高中数学微课题研究性精品教程专题6.7：等差数列中前 项和的最值问题的研究与拓展_第1页
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1、 专题6.7：等差数列中前项和的最值问题的研究与拓展 【探究拓展】探究1：设等差数列的前项和为，已知，.（1）求公差的取值范围；（2）求中的最大值.变式1：等差数列的前项和为，若，则前多少项的和最大？变式2：若把条件改为“”，有类似的结论吗？变式3：一般地，若， ，则前多少项的和最大？变式4：若是等差数列，且，求证：；法1：基本量法证明法2：图象，由，可得图象关于对称，故法3：由可得：，即得，易得证. 变式5：探究5的逆命题是否成立？即若是等差数列，且，且，则成立吗？为什么？拓展1：已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时， . 19拓展2：等差数列的前项和满足：，则当时

2、，最大.8 拓展3：在等差数列中，公差，、是方程的两个根. 是数列的前项和，那么满足条件的最大自然数 4021拓展4：已知数列为公比为的等比数列，其前项之积为且，则下列四个命题中，真命题的序号为_（1）；（2）使得取得最大值的；（3）满足不等式的最大正整数；探究2：设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题：命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数.（1）若是的充分条件，求的值；（2）对于（1）中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；（3）若为真命题，对于给定的正整数（）和正数m，数列满足条件，试求的最大值.解：（1）设的公差为，当时原等式可化为所以，即对于恒成立，所

3、以当时，也成立（2）当时 假设命题成立，即“若对于任意的恒成立，则为等差数列”. 当时，显然成立当时，由-得，即.当时，即、成等差数列，当时，即.所以为等差数列，即为的必要条件.(3)由，可设，所以.设的公差为，则，所以，所以，所以的最大值为拓展1：设数列中的每一项都不为0.证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有拓展2：已知是等差数列，对于给定的正整数， ，则的最大值为_.拓展3：在正项数列中,令.（1）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；（2）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；（3）给定正整数,正实数,对于满足的所有等差数列,求的最大值.解：（1）由题意得,所以=（2）证:令,则=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化简得（3）（4）,（4）（3）得 在（3）中令,得,从而为等

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