分式基础知识讲解

1、分式的概念和性质(基础)【学习目标】1 .理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2 .掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式包等变形，进而进行条件计算【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果a、b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式. b其中a叫做分子，b叫做分母.要点诠释：(1)分式的形式和分数类似，但它们是有区别的 .分数是整式，不是 分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数 的分子、分母中都不含字母.(2)分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的 数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值

2、后的特殊情况.(3)分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但兀表示圆周率， 是一个常数，不是字母，如 且是整式而不能当作分式.(4)分母中含有字母是分式的一个重要标志， 判断一个代数式是否是2分式不能先化简，如 “是分式，与xy有区别，xy是整式，即只x看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1 .分式有意义的条件：分母不等于零.2 .分式无意义的条件：分母等于零.3 .分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零 .要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意 义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分 母的值为零.（2）

3、本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是 说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值 .要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：- 3,2 a-m （其中m是不等于零的b b m b b m整式）.要点诠释：（1）基本性质中的a、b、m表示的是整式.其中b#0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；m?0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调m ? 0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不

4、变，但/ 一 1 ”1分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：工土，在变 工+/ x形后，字母x的取值范围变大了 .要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数 .要点诠释：根据分式的基本性质有 b, b.根据有理数除法的符号法则有 a a a ab.分式a与：互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着a a a b b重要的作用.精心整理精心整理要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分 式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果

5、一个分式的分子与分母没有相同的因 式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子 与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因 式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次哥的积；当分 式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分 子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .分式的乘除（基础）【学习目标】1 .学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则 .2 .会分式的乘法、除法运算.3 .掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳

6、理】要点一、分式的乘除法1 .分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的 分母.用字母表不为： ,其中a、b c、d是整式，bd 0.b d bd2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a a d ad ,其中a、b、c、d是整式，bcd 0.b d b c bc要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式 或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能 否约分，然后再乘.(3)整式与分式相乘，可以直接把整式(整式可以看作分母是1的代数式)和分式的分子相乘作为分子，

7、分母不变.当整式是多项式时， 同样要先分解因式，便于约分.(4)分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式 .要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：n nn n要点诠释：(1)分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把?写成 1(2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正， i _ _负数的奇次方为负.(3)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.(4)分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如a b 2 a b 2 a2 b2 bb2b2 .分式的加减(基础

8、) 【学习目标】1 .能利用分式的基本性质通分. i i2 .会进行同分母分式的加减法.3 .会进行异分母分式的加减法.【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：精心整理a b a b. c c c要点诠释：(1) “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应 用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减 时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.(2)分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式 .要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，

9、不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分 式的通分.要点诠释：(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的 最高次哥的积作为公分母.(2)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母 的最高次哥的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最 简公分母.(3)约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针 对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 .上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bc. b d bd bd bd要点诠释

10、：(1)异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法 变成同分母分式的加减法.(2)异分母分式加减法的一般步骤：通分，进行同分母分式的加减运算，把精心整理结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算.分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分 式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则 是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加

11、、减，遇有括号，先算括号内的 .（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1 . 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.2 .会列出分式方程解简单的应用问题.【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中 含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一 般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不 含有未知数的方程是整式方程.（3

12、）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程精心整理要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以 最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的 根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时 必须验根.解分式方程的一般步骤：(1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：当分母是 多项式时，先分解因式，再找出最简公分母)；(2)解这个整式方程，求出整式方程的解；(3)检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0,则这个解是原 分式方程的解，若最简公分母等

13、于 0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无 解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 .产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这 个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说， 分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的 .根据方程的 同解原理，方程的两边都乘以(或除以)同一个不为 0的数，所 得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是 0,那 么所得方程与原方程不是同解方程， 这时求得的根就是原方程的 增根

14、.(2)解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检精心整理查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解 方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：(1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；(2)设未知数；(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；(4)解这个分式方程；(5)验根，检验是否是增根；(6)写出答案.分式全章复习与巩固(基础)j ，；【学习目标】1 .理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2 . 了解分式的

15、基本性质，掌握分式的约分和通分法则.3 .掌握分式的四则运算.4 .结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体 会解方程中的化归思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1 .分式一般地，如果a、b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子 七叫做分式. b其中a叫做分子，b叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0,所以分式的分母不能为0,即当bw0 时，分式a才有意义.b2 .分式的基本性质b 5工配白(m为不等于0的整式).精心整理精心整理3 .最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要

16、进行约分化简.要点二、分式的运算1 .约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式 变形叫做分式的约分.2 .通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.3 .基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：4 i(1)加减运算a b 3 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.c c c虱 c ad i bo飞q二；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 .a c ac(2)乘法运算 其中a、b c、d是整式 bd 0.b d

17、bd两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母a c a d ad(3)除法运算 丁 一 =,其中a、b、c、d是整式，bcd 0.b d b c bc两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.=/./ / i j(4)乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 .要点三、分式方程1 .分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3 .分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0的条件，当把分式方