475集合与函数概念、基本初等函数Ⅰ教材分析、教学感受与建议

1、1 集合与函数概念、基本初等函数 教材分析、教学感受与建议 宁波东方外国语学校（315500） 沈海敏 2007年8月10日 一、纲、标教材比较分析 第一章“集合与函数”知识结构 第二章“基本初等函数”知识结构 1、标、纲教材教学要求变化 二、教学感受 1、新教材的几大亮点 问题性：每节开篇以问题开始；以思考、探究、“问号型”图 标提出问题；在小结和复习题中提出拓展性问题。 （两章中：22个“思考”、11个“探究”、6个“？”） 亲和力：主编寄语、章头图，正文中的观察、探索、旁批等 强调数学知识的背景和应用，数学是自然的。 应用性：“神舟”五号、炮弹发射、臭氧层空洞面积、恩格尔 系数、公共汽车

2、票价、玻意耳定律、烟花、生物体 内碳14的衰减、gdp及人口增长率、地震震级、 ph值的变化等。 思想性：函数思想、几何直观、数形结合、渗透逼近思想、 类比、推广、特殊化 等。 数学知识的背景和应用 新课程目标： 知识背景：集合8个实例 函数3个实例 单调性、奇偶性2个图形 指数、对数函数2个问题 幂函数5个实例 函数应用：另立一章第三章 思想性 新教材强调以下逻辑思考方法： 2、主要问题 课时比较紧张 教学不知深浅 部分内容脱节 技术条件制约 突出函数的中心地位 函数作为描述客观世界变化规律的重要模型来学习. 强调函数概念的背景和应用.不仅要让学生实实在在感悟到客观世界中大量存在着变量之间的

3、依赖关系。而且要让学生选择和识别函数模型,建立函数模型。 函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。 注重几何直观 集合： venn图、数轴 函数单调性、最值、奇偶性的讨论： 指数、对数、幂函数性质的研究： 如借助图形直观来了解函数的凹凸性。 淡化的知识内容不宜拓展 函数的定义域、值域。 为了防止教师在集合与函数教学中，在求解定义域、值域等“细枝末节”上对学生进行大量的人为的、繁琐的训练，把二次不等式的内容放到“必修5”，这是一种“釜底抽薪”的办法。把重点放在函数概念的本质的理解上、函数性质的讨论上。 但有关函数问题首先考虑“定义域”的认识必须到位 “反函数”只要求以具体函数为例进行解释和直观理

4、解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。 “幂函数”只要求通过实例，了解幂函数的概念；掌握五个幂函数的图像和性质。 新教材例、习题存在一些问题 1、如教师教学用书第39页第7题： 设 则 2、教材第39页习题1.3a组第6题： 已知函数 是定义在r上的奇函数，当 时 。画出函数 的图像，并求出函数的解析式。 1、3-1 单调性与最大（小）值教学课时：2 第一课时：具体函数图形直观、定量分析自然语言形 式化定义利用定义证明单调性。 第二课时：仿照上述过程得到函数最大（小）值定义，然 后应用单调性求最值。 函数单调性是函数最为核心的性质，即从一个变量的变化分析另一个变量

5、的变化情况。主要解决比较数、式的大小、求函数的值域、最值、极值、判别方程根的存在问题等等；另外，对于不同增长的函数模型（如ex、x 2 、lnx等）进行定性与定量分析。 “一步到位”不可能 一是知识准备不足。 二是教学课时不允许。 “一步到位”没必要 求函数最值问题将会在“不等式”（必修5）、“导数”（选修）等内容中进一步讨论研究。 函数图象的变换 高中阶段函数图象的变化方式主要有三种： 1、平移（上下、左右） 2、对称（一个函数即自身、两个函数；点 对称和轴对称） 3、伸缩（横向、纵向） 教学时大致可以分为以下三个阶段实施（借助多媒体）： 第一阶段：学习基本初等函数时，介绍一些简单的函数图象

6、平移与对称变换； 第二阶段：学习三角函数时，介绍一些函数图象平移、伸缩变换； 第三阶段：高考复习 幂函数 教学设计： 旨在培养学生理性思维：以式定形 “幂函数”的高考要求例:（ 2007年山东卷理科数学第4 题） 设 则使函数 的定义域为r且为奇函数的所有值为 a 1 ，3 b-1 , 1 c-1, 3 d-1 , 1 , 3 关于“反函数”2007年高考情况 1、新课程高考（山东、广东、宁夏、海南）都没考。 2、浙江、全国卷2、北京、湖南、江苏、重庆、四川、福建也没考。 3、全国卷1填空第2题、上海第3题、安徽第1题、湖北填空第1题、江西填空第1题、辽宁第2题、天津第5题、陕西第8题。 借助

7、图形直观了解函数的凹凸性 例（新教材p.45第一章复习参考题b组第5题） 证明： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 。 从几何上看，若函数图形是下凸的，则连接曲线上任意两点的弦的中点位于曲线上相应点的下面，即曲线在弦的下面。 识别函数模型 例：在下列函数关系中，近视看作哪类函数模型： a 汽车的行驶公里数与耗油量的关系 b 若我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 c 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的变化关系 d 作为核燃料的某放射元素裂变后所剩的质量随时间的变化关系 函数的思想性 * * 映射的概念要求较低，不出现“象、原象”等知识 分段函

8、数要求能简单应用 函数的表示法 作为一种语言来学习；学会使用最基本的集合语言表示有关数学对象，并能在自然语言、图形语言或集合语言之间进行转换，体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，发展运用集合语言进行交流的能力。 作为一种模型来学习，强调背景和应用；强调对函数本质的认识和理解；会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）； 处理方式上变化：从函数到映射（特殊到一般）。 过于繁琐的求定义域和值域技巧训练；不宜涉及抽象函数。 函数模型背景和应用的要求 函数的概念 函数及其表示 集合运算的性质及证明 集合的基本运算 类比数的大小关系, 会利用venn图直观表示集合 集合间的基本关

9、系 集合中元素 “三性”训练 （确定性、互异性、无序性） 从实例中概括集合的含义;能选择自然语言, 集合语言表示集合. 集合的含义与表示 集 合 淡化的内容 强化的内容 新教材必修1 例如：函数表示法（p.19）例3、例5、例6、复习题b组中的高斯函数等。例2：2007年（海南、宁夏）理科第22选做题设函数f(x)=2x1x4（）解不等式f(x) 2；（）求函数y=f(x)的最小值。例3：2007年（浙江）理科第10题设 ， 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是（ ）a b c d 分段函数 不必在一般的幂函数上作过多的引申和介绍 掌握五个幂函数的图象和性质1，2，3， -1，12 幂函数

10、 重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。研究函数性质时，经历“三步曲”：观察图象特征自然语言描述形式化的定义；重要载体：二次函数 淡化的内容 强化的内容 新教材必修1 强调：通过具体实例，了解三类函数模型的实际背景。如细胞的分裂，考古中所用14 c的衰减，药物在人体内的残留量的变化等 不必讨论形式化的反函数定义，不要求求已知函数的反函数 了解对数的换底公式（化归思想） 对数函数 有关根式的复杂运算及繁琐的根式化简不必多练 体会“用有理数逼近无理数”的思想 指数函数 基本初等函数（） 奇（偶）函数的图象对称性在本节教学时不要求证明 奇偶性 研究函数性质的例题和训练不宜太难，应局限于具

11、体的函数。 重视函数的直观图象，鼓励学生利用计算机作一些复杂函数的图象；给出函数的最值定义；并能利用单调性求出最值。 单调性与最大（小）值 函数的基本性质 阅读材料 对数的发明 阅读与思考 对数的发明 信息技术应用 探究指数函数 阅读与思考 函数概念的发展历程 阅读材料 集合中元素的个数 阅读与思考 集合中元素的个数 3 4 3 4 1 3 1 2 2 2 2 课时 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 1 1 课时 2、8对数函数 2、2-2对数函数及其性质 2、3幂函数 2、7对数 2、2-1对数与对数运算 2、6指数函数 2、1-2指数函数及其性质 2、5指数 2、1-1指数与指数幂的

12、运算 4、8三角函数的性质（4） 1、3-2奇偶性 2、3函数的单调性 1、3-1单调性与最大（小）值 2、2函数的表示法 1、2-2函数的表示法 2、1函数 1、2-1函数的概念 1、3交集、并集 1、1-3集合的基本运算 1、2子集、全集、补集 1、1-2集合间的基本关系 1、1集合 1、1-1集合的含义与表示 大纲教材 课标教材 背景实例 数学知识 应用 当前内容 推广 类比 特殊化 类比 结论： 细读课标对照意见研究教材 突出函数的中心地位 不搞“一步到位” 注重几何直观 重要的传统知识适当拓广 淡化的知识内容不宜拓广 重视初高中的衔接 要研究、开发例习题 三、教学建议 不搞“一步到位

13、” 内容是螺旋上升的，学习是循序渐进的过程。 如“函数” ，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。在高中阶段，大致经历三个阶段进行： 第一阶段：函数的概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数），包括函数的应用等； 第二阶段：三角函数；数列与不等式； 第三阶段： （文）选修11， （理科）选修22中的导数及其应用。 例如： “单调性与最大（小）值” 如“集合” 。随着学习的深入，“集合”中“元素”的不断丰富。在后续内容的学习中是一种重要的工具（如用集合的语言表示函数的定义域和值域、方程和不等式的解、曲线等） 。 几何直观 自然语言 形式化定义 图象 性质 对重点的传统知识要适当拓广 1、必要性：什么知识点应适当拓广依据新课程、高考 2、可能性：什么时机进行拓广合适水到渠成防止“越位” 如二次函数，它是历年高考的重点内容，是第一章研究函数及其性质的主要载体。如闭区间上二次函数的最值