11；（ 拉普拉斯 ）baaa3. 设 a 为 n 阶可逆矩阵 ， 计算 ：a bbbba 1 aeaa 1t 若 a与b 都是方阵 （ 不必同阶 ） ,则ab( 1)mn a b（ 1 ）n（ 2 ）ent（ 3） aena 1aenae 若 a, b 都是 n 阶方

37、阵 ,| abe |（ 4 ）aenaen（ 5）aenenn1eb1解：（ 1） aa, ena 1 a， a -1eena，1. 求下列矩阵的逆矩阵a1aaen2100i.11001225ii.cos sinasin cos00iii.000100100100iv.520021000012（ 2）a enten aa111atat aat11130011ao1000tna 1000111100（ 3）a, ena, enaenenaeni. 解：根据分块矩阵 ：cb，051201930371112cossin0sincos0001b 1ca 1b 1（ 4）a, ena, enataene

38、naatei 根据分块矩阵cos1sincossina 1（ 5）1a.ea 1 aa 1enasincossincosanenaenaen101010001112004. 设 a 为 n 阶非奇异矩阵 ， a 为 n 维列向量 ， b 为常数 ， 记分块矩阵iii.1010 ， a 10010101000 iv.10a02500001233001133e0pa t a*a， qaaatb(1) 计算并化简 pq。解： pqat a eatet aabae0at a 1ba 2, b31因为 aa ataa aabt1aa aaab则分块矩阵0a 的伴随矩阵为b 0（ 2 ） 证明： 矩阵 q

39、 可逆的充要条件是at a 1ab03baat a 1ab )0q0a t a 1 abx2x32a002bb3a003ac2b002ad3b0解： pqp qa( ax2x1解： 利用 aaa e5. 设f ( x)4 x4xx2102 x210，则方程 f(x)=0 有几个根 。2 x22x12x22x33x33x24 x53x535x74x31x21012x210223x31x2734 x3x7000a0b0b0a b1a 0a0b002ba b0b11a00b a a 1a b b 10f x3x31x4x3x5x x116b a03a0a3a*6. 设 a 、 b 为 n阶矩阵 ，a

40、 , b分别为 a 、 b 对应的伴随矩阵， 分块矩阵8. 设a, b 均是 n 阶矩阵 ，a a,b b,c( 1 b) 12， 则 c .oc a0解： 直接利用上述公式简化行列式运算。0b*则 c 的伴随矩阵为 ：a3ac11(b)o 2( 1)n n( 1 b)21 3 a* .n1解： 因为 c cca b11而 (b)22b 12n b 1 ，3a*3n a*3n a3n an 1 。a3a*n211*于是 c( 1 b) 1o2( 1)(b)3a 2n2n1nn 1n2nn 117. 设 a 、b 均为 2 阶矩阵 ，a , b分别为 a、b 对应的伴随矩阵 ， 若( 1) 2 b3 a( 1) 6 ab六、关于伴随矩阵的知识点所以 atat， 同理还有akak， akak1若 a 是 n 阶矩阵 ，记 a ij 是|a |的(i,j) 位元素的代数余子式 ， 规定 a 的伴随矩阵（ 5 ） akakak1a ka 1 ka a1akaaijt， 因此有 aa *= a* a=| a|e.（ 6 ） aa a 1aa a 1kn1n 1aaa若 a 可逆： a *=| a|a -