职高数学概念公式

1、职高数学概念及公式预备知识：（必会）1 .相反数、绝对值、分数的运算2 .因式分解（1） 十字相乘法 如：3x2-5x-2 = （3x + 1xx-2）（2） 两根法 如：x2 -x-1 = （x- !一 ；工）223 . 配方法如：2x2 +x-3 = 2（x + -）2-484 .分数（分式）的运算5 . 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法（1）代入法（2）消元法6 .完全平方和（差）公式：a2 +2ab + b2 =（a + b）2a2 - 2ab + b2 = （a-b）27 .平方差公式：a2 -b2= （a+ b）（a-b）8 .立方和（差）公式：+b = a + b

2、）（a2 -ab + b2）/ 一/ = （a-b）（a2 +ah + b2）9 . 注：所有的公式中凡含有“=”的，注意把公式反过来运用。第一章集合1 .构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2 .集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。注：描述法 y i匚二;，当二；;另重点类型如：yly = x2-3x + l,xw（-l,3 元素元素性质取位范困3 .常用数集：n （自然数集）、z （整数集）、q （有理数集）、r （实数集）、n* （正整数集）、z+ （正整数集）4 .元素及集合、集合及集合之间的关系：（1）元素及集合是及“公”的关系。（2）集合及集合是

3、“与”“三”“=”“巨”的关系。注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑。是否满足 题意）（2）一个集合含有个元素，则它的子集有2个，真子集有2-1个，非空真子集有2”-2 个。5 .集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）anb = xlxea且xe团：a及8的公共元素（相同元素）组成的集合（2） au8 = lxea曲团：a及8的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。（3） cl,a： u中元素去掉a中元素剩下的元素组成的集合。注：cu（aob） = cuajcubcu（ajb） = cuaccub6 .会用文氏图表示相应的集合，会将

4、相应的集合画在文氏图上。7 .命题：能判断真假的语句。8 .逻辑联结词：且（八）、或（v ）非（- ）如果那么（=）量词：存在（?） 任意（v）真值表：其中一个为假则为假，全部为真才为真；pq：其中一个为真则为真，全部为假才为假；p：及的真假相反。（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。）9 .命题的非（1）是一不是都是- 不都是（至少有一个不是）（2） 3,使得p成立-对于v,都有力成立。对于v,都有成立fm，使得力成立（3 ） 1（/? a = -1 v r1（ v 4）=-1/7 a q10 .充分必要条件是q的条件是

5、条件，q是结论t是g的充分不必要条件（充分条件）t是g的必要不充分条件（必要条件）一是的充分必要条件（充要条件）t是g的既不充分也不必要条件注：另外一种情况，的条件是（乡是条件，是结论）第二章不等式1 .不等式的基本性质：（略）注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如:j2010 -j2009 与 j2009 -j2008 （倒数法）等。（2）不等式两边同时乘以负数要变号！（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。2 .重要的不等式：（均值定理）（1）a2+b22ab,当且仅当时，等号成立。（2） a + b2y（a,ber+）f当且

6、仅当=时，等号成立。（3） a + b + c 3ylabc（a,b,c e /?+）,当且仅当 a= = c 时，等号成立。注：（算术平均数）之而（儿何平均数）3. 一元一次不等式的解法（略）4. 一元二次不等式的解法（1）保证二次项系数为正（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：（3）定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；小于两根之间注：若 = （）或（）,用配方的方法确定不等式的解集。5,绝对值不等式的解法“ n . x a -a x 0,则r x a x。或t 0且a h l）,x e ry = log。x,（a 0且。丰 l）,x 0y =+ k

7、e z）2（2） 值域的求法：y的取值范围正比例函数：y = kx和一次函数：），=履+。的值域为r二次函数：），= wx + c的值域求法：配方法。如果工的取值范围不是r则还需画 图像 反比例函数：的值域为）“ y工0的值域为的值域求法：判别式法 另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。3)解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。4 .函数图像的变换(1)平移y = /（x）向右平移4个单位fy = /（工一）向左平移个单位向上平移4个单位-y = fw + a一、向下平移一 、 左铳一k)一”10 / 31(2)翻折沿x轴上、下对折f

8、y = 一/（幻保留x轴上方图像下方翻折到上方f ）,=（幻|保留通右边图像-(3) ),右边翻折到左边，/ .5 .函数的奇偶性(1)定义域关于原点对称 奇若 f(-x) = f(x) t 偶注：若奇函数在x = 0处有意义，则/(0) = 0常值函数/*) =，(工0)为偶函数外0=0既是奇函数又是偶函数6 . 函数的单调性对于 vxp x2 e a,b且 x x2,若/3)7*2)，称“x)在。向上为减函数 增函数：x值越大，函数值越大；x值越小，函数值越小。减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。复合函数的单调性：6(x) = /(g(x)/(x)及g(x)同增或同

9、减时复合函数/?*)为增函数；/(x)及g(x)相异时(一增一减)复合 函数力(x)为减函数。注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。7 .二次函数(1)二次函数的三种解析式一般式：f(x) = ax2 +bx + c (awo)顶点式：fm = a(x-k)2 +h (工0),其中(kj?)为顶点两根式：f(x) = a(x - xi )(x - x2)(wo),其中匹、/是/(x)=。的两根(2)图像及性质a二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征及性质：开口 0.开口向上4v0.开口向下对称轴：顶点坐标：及x轴的交点：一元二次方程根及系数的关系：(韦达定理)af (x) = ax2

10、 +bx + c为偶函数的充要条件为。=0二次函数(二次函数恒大(小)于0)/*) 0 = =图像位于x轴上方 0/（x） v 0 = =图像位力轴下方 a0若同负，则x, + x2 0,a0若同正，则演+x2 0xxx2 0适.若两根.位于内，则利用画图像的办法。若a 0,则若a 4 = 1 = 10gfl b = 一!一 log/,。6. 对数的基本运算：m log j a/ n) = log。m +logfl n log。 = log/w -logn n7. 换底公式：30且匕。1)8. 指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定义y = ax (a 0,a ?21的常数)y =

11、logfl xa 0, 1 的常数)图像fjf 0x性质(1) xe/?,y(2) a图像经戈(al,y =优为 0 a 0(2) 图像经过(1,0)点a ,y = log. x在(0,+s)上为增函数；(j) a、，0 a 1, y = log, x在(0,+8)上为减函数9. 利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幕(次)或用换底公式或是利用中间值0, 1来过渡。10. 指数方程和对数方程（1）指数式和对数式互化（2）同底法（3）换元法（4）取对数法（5） 超越方程（作图法）注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列每一项及前

12、一项之差为同一个常数每一项及前一项之比为同一个常数定a2-a=a3-a2=. = an-an_x =d = = . = - = q (q 手 0)% 4义注：当公差d=0时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0：当公比为1时，数列为常数列通an = % + 一 )d4 =%小项公式(1)(1)推(2) an = am + (n - m)d（2）论a ( 3 )若 m + n = p + q ,则 ( 3 )若 ? + = + q ,贝lj aman = apag+ q, = ,，+n1npq中三个数4、氏c成等差数列，则有三个数a、b、c成等比数列，则有项， a + c2b = a +

13、 c o b =2b2 =ac公式前(/ + an)71(77-1)sn = iul +ds”=空s = g(#)1122l - qq项和公式其s2n7 = (2n - l)n 如：s? = 7%它等差数列的连续项之和仍成等差等比数列的连续项之和仍成等数列比数列1.已知前项和的解析式，求通项明2. 弄懂等差、等比数通项公式和前项和公式的证明方法。（见教材）第六章三角函数1 .理解正角、负角、零角的定义，并能表示终边相同的角。2 .弧度和角度的互换180。= 7t 弧度弧度、0.01745弧度1弧度3 .扇形弧长公式和面积公式a（记忆法：及类似）注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。重要例题：

14、3+x书p106例4.（1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）（2）图像记忆法7. a三角函数基本公式（可用于化简、证明等）sin2a + cos2tz = l （1.可用于已知sina求cosa ：或者反过来运用。2.注意1的运用）1 + tan2 a = sec2 a （可用于已知cosa （或sina ）求kma或者反过来运用）8 .诱导公式（1） 口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指，若左为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变。（2）分类记忆去掉偶数倍乃（即兼乃）将剩下的写成a （一象限）、兀a （二象限）、冗+ a （三象限）、-a （四象限）再

15、看象限定正负号（函数名称不变）；或写成工-a （一象限）、二+。（二象限），再看象限定 22正负号（要变函数名称）要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。9 .已知三角函数值求角。1）确定角。所在的象限（2）求出函数值的绝对值对应的锐角d（3）写出满足条件的021的角（4）加上周期（同终边的角的集合）注意正负号相同注意正负号相反10 . 和角、倍角公式sin(tz /7) = sinacos/?cosasin 0 cos(a/7) = cosacos/7 + sin asin 0tan a tan j3 = tan(a 尸)(1 干 tan a

16、tan p/ ,小 tan a tan b tan(a /3) =-1 + tana tanp特别注意当时的运用sin la = 2sinzcostz cos2a = cos2 6z-siii2 a = 2cos2 a- = l-2siii2 asin 38 = 3sin8-4sin 0cos39 = 4cos5 0 - 3cos注：半角公式可由倍角公式推得。另重点类型：a 1-cosa sintz . 11 -cosa tan = 2sin a1 + cosa v 1 + cosa重要例题:3 + x书p119-尸121例1例3.11.三角函数的图像及性质函数图像性质定义域值域同期奇偶性单调

17、性y = sin xj,05：二stxer-11t = 2九奇y = cosxv7lxer-14t = 2冗偶2攵乃一汗,2攵打个2k7r,2k7r + 7r jj jm：y = tan x;1 y 2-irt = 7t奇712b x 2- 15 / 311 .向量的概念1）定义：既有大小又有方向的量。（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为a,终点为b的向量表示为通。（3）向量的模（长度）：i蕊i或面（4）零向量：长度为0,方向任意。单位向量：长度为1的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。2 .向量的运算（1）图形法则（2）计算法则

18、加法：ab + bc = c减法：ab-ac = ca（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律3 .数乘向量：aa （1）模为：|/1底|（2）方向：为正及z相同；4为负及z相反。4 . ab的坐标：终点b的坐标减去起点a的坐标。ab = （xg xa,yb ）5 . 向量共线（平行）：三惟一实数4,使得2 = 4。（可证平行、三点共线问题等）6 .平面向量分解定理：如果是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上 的任一向量”，都存在惟一的一对实数，使得4 =|修+。2&2。向量。在基69下 的坐标为（囚,。2）。7 .中点坐标公式：例为a8的中点，则8 . 注意aa

19、3c中，（1）重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义（2）若。为bc边的中点，则坐标：两点坐标相加除以2（3）若。为aa8c的重心，则而+而+ m = 6 ;（重心坐标：三点坐标相加除以3）9 .向量的内积（数量积）（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围0,加。（2） 内积公式：a b ab cos 10 .向量内积的性质:（1） （夹角公式）（2） _l /?/? = 0（3 ） a a =1 a f 或 i a 1= yja-a（长度公式）11 .向量的直角坐标运算：（1） 43 =（勺-勺，）

20、5-%）（2 ）设 =（,2）3=（。1也），则 一ab = （。| 土a，的 土2）aa = （aei., aeiab = %仇+ a2b2（向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积）12 .向量平行、垂直的充要条件设 a = si,a2 ）,b = （a,4），则a/b（相对应坐标比值相等）a _lb =4 4 = 0= 4仇+ a2b2 = 0 （两个向量垂直则它们的内积为0）13 .长度公式 1）向量长度公式：设4 = （m2），则。1=如2）两点间距离公式:设点4看,%）,832，力）则i a8 1=4*2 - xj? +（乃一 yg14 .中点坐标公式：设线段a3中点为例，且aa，m）

21、,b（x2，y2），m（x,y）,则（中点坐标等于两端点坐标相加除以2）15 .定比分点公式：p为有向线段p1p2的分点,且巴区,必），鸟（x2，y2），p（x，y），点尸分有 向线段元成定比（注意方向）（4-1）,则有，。注：遇到这种类型的题，可用向量的办法来解更简单利用9=4项用坐标来算。16 .向量平移则记忆法：“新二旧+向量”（2） 图像平移：，= /）的图像平移向量 = （%,2）后得到的函数解析式为：y-2第八章平面解析几何1 .曲线c上的点及方程/*,），） = 0之间的关系：（1）曲线c上点的坐标都是方程尸（x,y） = o的解；2）以方程尸（x,y） = o的解（x,y）为坐

22、标的点都在曲线c上。则曲线。叫做方程f（x, y） = 0的曲线，方程尸（x,），） = 0叫做曲线。的方程。2 . 求曲线方程的方法及步骤（1）设动点的坐标为（x, y）（2）写出动点在曲线上的充要条件； 勺=-l/1及4相交。公力0一般式：/ : a/ + 8x + ci =0及乙：&工+8了 +。2 =0（相对应系数成比例）人及/，重合0（相对应系数成比例）4 _l，2ua4 +片约=0 （及向量一样，横坐标系数之积加纵坐标系数之积等于0）/1及/，相交o注：系数为0的情况可画图像来判定。（5）两直线的夹角公式定义：两直线相交有四个角，其中不大于巳的那个角。2范围:斜截式：a ： y =

23、 kax + & /2 : y = k2x + b2（可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解）一般式：/ : ax + 8x + g =0 及 4 : a2x + b2x + c2 = 0cosj =七01j a； + b：+ b：（6）点到直线的距离点尸（%,比）到直线4x+ by + c = 0的距离：两平行线ax + gv + g =。和ax + b.v + c?=。的距离：5 .圆的方程（1）标准方程：（x-a）2+（y-b）2 =,（尸0）其中圆心（,0），半径厂。（2） 一般方程：x2+y2+zh+ey + f=0 （ d2+e2-4f0）圆心（） 半径：注：二元二次方程

24、av2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0表示圆的充要条件是：q）a = c0 8 = 0d2+e2-4f0参数方程：* _尸+ （y -b）2 = r2的参数方程为（8 e 0,2初（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离4和半径7比较。vro相交； = ro相切；相离（6）圆o1及圆o?的位置关系：利用两圆心的距离4及两半径之和及两半径之差八-2比较，再画个图像来判定。（总共五种：相离、外切、内切、相交、内含）（7）圆的切线方程：过圆/+） =1上一点。0，右）的圆的切线方程：玉/ +凡），=,二过圆+（y-b）2 = i外一点p（xo，yo）的

25、圆的切线方程:肯定有两条,设切线的斜率为3写出切线方程（点斜式），再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出ko6 .圆锥曲线的定义：动点到定点（焦点）的距离和到定直线（准线）的距离之比为常 数e （离心率）的点的轨迹。当ovevl时，为椭圆；当el时，为双曲线；当” =1时 为抛物线。7 .椭圆几何定义动点及两定点（焦点）的距离之和等于常数21 pf, 1 +1 pf2 1= 2a标准方程（焦点在x轴上）（焦点在y轴上）图像j c2-，一小m”j-2a,b,c的关系a2=b2 +/注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴及对称中心x轴：长轴长2a； y轴：短轴长2/?； 0（0,0）顶点坐标(4,

26、0) (0,b)焦点坐标（c,0）焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上准线方程离心率曲线范围-ax a-b y b渐近线无中心在（x0,），o）的方程gz学li + 异重=1中心 o，(x,y)crb-8 .双曲线几何定义动点及两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2ii pf, 1-1 pf2 11= 2a标准方程（焦点在x轴上）（焦点在y轴上）图像-ll1/ /h2-、11-1/4_*44xe-2-jv ! 一 c尽a,b,c的关系c2 =a2 +b2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴及对称中心x轴：实轴长2a； y轴：虚轴长2； 0（0,0）顶点坐标(4,0)焦点坐标(c,0)焦距 2

27、c注：要特别注意焦点在哪个轴上准线方程离心率曲线范围x a , ye/?渐近线（焦点在x轴上）（焦点在了轴上）中心在（x0,），o）的方程(x-x0)2 (y-y0)2 _ a2b21中心叫,为）注：1.等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等= （2）离心率e = & （3）渐近线y = x2. (1)以y = mx为渐近线的双曲线方程可设为(y + mx)(y -mx) = 2 (2 0)a (2)及双曲线有相同渐近线的双曲线可设为：9.抛物线儿何定义到定点的距离及到定直线的距离相等的点的轨迹im/1=(为抛物线上一点m到准线的距离)隹 ，、占、位置4轴正半轴%轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴图像

28、x二h；.v.p 彳=r_2-2rx2-2-标准方程y2 = 2px (p 0)y2 = -2px (/? 0)x2 = 2py (/? 0).v2 = 一2v ( 0)隹 ，、占、坐标准 线 方 程顶占，、0(0,0)对称轴x轴y轴离心率e = 1注：（1） 的几何意义表示焦点到准线的距离。（2） a掌握焦点在哪个轴上的判断方法（3） 是抛物线2=2/次（0）的焦点弦，a（”）, 8（乙,乃），则弦长i ab 1=+x2 + p y 乃=-p（4） 圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：i ab= j + 1）2 （5） 圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！做题时

29、应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！（6） 掌握椭圆和双曲线中过焦点的弦及另一焦点围成的三角形的周长求法！第九章立体几何1 .空间的基本要素：点、线、面注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系2 .平面的基本性质（1） 三个公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点 的一条直线。经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）三个推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。经过两条相交直线，有且只有一个平面。经过两条平行直线，有且只有一个

30、平面。3 .两条直线的位置关系：（1）相交：有且只有一个公共点，记作（2）平行：。过直线外一点有且只有一条直线及该直线平行。.平行于同一条直线的两条直线平行3）异面：定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条及另一条相交所成的不大于巳的角。 2注意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。异面直线间的距离：及两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的部分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离。4 .直线和平面的位置关系：(1)直线在平面内：/qa(2)直线及平面相交：/na = a3)直线及平面平行定义：没有公共点，记作：

31、/。判定：如果平面外一条直线及平面内一条直线平行，则该直线及平面平行。性质：如果一条直线及一平面平行，且过直线的另一平面及该平面相交，则该直线 及交线平行。5 .两个平面的位置关系 1)相交：a(y(3 = l(2)平行：定义：没有公共点，记作：“。夕”判定：如果一个平面内有两条相交直线及另一个平面都平行，则两平面平行性质：。两个平行平面及第三个平面都相交，则交线互相平行.平行于同一平面的两个平面平行c.夹在两平行平面间的平行线段相等/两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例重要定理:cose = cosg -cos%7 .直线及平面垂直（1）判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线及平面垂直（2）性质：如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线；垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行。8