高中数学微分几何测试题集锦(含答案)

1、微分几何测试题（一）一填空题：（每小题2分，共20分） 向量具有固定方向，则=_t_。 非零向量满足的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线 设曲线在p点的切向量为，主法向量为，则过p由确定的平面是曲线在p点的_密切平面_。 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是_。 曲线在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率=_ -2_。 主法线与固定方向垂直的曲线是_ 一般螺线_ _ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是_常数_。 曲面在点的法线方程是_。二选择填空题：（每小题3分，共30分） 11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是_c_

2、。a、 直线 b、平面曲线 c、球面曲线 d、圆柱螺线 12、曲线在p(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子_a_不正确。a、 b、 c、 d、 13、对于曲面的第一基本形式_d_。a、 b、 c、 d、 三计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线，试求 在点的切线和法平面。 曲率和挠率。22、对于圆柱面，试求 的第一、第二基本形式； 在任意点处沿任意方向的法曲率； 在任意点的高斯曲率和平均曲率； 试证的坐标曲线是曲率线。微分几何测试题（二）一单项选择题（210=20分）1若向量函数的终点在通过原点的一条直线上，则( )a 是定长的； b. 是定向的；c ； d. .2

3、对于向量函数，若，则( )a是定长向量； b.定长向量；c是定向向量； d.是定向向量.3设均为非零向量，且，则（ ）.线性相关；.线性无关；.可以由线性表示； d.可以由线性表示.4挠率曲率的曲线是( )a 半径为4的圆； b.半径为的圆；c半径为2的圆； d.半径为的圆.5空间曲线的形状由( )决定a 由曲率和挠率； b. 仅由曲率；c 仅由挠率； d. 由参数的选取.6曲率是常数的曲线( )a 一定是直线； b. 一定是圆；c 一定是球面上的曲线； .答案a,b,c都不对.7设s 是球面， 则( )a s上每一点是双曲点； b. s上每一点是抛物点；c s上的圆的指向球心； d. s上的

4、测地线的指向球心.8若曲面s在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为( )的球面贴合a ； b. 2； c. ； d. 4.9圆柱螺线 在任一点的切线与轴的夹角( )a 为； b. ； c. 与有关； d. 与有关.10设非直线的曲线c是曲面s: 上的测地线，则有( )a. c在每一点; b. c在每一点;c. c在每一点; d. c在每一点.一 判断题（210=20分）1向量函数满足，则必有一常向量，满足. 2如果曲线 c: 的所有向径共面，则必与某一固定向量垂直. 3曲线的形状只由曲率和挠率决定. ( )4直纹面上的直母线一定是曲率线. （ ）5若曲面s与一个半径为r的球面沿一个半径为的圆c

5、相切，则c是s上的测地线. 6如果两个曲面s与s之间的一个对应关系， 使得它们在对应点有相同的高斯曲率，则s与s 等距等价. 7设曲面s：=, 如果,则线是曲率线. （ ）8设曲面s：=，如果，则曲面上的所有曲线都是曲率线. 9 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短. （ ）10球面上的曲率线是大圆. （ ）二 计算题（104=40分）1求曲线c：=上在处的密切面方程.2已知曲线c：=（是弧长参数）的曲率和挠率分别是和,且是不为零的常数，求曲线：=的曲率和挠率.3求曲面 上的渐近线.4求圆环面 s：= (b+acos)cos , (b+acos)sin , a sin 上的椭圆点，双曲点和抛物

6、点.三 证明题（102=20分）1证明：如果曲线的所有都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.2 设c是半径为的球面上半径为的圆，是曲率.证明： .b一 单项选择题（210=20分）1设， 若 则 ( )a ； b. ； c. ； d. 为任意实数.2设曲线c:满足 则 ( )a. c是单位球面上的曲线； b. 是c的弧长参数；c. 变向量具有固定方向； d. 变向量具有固定长度.3若向量函数对于任意 都有. 则 ( )a. 是定向的向量； b. 是定长的向量；c. ； d. . 4可展曲面上每一点都是 ( )a. 椭圆点； b. 抛物点；c. 圆点； d. 平点.5若曲线c的曲率 则(

7、 )a. c是半径为2的圆; b. c是半径为的圆;c. c是半径为的圆; d. c是半径为的圆.6曲面上与线正交的曲线满足 ( )a. ; b. ;c. ; d. .7设曲面s上一条非直线的曲线c是s上的测地线，则 ( )a c在每一点，； b. c在每一点,；c c在每一点，； d. c在每一点， .8在曲面s: 上，线的微分方程是( )a ； b. ；c ； d. .9若两个曲面等距等价，则( )a.它们有相同的第一基本形式； b.它们有相同的第二基本形式；c它们有相同的第三基本形式； d.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.10若曲面s:上任一点，都有，则( )a参数曲线网

8、是渐近线网； b.参数曲线网是曲率线网；c参数曲线网是测地线网； d.答案a,b,c都不对.二 判断题（210=20分）1.向量函数满足 则必有一常向量，满足.（ )2如果曲线 c: 的所有向径共面，则c就在通过原点的一个平面上.（ ）3. 曲线 c： =与曲线：=在处有相同的曲率. （ ）4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆. （ ） 5. 设s是平面， 则s上每一点，都有=0. ( ) 6. 球面上的圆的指向球心. ( ) 7. 可展曲面上没有双曲点. ( ) 8. 高斯曲率k0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. ( )9. 若曲面s与一个半径为r的球面沿一个半径为的圆c相切，则s在c

9、上每一点，沿着c的方向，都有， =. ( )10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （ ）三 计算题（104=40分）1. 求曲线c：= , 的曲率和挠率.2. 设曲线c： =是平面曲线， 求.3. 求圆柱面 =在处的切平面方程，并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.4. 求曲面s：=的高斯曲率.四 证明题（102=20分）1证明：如果一条曲线：=(s) (s是弧长参数)的所有从切面都经过一个固定点，则 的挠率和曲率之比是s的一次函数.2证明：可展曲面上的直母线是曲率线.证明：如果可展曲面上有两族直母线，则是平面.微分几何测试题（三）一填空题：（每小题2分，共20分） 具有固定方向的充要

10、条件是_。 挠率_的曲线其副法向量是常矢。 曲线在点的主法向量是，则曲线在p点的从切面方程是 。 如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向 。 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。 6曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为_。7半径为r的球面的高斯曲率k= .8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。9. 曲面上 坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。10在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。二选择填空题：（每小题3分，共30分） 1、圆柱螺线在点的切线为_。a、 b、 c、 d、 2、曲面的三个基本形式之间的关系为_。a、+2

11、h+k=0 b、-2h+k=0c、-2k+h=0 d、-2h-k=0 3、在直纹面（为单位向量）中，导线是腰曲线的充要条件是_。a、 b、 c、 d、 4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_。a、m = 0 b、l = n = 0 c、m = f = 0 d、f = 0 5、下列曲面中_不是可展曲面。a、柱面 b、锥面 c、一条曲线的切线曲面 d、正螺面 6、曲面上， 不是曲面的内蕴量。a、两曲线的夹角 b、曲线的弧长c、曲面域的面积 d、在一点沿一方向的法曲率 7、曲面，是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中， 是不正确的。a、n = b、n = c、n = d、n = 9、球面的坐标曲线

12、构不成 。a、正交的渐近网 b、共轭网 c、曲率线网 d、半测地坐标网 10、曲线在p点的基本向量是曲率为k(s) ,挠率为，则= 。a、 b、 c、 d、三计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）1、求螺线上点的曲率和挠率。2、确定螺旋面上的曲率线和在任一点的高斯曲率。四证明题：（每小题8分，共24分）1证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。微分几何测试题（四）一、填空题（每小题2分，共20分）1、变矢满足的充要条件是_。2、曲线（c）上p点处的三个基本向量为、，则过p点由和确定的平面叫曲线（c）在p点的_。3、若曲线在各点的曲率_，则曲线是直线。4、曲

13、线穿过_和密切平面，但从不穿过_。5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向_。6、两个曲面间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的_。9、曲面的高斯曲率为k，测地曲率为可kg ，g是单连通曲面域，g的边界是一条光滑闭曲线，则。二、选择题（每小题3分，共30分）11、若曲面s上曲线（c）是平面曲线，则一定有_恒等于零。a、法曲率k n b、挠率 c、测地曲率k g d、曲率k12、在圆柱面上，圆柱螺线是_。a、平面曲线 b、曲率线 c、测地线 d、渐近线13在椭圆抛物面上，高斯曲率k_

14、。a、大于零 b、小于零 c、等于零 d、不确定14、设、是曲线（c）在一点的三个基本向量，则=_（k,分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。a、k b、 c、 d、15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_。a、f= 0 b、m = 0 c、f = m = 0 d、l = n = 016、曲面上的直线不一定是_。a、渐近线 b、曲率线 c、测地线 d、法截线19、下列直纹曲面中，_是可展曲面。a、锥面 b、单叶双曲面 c、双曲抛物面 d、挠曲线的主法线曲面三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)21、求曲线(t) = t , t 2 , e t 在t = 0点的密切平面和主法线

15、。22、求曲线(t) = a (1sint) , a (1cost) ，b t 的曲率和挠率。23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这条曲线是直线或平面曲线。24、求抛物面z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。25、证明挠曲线（c）的主法线曲面不是可展曲面。微分几何试题（五）一填空题：（每小题2分，共20分） 变矢具有固定方向的充要条件是_。 设曲线（c）的参数表示是，s是弧长，则叫作曲线(c)的_。 如果曲线在各点的曲率_，则曲线是直线。 曲线在p点有挠率=3，则曲线在p点附近的形状是_。 一般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副

16、法线与这个固定方向_。 两个曲面之间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第基本形式。 曲面的第一类基本量是e、f、g，第二类基本量是l、m、n。则曲面上曲率线的微分方程是 。 在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的_重合于曲面的法线。 曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的_。 曲面上连接两点p、q的_是曲面上连接p、q的曲线中弧长最短的曲线。二选择填空题：(每小题3分，共30分) 11、若曲面s上曲线(c)恒有法曲率=0，则曲线一定是曲面上的_。 a、渐近曲线 b、平面曲线 c、曲率线 d、测地线 12、在圆柱面上，圆柱螺线是_。 a、平面

17、曲线 b、曲率线 c、测地线 d、渐近线 13、在曲面上的双曲点，_。 a、大于零 b、小于零 c、等于零 d、不确定 14、设是曲线(c)在一点的三个基本向量，则=_。（分别表示曲线在该点的曲率和挠率）a、 b、 c、 d、 15、正螺面的第二基本形式是_。a、 b、c、 d、 16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。a、m=0 b、f=m=0 c、f=0 d、l=n=0 17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，则这点是曲面的_。a、椭圆点 b、双曲点 c、抛物点 d、脐点 18、曲面在一点的单位法向量是，则在同一点的方向是主方向的充要条件是_。a、 b、存在方向使 c、存在方向使 d、 19、在下列直纹曲面中，_是可展曲面。a、双曲抛物面