四川省天府教育大联考高三高考热身卷（三）理科数学试题及答案

1、绝密启用前 【建议考试时间：2014年5月12日下午15:0017:00】四川省高中2014届毕业班高考热身卷（三）数学（理工类）考试范围：数学高考内容 考试时间：120分钟 命题人：四川省高中优秀教师团队题号i卷ii卷总分得分注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。2答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息3考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。第一卷每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案

2、无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。时间珍贵，请考生合理安排！第i卷（选择题，共50分）1、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知i是虚数单位，复数,则 a. b.1 c. d.2. 集合,则 a. b. c. d.3. 已知向量,则与向量垂直的单位向量是 a. b. c. d.4. 下列命题中,真命题的是 a.,函数是偶函数 b.,函数是奇函数 c.,函数是偶函数 d.,函数是奇函数5. 的展开式的常数项是 a.-2 b.-8 c.-10 d.-126. 将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变;再将所得图像向

3、左 平移个单位,得到函数的图像,则函数的解析式是 a. b. c. d.7. 在下图所示的程序框图中,若程序运行结果输出的值为720,则判断框中应填入关于的 条件是 a. b. c. d.8. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个腰长为2的 等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是 a.36 b.9 c. d.9. 过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线,若直线与双曲线的两 条渐进线分别相交于、,且,则双曲线的离心率是 a. b. c. d.10. 定义若函数的图像经过两点 ,且存在整数,使得成立,则 a. b. c. d.第ii卷（非选择题，共100分） 注意事项： 1.请用0.5mm的黑

4、色签字笔在第ii卷答题卡作答，不能答在此试卷上. 2.试卷中横线及框内标有“”的地方，是需要你在第ii卷答题卡上作答的内容或问题.2、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若,则 .12. 6名学生站成一排拍毕业照,其中学生甲、乙之间恰好有一人的概率是 .13. 抛物线上的动点与圆上的动点距离的最小值为 .14. 已知函数,实数满足不等式,点 ,为坐标原点,当时,的取值范围是 .15. 已知定义在上的函数给出以下几个结论：函数的值域为； 函数有个零点；当时,的图像与轴围成的面积薇2；,.其中正确结论的序号是 .3、 解答题（本大题共6小题满分75分）16. （本小题满分12分

5、）已知向量,函数. （i）若,求的值； （ii）在中,角的对边分别是，且满足,求的取值范围.17. （本小题满分12分）甲、乙两名同学参加“成语大赛”的选拔测试,在相同测试条件下,两人6次测试的成绩（单位：分）如下表：学生第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲565769769192乙668170888693 （i）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图,你认为选派谁参赛更好？请说明理由； （ii）若从甲、乙两人6次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,在抽到的两个成绩中,设90分以上的个数为,求随机变量的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）在数列中,前项和为,. （i）求数列的通项公式； （ii

6、）设,数列前项和为,求的取值范围.19. （本小题满分12分）如图,在三棱柱中,且平面,是的中点. （i）求证：平面； （ii）试在棱上确定一点,使平面,并在此条件下,求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分13分）如图,已知圆,点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于. （i）求动点的轨迹的方程； （ii）若直线与圆相切,并与（i）中的轨迹交于不同的两点.当,且满足时,求面积的取值范围. 21. （本小题满分14分）函数. （i）当时,求函数在处的切线方程; （ii）讨论函数的单调性; （iii）若函数有两个零点,求的取值范围,并证明,且（其中是自然对数的底数）. 四川省高中

7、2014届毕业班高考热身卷（三）2014.5数学(理工类)答案及评分参考评分说明：1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时,如果后部部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.1、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小

8、题5分，满分50分. （1）c （2）a （3）b （4）d （5）d （6）a （7）b （8）c （9）a （10）c2、 填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分25分. （11） （12） （13） （14） （15）3、 解答题：共6小题75分.16.本小题主要考查三角函数的图像与性质、同三角函数的关系、两角和的正（余弦）公式、 二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想. 解：（i）.2分 由得. 由得 则.6分 （ii）由得即 所以，即从而得即 故 .12分17.本小题主要考查相互独立事件、茎叶图、互斥事件、随机变量的分布列、数学期 望等概

9、念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 解：（i）茎叶图如下图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且 乙的方差小于甲的方差，因此要选择乙参赛是极好的。.4分 （ii）随机变量的所有可能取值为0,1,2. 故，. 随机变量的分布列是： x012p 则随机变量的数学期望.12分18.本小题考查等差数列、等比数列及常见数列模型等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合等思想. 解：（i）当时，. 由，知时， .3分 两式相减得则.4分 所以，又， 故数列是以1为首项，公差为1的等差数列，其通项公式是.6分 （ii）由（i）得，则. 两式子相减得.8分 由于则单调递增，故

10、，又 的取值范围是 .12分19.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力. 解：（i）方法一：连接于交于点，则为中点. 为中点，. 又平面,平面. 平面. 方法二：棱的中点，连结，.如图， 四边形是平行四边形，则. 又平面，平面. 则，所以平面平面. 又平面. 所以平面.6分 （ii）方法一：当是棱的中点时，平面平面. 由,得全等于. 所以，则 所以.又平面，则,故平面 则平面平面. .8分 不妨设，解得,. 设点到平面的距离为，由. 得，解得 .10分 设直线与平面所成的角为， 则，即直线与平面所成角的正

11、弦值为.12分 方法二：连接可知两两垂直，分别以为轴 建立空间直角坐标系。 设,则, , 设. 若平面，则, 则. 所以即是线段的中点. 设平面的一个法向量，, 由取又. 设直线与平面所成角为，则 . 故直线与平面所成角的正弦值为. .12分20.本小题主要考查直线、椭圆与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性. 解：（i）连结，根据题意，, 则， 故动点的轨迹是以为焦点，长轴为的椭圆. 设方程为，知， 故点的轨迹的方程为. .4分 （ii）圆与直线相切，则， 由消去得. 直线与椭圆交于两个不同点，设， ， ， ， 由

12、，. . . 设，则， 令，则，在时单调递增， 关于在区间单调递增， .13分 关于在区间单调递增，,，.21.本小题主要考查基本函数的性质、导数的应用。基本不等式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力、创新意识、考查函数与方程、转化与化归、分类与整合等数学思想. 解：（i）当时， 则切线斜率，点， 故切线方程为,即. .4分 （ii）的定义域为,其导数， 当时，函数在上是增函数； 当时在区间上，在区间上，. 此时在是增函数，在是减函数. .8分 此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得，6分此时，且，令，则，所以在，上单调递增，所以，即所以的取值范围是，8分 （iii）证法一：.设. 当时，；当时，； 所以在上是增函数，在上是减函数.最大值为. 由于，且，所以，所以.