史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

1、二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1 .定义：一般地，如果 y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),那么y叫做x的二次 函数.2 .二次函数y ax2的性质(d抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.(2)函数y ax2的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2 (a 0).3 .二次函数y ax2 bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线4 .二次函数y ax2bx c用配方法可化成：y ax h 2 k的形式，其中2a4a

2、c b24a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2 ; y ax2 k ;y a x h2; y a x h 2 k; y ax2 bx c.6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作 x h.特别地，y轴记作直线x 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛 物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法.22, 22 ,b 4ac bb 4ac b、(1

3、)公式法：y ax bx c a x -，顶点是(一,)，2a 4a2 a4a对称轴是直线x -.2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h 2 k的形式， 得到顶点为(h, k),对称轴是直线x h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶 占 八、.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y ax2 bx c中，a,b, c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由

4、于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 2,故：b 0时，对称轴为y轴；b 0 （即a、b同号）时，对 2aa称轴在y轴左侧；b 0 （即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a(3) c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, c）：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则b 0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当a 0时x 0 ( y 轴)(0,0)

5、开口向上x 0 ( y 轴)(0, k)当a 0时(h,0)开口向卜(h, k)b 4ac b2(,)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.（ 2）顶点式： y a x h 2 k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（ 3） 交点 式 ： 已 知 图 像与 x 轴 的 交点 坐标 x1 、x2 ， 通常选用交 点式 ：y a x x1 x x2 .12. 直线与抛物线的交点（1） y轴与抛物线yax2 bx c得交点为（0, c）.（2）与y轴平行的直线 x h与抛物线yax2bx c有且

6、只有一个交点（h,ah 2 bh c）.（ 3）抛物线与x 轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应 一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0 抛物线与x轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两bx c k 的两个实数交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax2根.(5)

7、一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0的图像g y kx ny ax bx c的交点，由方程组2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 1与g有两个交点；方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时1与g没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为 a x1,0 , b x2,0 ,由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的两个根，故第二部分典型习题1 .抛物线y=x2 + 2x 2的顶点坐标是(d )a. (2, 2)b. (1, 2) c. (1, 3) d. (1, 3)2 .已知二次函数y ax2 b

8、x c的图象如图所示，则下列结论正确的是( c )a. ab0, c0 b. ab0, cv0 c. abv0, c0 d. abv 0, c 0,bv0, c0b. av0,bv0,c0c.av0,b0, cv0d. av0,b0,c04 .如图，已知中，bc=8 bc上的高,d为bc上一点,ab于点e,交ac于点f （ef不过a b）,设e到bc的距离为，则 的面积关于的函数的图象大致为（ d ）5 .抛物线y x2 2x 3与x轴分别交于a b两点，则ab的长为上.6 .已知二次函数y=kx2+（2k1）x1与x轴交点的横坐标为x1、x2 （x1x2时，y0;方程 kx2+（2k 1）x

9、1=0有两个不相等的实数根x1、x2；x1v1 ,x2 1 ;x2-xi=正如其中所有正确的结论是（只需填写序号）.k7 .已知直线y2x b b 0与x轴交于点a,与y轴交于点b; 一抛物线的解析式为 y x2 b 10 x c.（1）若该抛物线过点b,且它的顶点p在直线y 2x b上，试确定这条抛物线 的解析式；（2）过点b作直线bc ab交x轴交于点c,若抛物线的对称轴恰好过c点，试确定直线y 2x b的解析式.解：（1） y x2 10或 y x2 4x 62将（0, b）代入，得c b.顶点坐标为（l0 b 16b 100）,由题意得24b 10 b2 16b 1002 b ,解得

10、b10,b26.24 y 2x 28.有一个运算装置，当输入值为 x时，其输出值为y,且y是x的二次函数，已知输入值为 2,0, 1时，相应的输出值分别为5, 3, 4.(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围解：(1)设所求二次函数的解析式为y ax2 bx c,a( 2)2 b( 2) c 5 c 3贝u a 02 b 0 c 3 ,即 2ab故所求的解析式为：y x2 2x 3.(2)函数图象如图所示.a4 ,解得ba b 1c由图象可得，当输出值y为正数时,究中温度每昼一头制成第一天中，在什么时间范围内

11、这头骆驼的体温是上升的 ？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？第三天12时这头骆驼的体温是多少？兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.解：第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是 39c，一、1 c y x2 2x 24 10 x 221610.已知抛物线y ax2 (4 3a)x 4与x轴交 3b两点，与y轴交于点c.是否存在实数a,得 abcj直角三角形.若存在，请求出 a的值；若不存在，请说明理由.解：依题意，得点c的坐标为(0, 4).设点a b的坐标分别为(x90), (x

12、2, 0),由 ax2 (- 3a)x 4 0 ,解得 x13, x2刍.33a点a、b的坐标分别为(-3, 0), ( 3,0).3a422ab | 一 3|, ac 7a。2 oc2 5, 3abc 4 bo2 oc2 j 5|2 42 .242ab 1 至 31169a242 393a169a29,2 c216ac2 25, bc2 62 16.9a2i当 ab2ac2bc2时，/ ac&90 .由ab2ac2bc2516(讶 16).解得于是ab2时，点b的坐标为喈6 ab222ac2 bc2.625 s22400，ac2 25 , bc2 99ii当 ac2ab2bc2时，/ abc

13、= 90由 ac2 ab2bc2得 25 (t9a28 9) a(& 9a2解得a 49当a 9时,43a4t3,点 b (-3, 3 40）与点a重合，不合题意.iii当 bc2ac2 ab2时，/ bao9016825 （一2 9） .9a2 a：时，mb泄直角三角形.由 bc2 ac2 ab2 ,得62 16 9a2解得 a -.不合题意. 9综合i、 ii、 ,当 a11.已知抛物线y = x2+m- m+ 2.(1)若抛物线与x轴的两个交点a、b分别在原点的两侧，并且 ab= 75,试求m的值；(2)设c为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点m n,并且 mnc勺面积

14、等于27,试求m的值.解： a （玄，0） ,b（x 2, 0）则x1 , x2是方程x 2 mx+ m 2 = 0的两根.x1 +x2 = m , x 1 x2 =m 2 0 即m 2;又 ab=i x1 x2 i =q,（x1+x2）24x1x2v5,2 m 4m+ 3=0解得：m=1或m=3（舍去），m的值为1 .（2） m（a, b）,则 n（-a, 一 b）.m n是抛物线上的两点，. a2 ma m 2 b,l a2 ma m 2 b.l + 得：一2a2 2m 4 = 0 .，a2= m 2 .当mk2时，才存在满足条件中的两点m n.a 2m .这时m n到y轴的距离均为v2m

15、,又点 c坐标为(0, 2mj)，而 sam n c = 27 ,2x 1 x ( 2-m) x t2-m=27 . 2解得 m=- 7 .12.已知：抛物线y=ax2+ 4ax+t与x轴的一个交点为 a(1)求抛物线与x轴的另一个交点b的坐标；(2) d是抛物线与y轴的交点，c是抛物线上的一点，ab为一底的梯形abcd勺面积为9,求此抛物线的解(3) e是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5： 2的点，如果点e在(2)中的抛物线上，且它与点 a在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点p,使 ape的周长最小？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.解法(1)依题意，抛物

16、线的对称轴为 x=2.抛物线与x轴的一个交点为a(1, 0),由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点b的坐标为（一3,0).(2) v 抛物线y=ax2+ 4ax+t与x轴的一个交点为 a( 1, 0), a( 1)?+4a( 1)+t = 0. - t = 3a.y=ax?+4ax +3a .二. d (0, 3a). 梯形 abc前，ab/ cr 且点 c在抛物线 y=ax2+4ax +3a 上，c (4, 3a).ab =2, cd=4.梯形abcd勺面积为9,1-(ab cd)od=9.21-(2+4) 3a =9 .y=a 1.所求抛物线的解析式为2x 4ax 3.（3）设点

17、e坐标为（x0, y0）.依题意,xo0, y0,且 y0 =5lx025y0= 一 二 x0 2=5解方程组y= 2x。,丫0=%+4%+ 3设点e在抛物线y = x2+ 4x + 3上,y0=x；+ 4x0+3.1x =6 x0=二，得 x06,2% =15;5y0=- -4 点e与点a在对称轴x=2的同侧， 点e坐标为(1，5). 24设在抛物线的对称轴 x= 2上存在一点p,使 ape的周长最小.ae长为定值， 要使 ape的周长最小，只须 pa pe最小. 点a关于对称轴x= 2的对称点是b( 3, 0),由几何知识可知，p是直线be与对称轴x= 2的交点.设过点e、b的直线的解析式

18、为y=mx+n,1,5-m+ n=-,243m+ n=0.1m= 一解得 23 n=-.2 直线be的解析式为y=1x+3. .把x=2代入上式，得v= - - 222点p坐标为(一2, 1).2设点e在抛物线y= x2 4x 3上，y0= x2 4x0 3 .=5解方程组y。 2x0,消去y0,得x2 x+3= 0.y= x2 4x0 3.a0 时，c0;当 av0 时，cv0.(2)证明：设点a的坐标为(木, 0),点b的坐标为(x2, 0),则0x0,a 0.a a解法一：ab= ob- oa= x2-xv (x1 + x2)2 4x1x2 ,ab样2-4目一迪. .a a . a aab 4j3,.23 = 43 .得 a 1 .c =2.a2解法二：由求根公式,4 j6 4acx=2a4 .16 42 . 3,2aa23ab =