新课标初中九年级数学竞赛培训第26讲：开放性问题

1、新课标初中九年级数学竞赛培训第26讲：开放性问题一、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）6如图，l是四边形abcd的对称轴，若adbc，有下列结论：abcd，ab=bc，abbc，ao=co，其中正确的是显示解析7如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形abcd，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：显示解析8有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；请写出满足上述全部特点的二次函数解

2、析式：显示解析12给定四个命题：sin15与sin75的平方和为1；函数y=x2-8x+6的最小值为-10；a41a4a3；x105x10x5x，则x=10”，其中错误的命题的个数是显示解析二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）13在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0的根为xbb24ac2a；在abc中，若ac2+bc2ab2，则abc是锐角三角形；在abc和ab1c1中，a、b、c分别为abc的三边，a1、b1、c1分别为ab1c1的三边，若aa1，bb1，cc1，则abc的面积大s于ab1c1的面积s1以上三个命题中，真命题的个数是（）a0b1c2d3显示解析三、解答题（共

3、13小题，满分126分）1如图，o与o1外切于点t，pt是其内公切线，ab为其外公切线，且a、b为切点，ab与tp相交于点p，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明显示解析2已知：如图，四边形abcd是o的内接四边形，a是弧bd的中点，过a点的切线与cb的延长线交于点e（1）求证：abda=cdbe；（2）若点e在cb延长线上运动，点a在弧bd上运动，使切线ea变为割线efa，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）显示解析3（1）如图1，若o1与o2外切于a，bc是o1与o2外公切线，b、c为切点，求证：abac（2）如图2，

4、若o1与o2外离，bc是o1与o2的外公切线，b、c为切点，连心线o1o2分别交o1、o2于m、n，bm、cn的延长线交于p，则bp与cp是否垂直？证明你的结论（3）如图3，若o1与o2相交，bc是o1与o2的公切线，b、c为切点，连心线o1o2分别交o1、o2于m、n，q是线段mn上一点，连接bq、cq，则bq与cq是否垂直？证明你的结论显示解析4已知直线y=kx-4（k0）与x轴和y轴分别交于a、c两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过a、c两点，且与x轴交于另一点b（1）如果a、b两点到原点o的距离ao、bo满足ao=3bo，点b到直线ac的距离等于165，求这条直线和抛物线的解析

5、式（2）问是否存在这样的抛物线，使得tanacb=2，且abc的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由显示解析5（创新学习）如图，等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为，要求“正度”的值是非负数同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|-|来表示“正度”，|-|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形探究：（1）他们的方案哪个较合理，为

6、什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式显示解析9如图，已知ab为o的直径，直线l与o相切于点d，acl于c，ac交o于点e，dfab于f（1）图中哪条线段与bf相等？试证明你的结论；（2）若ae=3，cd=2，求o的直径显示解析10在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中的一种，测得c=90，ac=bc=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在abc的边上，且扇形的弧与abc的其它边相切请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写

7、出扇形半径）显示解析11如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点a（x1，0），b（x2，0）（x10x2），与y轴交于点c（0，-2），若ob=4oa，且以ab为直径的圆过c点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点d在此抛物线上，且adcb求d点的坐标；在x轴下方的抛物线上，是否存在点p使得apd的面积与四边形acbd的面积相等？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由显示解析14已知：ab是o的直径，ap、aq是o的两条弦，如图1，经过b作o的切线l，分别交直线ap、aq于点m、n可以得出结论apam=aqan成立（1）若将直线l向上平行移动，使直线l与o相交，如图2所示，其他条件不变

8、，上述结论是否成立？若成立，写出证明，若不成立，说明理由；（2）若将直线l继续向上平行移动，使直线l与o相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗？若成立，写出证明；若不成立，说明理由显示解析15如图，已知圆心a（0，3），a与x轴相切，b的圆心在x轴的正半轴上，且b与a外切于点p，两圆的公切线mp交y轴于点m，交x轴于点n（1）若sinoab=45，求直线mp的解析式及经过m、n、b三点的抛物线的解析式（2）若a的位置大小不变，b的圆心在x轴的正半轴上移动，并使b与a始终外切，过m作b的切线mc，切点为c，在此变化过程中探究：四边形omcb是什么四边形，对你的结论加以证

9、明经过m、n、b三点的抛物线内是否存在以bn为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由显示解析16有一张矩形纸片abcd，e、f、分别是bc、ad上的点（但不与顶点重合），若ef将矩形abcd分成面积相等的两部分，设ab=a，ad=b，be=x（1）求证：af=ec；（2）用剪刀将该纸片沿直线ef剪开后，再将梯形纸片abef沿ab对称翻折，平移拼接在梯形ecdf的下方，使一底边重合，一腰落在dc的延长线上，拼接后，下方梯形记作eebc当x：b为何值时，直线ee经过原矩形的一个顶点？在直线ee经过原矩形的一个顶点的情形下，连接be，直线be与ef是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？显示解析17（1）证