数学建模论文卫星和飞船的跟踪测控

1、 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）c题 卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源 请利用模型分析卫星或飞船的测控情况

2、，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为h的球面s上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。 卫星和飞船的跟踪测控摘 要：本论文研究了应至少建立多少个测控站才能对卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖，以达到全程跟踪测控

3、的目的。我们的思路是先求得一个站点能覆盖卫星或飞船轨道的最大弧长；然后计算卫星或飞船轨道的周长；最后用周长除以弧长，取整加1，即。就得到了应至少建立多少个测控站才能实现对卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖。对问题一，由于所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面，故我们把卫星轨道放到赤道平面上来分析，分地球静止和自转两种情况对卫星轨道的测控作了讨论，得到测控点数。同时，还讨论了当轨道为椭圆时，可转化为对圆的讨论。对问题二，我们对卫星轨道平面与赤道平面有固定夹角分三种情况，（1） ；（2）； (3). 结合地球的自转分别作了讨论。首先建立了空间直角坐标系，得到了地球面的参数方程 ： 和卫星运行轨道的参

4、数方程：利用这两个参数方程，结合测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域的条件，我们可以确定测控站开始测控卫星时的位置、结束测控卫星时的位置、以及卫星进入和离开测控区域的位置和；其次利用曲线积分求得一个站点能覆盖卫星或飞船轨道的最大弧长。最后得到 个测控站。 对问题三 用具体的实例来检验我们的方法，吻合较好，说明了本论文具有可操作性。关键词： 测控站点；测控站点数；轨道平面；地球自转；一、问题重述随着我国航天事业在空间技术、空间应用和空间科学三大领域实现的跨越式发展，建立航空航天测控系统工程极为重要。因此，合理布局测控站、建立卫星导航系统测控网对卫星发射和运行有着重要作用。所谓布局是指

5、测控网为完成对卫星或飞船的跟踪、观测、定轨和控制，地面站的布设测控站的位置要合理，所需的地面测控站要尽量少，实质上是解决对卫星或飞船的运行轨道的覆盖问题。当卫星或飞船飞入测控站点切平面以上区域，可以实现测控站对卫星或飞船的跟踪。但为保证观测精度及测控效果，观测仰角应大于3度，即最小仰角为3度，测控站对卫星或飞船才能跟踪，此时才能将观测数据作为有效数据进行卫星的定轨。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。要求：（1）在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个监控站才能对其进行全程跟踪测控？(2)如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固

6、定的夹角，且在离地面高度为h的球面s上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？（3）收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。二、模型假设和符合说明1模型假设 卫星或飞船的运行周期小于地球自转运行周期。 卫星或飞船的运行方向与地球自转方向一致。 卫星或飞船的运行的轨道是圆。 地面观测站点的设备完好。 地理、气候、干扰等因素对测控精确度无影响。2.符合说明 ：地球的半径6371.004千米。：卫星离地面的高度。 ：一

7、个测控点检测的最大弧长。 ：地球自转的角速度。 ：卫星轨道平面与赤道平面的夹角。：卫星转动的角速度。 ：地球赤道上自转线速度465 m/s 。 ：地面测控站的个数。 ： 卫星运行的速度 。 三、问题分析我们要解决的问题是，用最少的监测站来对卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖。我们的思路是先找到一个测控站点能测控卫星运行轨道的最大弧长，然后用卫星轨道的周长除以，取整加1，即，可得到最少测控站点的个数。对问题一，我们分地球自转和不自转两种情况作了讨论，由于所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面，所以我们以赤道面为基准来做分析讨论。对问题二，由于卫星运行的轨道面与赤道面有固定夹角，所以，我们分三种情况

8、（1） ；（2） ；（3），并结合地球的自转来作讨论和分析。我们先建立了地球面和卫星运行轨道的参数方程；然后根据参数方程确定出卫星进入和离开测控区域位置的坐标，建立了相应的模型；最后采用曲线积分计算出一个测控站点测控卫星轨道的最大弧长,用卫星轨道的周长除以，取整加1，即，可得到最少测控站点的个数。对问题三，我们选择神州七号载人航天飞船作为参考，从网上查找的数据来验证模型的可靠性。并结合实际情况来讨论分析。四、模型的建立与求解1问题一的模型 我们要解决的问题是在所有测控站都与卫星或飞船共面的情况下，计算出用最少的测控站对卫星运行轨道进行全程跟踪测控，由于所有的测控站都与卫星或飞船共面，所以我们选

9、择在赤道面上来分析；下面我们分地球静止和地球自转两种情况来讨论建立模型。 （1） 考虑地球静止的情况 由于测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域。测控的区域视为一个圆锥内部，图1是其过球心的侧面图。在点处的测控站能测控卫星运行轨道的最大弧长就是。(i). 求弧长用初等数学的方法，很容易求得弧长。 （ii）. 求最少测控站点数 卫星轨道周长, 所以在地球静止时，全程跟踪测控卫星的最少的站点数为：= （）, 表示对除以取整。（iii）. 模型验证取 ， ，把 代入计算得12.所以要全程跟踪测控该卫星至少需要建立12个测控站。取， ， 把 代入计算得 4. 所以要全程跟踪测控该卫星至少需要建立4个

10、测控站.(2). 考虑地球自转的情况 如图2.设地球自转的角速度是，且与卫星运行的方向相同，卫星运行的速度是；卫星在点处进入测控站点的测控区域，设卫星经过时间离开该测控站点的测控区域，此时，卫星在轨道上点处。弧就是该测控站点在卫星运行的轨道上，测控得到的最大弧长。(i) 求弧长 建立方程，得 解得 该站点测控的最大测控弧长为： (ii) 求最少测控站点数 （其中 =） (iii). 模型验证取,= 弧度 , =7.7, 把代入上式中计算得11. 所以要全程跟踪测控该卫星至少需要建立11个测控站。与实际需要建立测控点的个数大致相同。 （3）.当卫星轨道是椭圆时当卫星轨道是椭圆时，如图3所示，我们

11、以地心为圆心，以地心到近地点的距离为半径作圆。在地球上设两个测控站点和，能全程跟踪圆上各点的站点必能跟踪椭圆上的各点。所以，我们对卫星轨道为椭圆的研究就转化为对轨道为圆的研究。2问题二的模型（1）.建立几个必用的方程 建立空间直角坐标系，如图4。 设地球的半径是，卫星离地面的高度是，卫星运行轨道平面与地球赤道平面固定的夹角是，则：（i）地球面的参数方程 地球面的参数方程是： （ii）卫星运行轨道所在球面的方程卫星运行轨道球面的方程是： （iii）卫星运行轨道平面的方程 由于卫星运行轨道平面过轴，故可设其平面方程为：又卫星运行轨道平面与地球赤道平面固定的夹角是，故可得，卫星运行轨道平面的方程是：

12、 （iiii）卫星运行轨道的参数方程 卫星运行轨道所在球面与卫星运行轨道平面的交线就是卫星运行轨道的方程，所以有： 把方程（2）代入方程(1),经整理有： 令，为参数，得： 故可得，卫星运行轨道的参数方程： （2）问题二模型的建立根据卫星运行轨道平面与赤道平面夹角的大小，分三种情况讨论：（i） ； （ii）； (iii). 问题二解决的思路：找一测控站点能测控卫星轨道的最大弧长，然后用卫星轨道的周长除以，对取整加1，即得全程跟踪测控的最少站点数 。（i） 时的情况 在此种情况下，卫星运行方向与地球自转方向同向。此时称为顺行轨道，在这种轨道上运行的卫星，绝大多数离地面较近，高度仅为数百公里，故又

13、将其称为近地轨道。如图5所示，设初始时，测控站在点处监测到卫星在轨道上点处升起，经过时间之后，由于地球自转，测控站到达点，此时监测到卫星在轨道上点处降下。设地球自转的角速度是，则。于是、的坐标可表示为： （，视为定值）设卫星的速度是设，其平均角速度为：，为卫星运行的周期。于是、的坐标可表示为： 视为定值） 由于每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，如图6，测控站测控范围只能是以内的区域。测控站在处的测控区域的边界向量的单位向量： =为一参数，测控站由点旋转角度至点，单位向量 亦旋转角度，其坐标变为： 即得在点处测控区域的边界向量： 向量可表示为： 卫星脱离测控区域的临界线必须满

14、足：向量与向量重合，即对应分量成比例：由上等式确定出时间和参数。从而可以确定的坐标。 令，得在这段弧（图7）上，其坐标可表示如下： 弧长可用曲线积分求得： 即得一个测控站点能测控的最大弧长。 卫星轨道的周长为： ，表示取整。所以至少应该建立 个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的。（ii）. 时的情况在此种情况下，卫星运行方向与地球自转方向反向。此时称为逆行轨道。 如图8所示，设初始时，测控站在点处监测到卫星在轨道上点处升起，经过时间之后，由于地球自转，测控站到达点，此时监测到卫星在轨道上点处降下。设地球自转的角速度是，则。于是、的坐标可表示为： （，视为定值

15、）设卫星的速度是设，其平均角速度为：，为卫星运行的周期。于是、的坐标可表示为： 视为定值）由于每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，如图10，测控站测控范围只能是以内的区域。测控站在处的测控区域的边界向量的单位向量： =为一参数，测控站由点旋转角度至点，单位向量 亦旋转角度，其坐标变为： 即得在点处测控区域的边界向量向量： 向量可表示为： 卫星脱离测控区域的临界线必须满足：向量与向量重合，即对应分量成比例：由上等式确定出时间和参数。从而可以确定的坐标。 令，得在这段弧（图10）上，其坐标可表示如下： 弧长可用曲线积分求得： 即得一个测控站点能测控的最大弧长。 卫星轨道的周长为：

16、 ，表示取整。所以至少应该建立 个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的。（iii） 时的情况在此种情况下，卫星运行方向与地球自转方向垂直。此时称极地轨道。在极轨道上运行的卫星，每一圈内都可以经过任何纬度和南北两极的上空。 如图11所示，设初始时，测控站在点处监测到卫星在轨道上点处升起，经过时间之后，由于地球自转，测控站到达点，此时监测到卫星在轨道上点处降下。 由于每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，测控站测控范围只能是以内的区域如图12， 当地球静止不动时，一个测控站能测控的最大弧长为： 当地球自转时，设其角速度是，设卫星的速度是设，角速度为

17、，并设，此时，一个测控站能测控的最大弧长为：卫星轨道的周长为： ，表示取整。所以至少应该建立 个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的。 3问题三的模型我们收集神州七号载人航天飞船的运行资料: 神七载人航天飞船便布全球的16个测控站。它从我国的酒泉卫星发射中心用长征2号f型运载火箭发射升空，经过了东风测控站（位于陕西的渭南测控站），可以从青海测控站远望5号测量船和远望2号测量船。其他设置于国内外的11个测控站，从纳米比亚到青岛跨越大西洋，印度洋和太平洋长达一万多公里的飞行区域内共布置了九个测控站，入轨时的椭圆轨道进入距地球表面343公里的近圆轨道。神州七号运行平

18、均线速度约为7.7千米每秒。飞船送入近地点200公里到远地点347公里的椭圆轨道，入轨飞行速度7820.185米/秒，轨道倾度(轨道平面与地球赤道平面的夹角)42.2度。飞船在椭圆轨道飞行第1至5圈，由于大气阻力的影响，每圈轨道降低近1公里，飞船远地点高度从347公里降为343公里，第5圈，飞船远地点点火变轨，抬升近地点，轨道由椭圆轨道变成高度343公里圆轨道。神州七号飞船发射时测控站点的分布信息：神舟七号飞船测控通信系统是由5艘“远望号”测控船和11个地面测控站共16个测控站组成的对神七测控通信天网。其中“远望一号”、“远望二号”、“远望三号”“远望五号”“远望六号”是遍布在太平洋和大西洋的

19、巨轮。而11个地面测控站中有7个在国内，它们是：主场站、喀什站、和田站、东风站、青岛站、渭南站和厦门站。有4个在国外：卡拉奇站、马林迪站、纳米比亚站和圣地亚哥站。同时列出各测控站点的位置（即各测控站点经度纬度图表），神舟七号的各个测控站点分布 从以上信息，可以得知神舟七号发射时有5测控点对卫星进行监控，测控点的地面个数为16个，测控点纬度相差不大，纬度最大的东风站与纳米比亚站相差（），而经度却从（）相差较大。以神舟七号的数据验证模型：（i）我们从资料上得到的数据： （ii）已知：地球半径和自转角速度： （iii）以渭南站来分析，用问题二的模型来求解；其中，为该站的维度，为神舟七号运行轨迹与赤道面的夹角 ； 把（i）（ii）的数据代入问题二中的模型求解： 据 可求得：= =335520042185000 所以，至少应该建立13个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖， 这和实际情况16个测控站点比较接近，这说明我们这个模型是可信的。五、模型的评价与推广1、优点（1）、对于问题一的模型，巧妙利用正弦定理的计算方法，同时借助matlab软件对模型中的计算进行求解。从而可以求出观测点可观测到的卫星或飞船的区域大小，进而求出测控站的数目，简单明了，通俗易懂。（2）、问题二运用的模型综合了多种方法对问题进行求解，其中运用卫星或飞船运行轨道球面和平面方程，向量旋转公式，地球