北京市西城区高三4月一模理科数学试题及答案

1、 北京市西城区2014年高三一模试卷 数 学（理科） 2014.4第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设全集，集合，则集合（ ）（a）（b）（c）（d）2. 已知平面向量，. 若，则实数的值为（ ）（a）（b）（c）（d）3在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）（a）（b）（c）（d）开始输出a结束否是输入a, b4执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（ ） （a）（b）（c）（d）5下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ）（a）（c）（b）（d）6 “”是“方程表示双曲线”

2、的（ ）（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件7某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ） （a）（b）（c）5（d）68. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点p到四个顶点的距离组成的集合记为m，如果集合m中有且只有2个元素，那么符合条件的点p有（ ）b a d c. p（a） 4个（b）6个（c）10个（d）14个第卷（非选

3、择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9设复数，其中，则_ 10. 若抛物线的焦点在直线上，则_；的准线方程为_11已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是_. 12若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_.13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是_. （用数字作答）14如图，在直角梯形中，p为线段（含端点）上一个动点，设，对于函数，给出以下三个结论：a bd cp

4、当时，函数的值域为； ，都有成立； ，函数的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c. 已知.（）求的大小；（）如果，求abc的面积.16（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天）频数频率20307050合计200（）根

5、据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值； （）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用x表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求x的分布列和数学期望.17（本小题满分14分）a b a1 b1d ced1 c1如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，.（）求证：；（）求证：/ 平面；（）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.18（本小题满分13分）已知函数 其中（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）如果对于任意，且，都有，求的取值

6、范围.19（本小题满分14分）已知椭圆，直线l与w相交于两点，与x轴、轴分别相交于、两点，o为坐标原点. （）若直线的方程为，求外接圆的方程；（）判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 20（本小题满分13分）在数列中，. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列.（）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；（）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；（）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2

7、014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1c 2b 3d 4c 5d 6a 7a 8c二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12 13 14,注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为 ， 所以 ， 3分 又因为 ，所以 . 5分（）解：因为 ，所以 . 7分由正弦定理 ， 9分得 . 10分因为 ，所以 ， 解得 ， 因为 ，所以 . 11分故abc的面积. 13分16（本小题满分13分）（）解：，.

8、 2分（）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为. 4分所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为 6分（）解：的所有取值为. 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为， 8分从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以，. 11分所以随机变量的分布列为：012312分所以的数学期望13分（注：写出，. 请酌情给分）17（本小题满分14分）（）证明：因为底面和侧面是矩形，所以 ，又因为 ，所以 平面， 2分因为 平面，所以 . 4分（）证明：因为 ，所以四边形是平行四边形. 连接交于点，连接，则为的中点. 在中，

9、因为，所以 . 6分a b a1 b1d ced1 c1zyxfg又因为 平面，平面，所以 平面. 8分（）解：由（）可知， 又因为 ， 所以 平面. 9分设g为ab的中点，以e为原点，eg，ec，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设，则.设平面法向量为，因为 ，由 得令，得. 11分设平面法向量为，因为 ，由 得令，得. 12分由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得 ， 13分解得. 14分18.（本小题满分13分）（）解：由题意，得，其中， 2分 所以 ，又因为， 所以函数的图象在点处的切线方程为. 4分（）解：先考察函数，的图象， 配方得， 5分 所以函数在上单调递增

10、，在单调递减，且. 6分 因为对于任意，且，都有成立， 所以 . 8分 以下考察函数，的图象， 则 ， 令，解得. 9分随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递减，在上单调递增，且. 11分因为对于任意，且，都有成立， 所以 . 12分因为 （即）， 所以的取值范围为. 13分19（本小题满分14分）（）证明：因为直线的方程为， 所以与x轴的交点，与轴的交点. 1分则线段的中点， 3分即外接圆的圆心为，半径为，所以外接圆的方程为. 5分（）解：结论：存在直线，使得是线段的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线的方程为， 则 ， 6分由方程组 得， 7分 所以 ， （*） 8分由韦达定理，得, . 9分 由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合. 所以 ， 10分 解得 . 11分 由是线段的两个三等分点，得. 所以， 12分 即 ， 解得 . 13分 验证知（*）成立. 所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，或. 14分20（本小题满分13分）（）解：答案不唯一. 如3项子列，； 2分（）证明：由题意，知，所以 . 3分若 ，由为的一个5项子列，得，所以 .