函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

1、函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特殊的对称性)i、奇偶性：(i)奇函数关于(0, 0)对称，奇函数有关系式f (x) f( x) 0f( x) f(x)(2)偶函数关于y (即x=0)轴对称，偶函数有关系式2、奇偶性的拓展：同一函数的对称性(i)函数的轴对称：函数y f(x)关于x a对称f (ax) f (ax)f (a x) f (a x)也可以写成f(x)f (2a x)f( x)f (2a x)若写成：f (a x) f(b则函数f(x)关于直线i(a x) (b x) x(x1, yj 在 y f (x)上通过f (x)f

2、 (2a x)可知，yif (xi)f (2a xi),即点(2a x，yi)也在 yf(x)上，而点(xi,yi)与点(2a xi, yi)关于x=a对称。得证。说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a,纵坐标相等。(a ，火)与(a x1，y1)关于xa对称，函数f (x)关于xa对称f (a x) f (a x), (xi, yi)与(2a xi, yi)关于 xa对称，函数f (x)关于xa对称f (x) f(2a x)(不，%)与(2a x，yi)关于 xa对称,f(x)关于xa对称f ( x) f (2a x)(2)函数的点对称:函数y f (x)关于点(a,b)对称f (a x)f

3、 (ax)2b上述关系也可以写成f(2a x) f ( x) 2b或 f (2ax) f(x)2b若写成：f(a x) f(b x) c,函数y f (x)关于点cab,w)对称22证明：设点(x1 , y1 ) 在 y f (x) 上，即 y1 f (x1) ，通过 f (2a x) f (x) 2b可知， f(2ax1)f(x1)2b ，所以 f(2ax1)2bf(x1)2by1 ，所以点(2axi,2by1)也在 y f(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x，y1)关于(a,b)对称得证。说 明 : 关于 点 (a,b) 对称要求 横坐 标之和 为 2a , 纵 坐标之和为 2b ,

4、 如(a x)与(a x)之和为2a。(3)函数y f(x)关于点yb对称：假设函数关于y b对称，即关于任一个x值， 都有两个 y 值与其对应， 显然这不符合函数的定义， 故函数自身不可能关于y b 对称。但在曲线c(x,y)=0 ，则有可能会出现关于y b 对称，比如圆c(x, y) x2 y2 4 0它会关于 y=0 对称。( 4)复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y=fg(x)为偶函数，则fg( x) =fg(x)。复合函数 y = fg(x)为奇函数，则 fg( x) = fg(x)。性质2、复合函数y=f(x +a)为偶函数，则f(x +a)=f( x + a)；复合函数

5、y = f(x + a)为奇函数，则f( x + a) = f(a +x)。性质3、复合函数y=f(x +a)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=a轴对称。复合函数y = f(x +a)为奇函数，则y = f(x)关于点(a,0)中心对称。总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ，相加除以2，可得对称轴方程总结：x 的系数一个为1，一个为-1 ， f(x) 整理成两边，其中一个的系数是为 1，另一个为 -1 ，存在对称中心。总结：x 的系数同为为1，具有周期性。( 二) 、两个函数的图象对称性1、y *)与丫 f(x)关于x轴对称。证 明 ： 设 y f(x) 上任一 点为 (x1, y1

6、) 则 y1f (x1) ， 所以 y f(x) 经过点(x1, y1):(xi,yi)与(, yi)关于x轴对称，yif(x1)与y f(x)关于x轴对称.注：换种说法：y f(x)与y g(x) f(x)若满足f (x) g(x),即它们关于y 0对称。2、y f(x)与y f( x)关于y轴对称。证明：设y f上任一点为(xi,y1)则yif(x1)，所以y f( x)经过点(x1，y1):(x)与(xi,yi)关于y轴对称，. y f(x)与y f( x)关于y轴对 称。注：因为 ( x1, y1) 代入y f ( x) 得 y1f ( ( x1)f (x1) 所以 y f ( x)

7、经过点( x1, y1)换种说法：y f(x)与y g(x) f( x)若满足f (x) g( x),即它们关于x 0对称。g( x) f ( ( x) f(x)3、y f(x)与y f(2a x)关于直线x a对称。证明：设 y f(x) 上任一点为(x1, y1) 则 y1f(x1) ，所以y f(2a x) 经过点(2a x1, y1)(x1，y1)与(2a x，yi)关于 x a 轴对称，；y f(x)与yf (2a x)关于直线 x a 对称。注：换种说法：y *)与丫 g(x) f (2a x)若满足f (x) g(2a x),即它们 关于 x a 对称。4、y*)与丫 2a f(

8、x)关于直线y a对称。证明：设 y f (x) 上任一点为(x1, y1) 则 y1f(x1) ，所以y 2a f(x) 经过点(x1,2a y1);(x1, yi)与(x1,2a yi)关于 y a轴对称， y f(xn y 2a f(x)关于直线 y a 对称 .注：换种说法：y“*)与丫 g(x) 2a f(x)若满足f(x) g(x) 2a,即它们关于 y a 对称。5、y*)与丫 2b f(2a x)关于点(a,b)对称。证明：设yf(x)上任一点为(为，w)则yif(x1)，所以y 2b f (2a x)经过点(2a xi, 2b yi)(x1，y1)与(2a x1,2b y1)

9、关于点(a,b)对称，y f(x)与 y 2b f (2a x)关于点(a,b)对称.注：换种说法：y “*)与丫 g(x) 2b f(2a x)若满足 f(x) g(2a x) 2b, 即它们关于点(a,b)对称。g(2a x) 2b f (2a (2a x) 2b f(x)a b6、y f(a x)与y f(x b)关于直线x 对称。2证明：设y f (x)上任一点为(x1, y1)则y1f (x1),所以y f (a x)经过点(a x，yi),y f (b x)经过点(b xi,yi),(a x1，y1)与(b 。火)关于直线x a-b对称，2a b y f (a x)与y f (x

10、b)关于直线x 对称。2三、总规律：定义在r上的函数y f x,在对称性、周期性和奇偶性这三条性6质中，只要有两条存在，则第二条一定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数y f(x),如果存在一个不为零的常数 t,使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x t) f(x)都成立，那么就把函数 y f(x)叫做周期函数，不为零的常数 t叫做这个函数的周期。如果所有的周期 中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：(d函数y f (x)满足如下关系式，则f(x)的周期为2tf(xt)f (x) b、f(x t)1.或f(x

11、t) f(x)f(x1f(x)f t或 f (x )1f(x)21 f(x)f(x)(等式右边加负号亦成立)其他情形(2)函数yf(x)满足 f(ax)f (ax)且f (b x) f (b x),则可推出f(x) f (2a x)fb (2a xb)fb(2a x b) fx 2(b a)即可以得到y f (x)的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”(3)如果奇函数满足f(x t)f(x)则可以推出其周期是2t,且可以推出对称轴为x t 2kt (k z),根据f(x) f (x 2t)可以找出其对称中心为(kt,0)(k z

12、)(以上 t 0)如果偶函数满足f(x t)f(x)则亦可以推出周期是2t,且可以推出对称中心为(t 2kt,0) (k z),根据f(x) f (x 2t)可以推出对称轴为 2x t 2kt (k z)(以上 t 0)(4)如果奇函数y f(x)满足f(t x) f(t x)(t 0),则函数y f(x)是以4t为周期的周期性函数。如果偶函数 y f(x/足f(t x) f(t x)(t 0),则函数y f(x)是以2t为周期的周期性函数。定理1:若函数f x在r上满足f (a x) f a x ,且f(b x) f b x (其中a b),则函数y f x以2 a b为周期.定理2:若函数

13、f x在r上满足f (a x) f a x ,且f (b x) f b x(其中a b),则函数y fx以2 a b为周期.定理3:若函数f x在r上满足f (a x) f a x ,且f (b x) f b x (其中a b),则函数y f x以4 a b为周期.定理4：若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称，则f(x)是周期函数，2 (b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。定理5:若函数f(x)的图像关于点(a,c)和(b,c)都成中心对称，则f(x)是周期函数，2 (b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。定理6:若函数f(x)关于点(a,c)和x=b都对称，则f(x)是周期，4(b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。定理7：若函数f(x)满足f(x-a)=f(x+a)(a0),则f(x)是周