数值分析实验报告

1、湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（一）课程名称数值分析班级0212404实验日期2014/12/15姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验一算法的稳定性分析与误差分析（验证性实验）实验目的及要求1、 理解算法的数值稳定性概念2、 会进行算法的舍入误差和截断误差分析实验环境matlab软件实验内容设计两个算法计算下面的定积分并估计误差。要求两个算法理论正确，并且一个算法是不稳定的，另外一个算法是数值稳定的。算法描述及实验步骤算法描述：由于初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快，就数值不稳定。实验步骤：由分部积分可得计算的递推公式 （1）若计算出，代入（1）式，可逐次求

2、出 的值。要算出就要先算出，若用泰勒多项式展开部分和 并取k=19,用4位小数计算，则得，截断误差.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为时，用（1）式递推的计算公式为，n=1,2，。计算结果见表1的列。用近似产生的误差就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.从表1中看到出现负值，这与一切相矛盾。实际上，由积分估值得 （2）因此，当n较大时，用近似显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值有误差，由此引起以后各步计算的误差满足关系由此容易推得，这说明有误差，则就是的n!倍误差。例如，

3、n=19，若，则。这就说明完全不能近似了。它表明计算公式（a）是数值不稳定的。我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=19,得，我们粗略取，然后将公式（1）倒过来算，即由算出，公式为计算结果见表1的列。我们发现与的误差不超过。记，则，比缩小了n!倍，因此，尽管较大，但由于误差逐步缩小，故可用近似。反之，当用方案（a）计算时，尽管初值相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠。此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。 实验结果和分析总结实验一：实验二：方案一尽管相当准确，由于误差传播使逐步扩大的，因而计算结果不可靠。方案二比缩小了倍，尽管较大，但误差是逐步缩小的，故可靠。附录程序算法

4、一i(1)=0.6321;for i=1:9 i(i+1)=1-i*i(i);endi算法二i(9)=0.0684;for i=9:-1:2 i(i-1)=1/i*(1-i(i);endi湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（二）课程名称数值分析班级0212404实验日期2014/12/15姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验二 多项式插值（验证性实验）实验目的及要求1、 掌握拉格郎日插值多项式的用法，适用范围及精确度。2、 掌握牛顿插值多项式的用法，适用范围及精确度。3、掌握分段线性插值与三次样条插值的基本原理，会利用matlab库函数进行分段线性插值与三次样条插值。实验环

5、境matlab软件实验内容已知函数在下列个点的值为1进行lagrange插值，newton插值，画出插值多项式的图形。0.20.40.60.81.00.980.920.810.640.382. 进行分段线性插值与三次样条插值，画出插值多项式的图形。3. 采用四种插值方法计算处的近似值。算法描述及实验步骤算法分析：lagrange插值计算：lagrange插值函数newton插值公式：分段插值：简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作它满足 ，且在每个小区间上是线性函数 。可以表示为 实验步骤：由于中含有3+n个待定系数，故应需要3+n个插值条件,已

6、知插值节点和相应的函数值,这里提供了1+1个条件，还需要2个边界条件。实验结果和分析总结分析总结：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，相对于理论分析比较重要。当插值节点增加或减少时，计算要全部重新开始，计算量大；其插值曲线光滑，误差估有表达式。但当节点再次增加时，它就会表现出runge现象。牛顿插值多项式，具有一定的继承性，计算方便。分段低次插值分段hermit插值三次样条插值都避免了runge现象的产生。但分段低次插值函数的导数是间断的；分段hermit插值比分段低次插值效果较好。但它要给出节点上的导数值，要的信息太多，并且也不太光滑，即，光滑度不高。所以三样条插值就避免了以上的缺点。附录程序

7、1.1、lagrange插值function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1;y0=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=lagrange(x0,y0,x)plot(x0,y0,r,x,y)1.2newton插值func

8、tion f = newton(x,y,x0)syms t; if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = 0.0;else return;end f = y(1);y1 = 0;l = 1; for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,t,x0); else

9、f = collect(f); f = vpa(f, 6); end endend在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1; y0=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=newton(x0,y0,x)plot(x0,y0,r,x,y)1.3分段线性插值 在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1;y0=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=interp1(x0,y0,x)plot(x0,y0,r,x,y)title(分段线性插值);1.4三次样条插值在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1;y0=0.98 0.92 0

10、.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=spline(x0,y0,x)plot(x0,y0,r,x,y)title(三次样条插值); 湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（五）课程名称数值分析班级0212404实验日期2012/12/23姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验四 线性方程组的直接法（验证性实验）实验目的及要求1、掌握高斯消去法求解线性方程组2、掌握lu分解法求解线性方程组实验环境matlab软件实验内容编制程序，用掌握列主元高斯消去法和lu分解法求解线性方程组，其中 ， 算法描述及实验步骤（1）列主元消去法： 先编写m文件liezhu.m，然后

11、在命令窗口中输入a=10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 10 0 2; b=8 5.900001 5 1;ra,rb,n,x=liezhu(a,b) 运行程序，即可得结果（2）lu分解法： 先将a做lu分解，用l,u=lu(a)得出l和u。由于a=l*u,令ux=y,则有y=lb,x=uy,即可求解。实验结果和分析总结（1） 列住元高斯消去法： x = 0.4436 -0.2923 0.80151.5178（2）lu分解法：l = 1.0000 0 0 0 -0.3000 -0.0000 1.0000 0 0.5000 0.2193 0.8333 1.0

12、000 0.2000 1.0000 0 0u = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 11.4000 0 1.8000 0 0 6.0000 2.3000 0 0 0 -3.8114x = 0.4436 -0.2923 0.8015 1.5178附录程序 （1）列主元高斯消去法:function ra,rb,n,x=liezhu(a,b)b=a b; n=length(b); ra=rank(a); rb=rank(b);zhica=rb-ra;if zhica0,disp(请注意：因为ra=rb，所以此方程组无解.)returnendif ra=rb if ra=ndisp

13、(请注意：因为ra=rb=n，所以此方程组有唯一解.) x=zeros(n,1); c=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1y,j=max(abs(b(p:n,p); c=b(p,:);b(p,:)= b(j+p-1,:); b(j+p-1,:)=c;for k=p+1:n m= b(k,p)/ b(p,p); b(k,p:n+1)= b(k,p:n+1)-m* b(p,p:n+1);endend湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（六）课程名称数值分析班级0212404实验日期2014/12/23姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验四 线性方程组的迭代法（验

14、证性实验）实验目的及要求1、掌握雅克比迭代算法程序设计2、掌握高斯赛德尔迭代算法程序设计实验环境matlab软件实验内容编制程序，用雅克比迭代算法和高斯赛德尔迭代算法求解线性方程组，其中 ， 算法描述及实验步骤首先把所给内容化成：x=bx+f的形式，然后给出初始向量：，并按迭代公式 进行计算，如果按上述迭代公式所得到的向量序列收敛于某一向量，则就是方程组的解，并称此迭代法收敛；否则称为不收敛或发散。称b为迭代矩阵。jacobi迭代设有线性方程组即式中，非奇异，且由式（*）得到 其相应的迭代公式为 （*）称迭代公式（*）为jacobi迭代。1、jacobi迭代法的程序算法：（1）取初始点，置k等

15、于0，精度要求和最大迭代次数n（2）用式（*）计算（3）若,则停止计算（作为线性方程组的解）。（4）若k=n，则停止计算（输出某些信息），否则置k=k+1,转（2）2、gauss-seidel迭代法其中。其迭代法优点为只需一组存储单元。实验结果和分析总结（1）在matlab命令窗口输入如下命令 a = 5 2 1;-1 4 2;2 -3 10; b = -12 20 3; ep = 1e-5; x0 = 0 0 0; it_max = 90; x,k,index = jacobi(a,b,x0,ep,it_max)x = -3.9997 2.9998 1.9998k = 14index = 1

16、由index = 1可知，方程迭代14次后得到满足要求的近似解。（1）在matlab命令窗口输入如下命令 a = 5 2 1;-1 4 2;2 -3 10; b = -12 20 3; ep = 1e-5; x0 = 0 0 0; it_max = 90; x,k,index = jacobi(a,b,x0,ep,it_max)x = -4 3.0001 2k = 7index = 1由index = 1可知，方程迭代7次后得到满足要求的近似解。附录程序1、jacobi迭代法：function x,k,index = jacobi(a,b,x0,ep,it_max)if nargin 4 it_max = 100;endif nargin 3 ep = 1e-5;endn = length(a);k=0;x = zeros(n,1);y = zeros(n,1);index = 1;while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j=i y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j); end end if abs(a(i,i