扬州市高三上学期期末考试数学

1、9.已知双曲线= 1(a0, b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为 w.2019届高三模拟考试试卷(九)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分./1、v1 .已知集合 m = 2, 1, 0, n= x (2)x2 ,则 man =w.2 .若i是虚数单位，且复数 z满足(1 + i)z=2,则因=w.3 .底面半径为1,母线长为3的圆锥的体积是 w.4 .某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名.现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中

2、抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 w.5 .根据如图所示的伪代码，已知输出值 y为3,则输入值x为 w.read xif x 0 then ysin xelse y-x2 1end ifprint y6 .甲、乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1,2, 3,乙的卡片分别标有数字0, 1, 3.两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a,乙抽出卡片的数字记为b,则a与b的积为奇数的概率为 w.7 .若直线l1： x2y+4=0与12： mx 4y+3=0平行，则两平行直线l1，12间的距离为w.8 .已知等比数列an的前n项和为若s3=7, ss=63,则a1=w.10 .已

3、知直线l：y=x+4与圆c： (x2)2+(y1)2= 1相交于p, q两点，则cpcq = w.11 .已知正实数x, y满足x+ 4y-xy= 0,若x+ ym恒成立，则实数 m的取值范围是 w.一兀， 兀asiny+bcosy12 .设a, b是非零实数，且满足 -=tan-：p,则：=w.acosy bsiny13 .已知函数f(x)= a + 3+4|x+a府且仅有三个零点，且这三个零点构成等差数列，则 x实数a的值为 w.14 .若存在正实数x, y, z满足3y2 +3z2w i0yz,且ln xin z=,则j的最小值为w.二、 解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出

4、必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.15 .(本小题满分14分)已知函数 f(x)= cos2x+2*sin xcos x sin2x, xcr.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)求方程f(x)=0在(0,兀内的所有解.16 .(本小题满分14分)如图，在三柱abca1b1c1中，四边形aa1b1b为矩形，平面aa1b1b，平面abc,点e,f分别是侧面aa1b1b, bb1c1c对角线白交点.求证：(1) ef /平面 abc;(2) bb11ac.17 .(本小题满分14分)为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形abcd.其中ab=3百米

5、，ad = 45百米，且 bcd是以d为直角顶点的等腰直角三角兀形.拟修建两条小路 ac, bd(路的宽度忽略不计)，设/ bad= & 0 (,兀).(1)当cos 0 = *时,求小路ac的长度；(2)当草坪abcd的面积最大时，求此时小路 bd的长度.18 .(本小题满分16分) x2 y21在平面直角坐标系中，椭圆m : /+ b2= 1(ab0)的离心率为2，左、右顶点分别为a,b,线段ab的长为4.点p在椭圆m上且位于第一象限，过点 a, b分别作1ipa, l2pb, 直线l1 , l2交于点c.(1)若点c的横坐标为一1,求点p的坐标；(2)设直线1i与椭圆m的另一交点为 q,

6、且ac= a 求入的取值范围19 .(本小题满分16分)已知函数f(x) = (3 x)ex, g(x) = x+a(ac r).(e是自然对数的底数，e=2.718)(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y= f(x)g(x)在区间1 , 2上单调递增，求a的取值范围；(3)若函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0, +8 )上既存在极大值又存在极小值，并且 xh(x)的极大值小于整数 b,求b的最小值.20 .(本小题满分16分)记无穷数列an的前n项中最大值为mn,最小值为mn,令bn = mn；mn,数列an的前n项和为an,数列bn的前n项和为bn.(1)若数列an是首项为2,

7、公比为2的等比数列，求 bn；(2)若数列bn是等差数列，试问数列an是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不 是，请举例说明；(3)若 bn=2n100n,求 an.2019届高三模拟考试试卷（九）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21 .（本小题满分10分）已知矩阵a= a 1 ，满足a 1 = 6 ,求矩阵a的特征值.b 23822 .（本小题满分10分）x= 2t,在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）.在极坐标系中（与直角坐y = - 2 t标系xoy取相同的长度单位，且以原点。为极点，极轴与 x轴的非负半轴重合）,圆c的方程为尸442cos（0+70,求直线l

8、被圆c截得的弦长.23 .(本小题满分10分)如图，将边长为2的正方形abcd沿对角线bd折叠，使得平面abd，平面cbd ,已知 ae，平面 abd.(1)若ae=q2,求直线de与直线bc所成角； 兀一，一(2)若二面角abed的大小为了，求ae的长度.24 .(本小题满分10分)已知直线x= 2上有一动点q,过点q作直线li垂直于y轴，动点p在11上，且满足op oq = 0(0为坐标原点)，记点p的轨迹为c.(1)求曲线c的方程；11(2)已知定点 m(2, 0), n(j, 0),点a为曲线c上一点，直线 am交曲线c于另一点b,且点a在线段mb上，直线an交曲线c于另一点d,求 m

9、bd的内切圆半径r的取值 范围.4. 10 5. -2 6. 9 7.岑 8. 1 9.坐 10. 0 11.14. e215.解:f(x)= cos2x+ 2t3sin xcos x sin2x= v3sin 2x+cos 2x= 2sin(2x + -6).(4 分)7t+2k7t27t + -6- + 2k % ,kc z,解得一7t7t-+ k 兀 w x/5)2- 2x75x 25x (-3)5= 37,解得 ac =437.(7 分)(2)由(1)得 bd2= 146mcos 0,s 四边形 abcd = sabd + sbcd = 1x 3x /x sin 9 +；x bd22-

10、2_ 3 53 515.= 7+-2-xsin 0 35cos 9=7 + 2(sin 0 2cos 8 ) = 7+-2_sin( 0 ,此时 sin6=25, cos 6=5，且 怖(。，5).(10 分)兀 .一7t0（f）=时，四边形 abcd的面积最大，即 0=叶,此时sin 9 =1a取 cos =bd2=146啊os 0=1465x(= 26, 即 bd=麻.(13 分)答：当 cos e =-同理，直线bc的方程为y= x0 2rx2).联立方程xo + 2 /y=-yt (x+2)xo 2 /c、y=_yr(x2)x= xo,解得x2 4y=yox2 4yoyo一44一=3y

11、o,.点c的坐标为（一如（6分），小路ac的长度为j37百米；草坪abcd的面积最大时，小路bd的长度为亚百米.（14分） c 1 一=二，c= 1.18.解：由题意得a 2 解得b2=a2-c2=3,2a=4,a=2，椭圆m的方程是 3十匕=1且a（2, 0）, b（2, 0）.（3分） 43yoxo+ 2(解法 1)(1)设 p(xo, yo), kpa= xo2，; l11pa,直线 ac 的方程为 y= %o-(x + 2),点c的横坐标为一1,xo=1. p为椭圆m上第一象限内一点，3 y0 = 2.3点p的坐标为（1 , 2）.（8分）(2)设 q(xq, yq),ac= aq,x

12、0 + 2 =入(xq+ 2),4解得3y0=入q,& 2 cxq=一入+ 入2,4yq=37o二点q在椭圆m上，11（一鼻丁2)2 + 13(一言 yo)2= 1.3人p 2x2又 y2=3(i-), c36入一50整理得 7x2 36(卜 1)xo + 72a 100=0,解得 xo=2 或 xo =7.(14 分) p为椭圆m上第一象限内一点，。36 入5。2,解得18入 号.（16分）（解法2）（1）设直线ap的斜率为k, 30k 2 .p(xop为椭圆m上第一象限内一点，kap - kbp =y。y。xo+2 xo 2y2x2 43bp的斜率为一而y=k (x+ 2),联立方程3y=

13、- - (x 2), 4k68k2解得x=4k2+312ky=4k2+36 8k212k(4k2 + 3 4k2+3).lifa,1y=-;(x+ 2).1 ,、y=- (x+2), k4y=k (x2),8 k2 6 x= 4k2 + 316ky=4k2+3c(8k c(4k2+3,16k许）.（6分）1，八，、，一，kac= -k,则直线ac的万程为l21pb,kbc = ：k,则直线 bc 的方程为 y = |k(x-2).8k2 6点c的横坐标为1, .门=-1,解得务0k0,令 m(x)= x2 +(1 a)x+ 2a+ 3,函数y= f(x)g(x)在区间1 , 2上单调递增等价于

14、对任意的xc1, 2,函数m(x)0恒成立，m (1) 0,解得a 3.(8分)m (2) 0,(3) h(x) =f (x) + g (x)=x(3x) ex+ x+a,ex (x2+3x3) ax ，h (x)=x2令 r(x)= ex(-x2+ 3x- 3)- a,h(x)在(0, +)上既存在极大值又存在极小值，h (x)=0在(0 , + 8)上有两个不 等实根，即 r(x)= ex( x2+ 3x 3) a= 0 在(0, +)上有两个不等实根x1，x2(x1 vx2).(10 分)r (x)= ex(x2+3x3 2x+ 3)= ex(-x2 + x)= x(1 -x)ex.当

15、xc (0, 1)时,r (x)0, r(x)单调递增,当 xc(1, +0o )时,r (x)0, r(x)单调 递减，r(0)0,3333 3则 0vxi v 1,解得3 a - e, r(2) = 一 e a 4e + 3 v 0. r(x)在(0, +8)上连续且 r(0) r(1)0, r(1) r(2)v 0,一 3 r(x)=0在(0, 1)和(1, 2)上各有一个实根，函数h(x)在(0, +8 )上既存在极大值又存在极小值时，有3a- e,并且在区间3 .(0, 1)上存在极小值f(x1)，在区间(1 , 2)上存在极大值f(x2).ex2 ( x2+ 3x2 3)一a 八-

16、=0,(3x2)ex2+x2+a 口，/h(x2)=二,且 h x2) =a = ex2( x2 + 3x2 3), h(x2)=(3 x2)ex2+x2+ex2 (x2+3x23) = ex2(2 x2) + 1.(13分)令 h(x) = ex(2-x), h (x)=ex(1 x),当 xc (1,)时,h (x)0, h(x)单调递减. 31 x2c(1, 2),h(x2)h(1) = e+1mn 1, mnwmn-1,且两个不等式中至少有一个取等号.（6分） 若 d 0,则必有 mnmn 1,an= mnmn 13n 1,即对 n2, ncn*,都有 an ant ,mn+mn mn

17、 1 + mn 1 an+a1 an 1+a1 an an 1mn= an, mn=a1, bn bn 1=22= -2 2=2=d，,an an 1 = 2d 即an为等差数列； 当dv 0时，则必有mn mn 1,所以an= mn mn 12, ncn*,都有 an v an-1 ,mn+mn mn-1 + mn-1 a1+an a1+an-1 an一an-1 , mn=a1, mn= an, bn bn 1 = 2 _2= 2_ 2 = 2 =d，anan 1 = 2d,即an为等差数列；m ,2mn+ mn mn 1 + mn 1 mn 一 mn 1 mn 一 mn 1 当 d= 0

18、时，bn-bn 1 = 22=2+ -2-=0.- mn- mn 1 , mn mn-1中必有一个为0,，根据上式，一个为 0,则另一个亦为 0, 即mn=mnt, mn=mn 1, an为常数数列， an为等差数列.综上，数列an也一定是等差数列.（10分）（解法2）若数列bn是等差数列，设通项公式为bn=pn + q（p, q r）,则bn+1bn=p.对于数列an： a1, a2,，an,增加an+1时,有下列情况： 若 an+1mn,则 mn + 1 = an+1, mn+1=mn,此时 an+1= mn+1 mn an, an+1an对 ncn 恒成立，则 mn= an, mn+1=

19、 mn= a1,.mn + 1 + mn+1 mn+mn an +1 + a1 an+a1 an+1 an- bn+1 bn=2-2=2- 2 =2=p,即an+1 an= 2p为常数，则数列an是等差数列.（7分） 若 mnwan+1wmn,则 mn+1=mn, mn+1=mn,bn+1 = bn.-数列bn是等差数列且 bn=pn+q,p=0, bn=q,mn+1= mn= mn 1=m1= a= q, mn+1 = mn= mn 1 = 3= m1 = a = q, qwan+wq,即 an = q,即an为常数数列，数列an是公差为0的等差数列. 若 an+1mn,则 mn+1 = m

20、n, mn + 1=an + 1,此时 an+1= mn + 1 mn an, an+1van 对 ncn 恒成立，则 mn+1=mn=a1, mn= an,.mn + 1 + mn+1 mn+mn a1 + an+ 1 a+an an+1 an bn+1-bn=22=2 2=2=p，即an+1 an= 2p为常数，则数列an是等差数列.（10分）（3）bn+1bn=2n+1t00（n+1） （2n100n） = 2n100,当 nv7 时，bn+1bnb2 b6b7,当 n7 时，bn+1 bn0,即 b7vb8vb9以下证明： a1a2- a6a7, a7va8a9当nmn,则 mn+1

21、=an+1, mn + 1=mn,则 2mn+ mn mn+1+ mn+1,得 bnv bn+1,与 bnbn+1矛盾，不合题意； an+1mnwan,即 a1a2a6a7；同理可证：a7 a8 a97, nc n*时,anv an+ 1.小、“i,a1 + an 当 nw7 时，mn=a1, mn = an,bn=2)an= 2bn a1, a = b1=98.bn=2n-100n,an=2n+1- 200n + 98, an =4 (1 2n)n (n+1)-200 x -1-2卜 98n =2产2 * * 100n22n4.(13 分) 当 n7 时，a1a2aea7,且 a7va8a9

22、0),则 e(0, 0, a). ad,平面abe, 平面abe的一个法向量为 m = (0,1, 0).(6 分)a), bd = (-2, 2, 0),- n2be, n21bd,n2 be = - 2x1 + az1 = 0,解得n2 - bd=- 2x1+ 2y1=0,a x1 = z1,寸2 取 z1 = 2,则 x1 = y1 x1 = y1,=a,平面bde的一个法向量为n2=(a, a, 2).(8分)cos n1, n2ni - n2一 |m |n2| a2+ a2+ 4x 1 2a2+4一 . 兀二面角abed的大小为y, ae的长度为72.(10分)解得a = 6,24.解：(1)设点p(x, y),则 q(-2, y),o)p=(x, y), o)q = (-2, y).o)p o)q=0,op - oq=- 2x+ y2=0,即 y2=2x.(2 分)(2)设 a(x1, y1), 为t.b(x2, y2), d(x3, y3),直线bd与x轴交点为e,内切圆与 ab的切点1设直线am的万程为y= k(x + 2),则联立方程,1、y= k (x+2)，y2= 2x,得 k2x2+(k2-2)x+ k2=0,11y111- x1x2 = 4_0vx1x2,，xk2x2,直