新编高考数学(理科)总复习教师用书练习：5.3-空间向量与立体几何-Word版含解析

1、5.3空间向量与立体几何命题角度1空间位置关系证明与线面角求解高考真题体验对方向1 .(20xx 全国 i 18)如图，四边形abcd为正方形，e,f分别为ad,bc的中点，以df为折痕把4dfc折起，使点c 到达点p的位置，且pflbf.证明：平面pefl平面abfd;(2)求dp与平面abfd所成角的正弦值(1)怔明|由已知可得,bfpf,bfef, 所以bf，平面pef.又bf?平面abfd , 所以平面pefl平面abfd.(2)回作phlef,垂足为h.由(1)得,phl平面abfd.以h为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 h-xyz.由(1)可

2、得，de，pe.又 dp= 2,de= 1,所以 pe=.又 pf= 1,ef= 2,故 pe pf.可得 ph= ,eh=.则h(0,0,0),p,d为平面abfd的法向量.设dp与平面abfd所成角为 &则sin打.所以dp与平面abfd所成角的正弦值为.2 .(20xx 全国 ii 20)如图，在三棱锥 p-abc中,ab=bc= 2,pa=pb=pc=ac= 4,o为ac的中点. (1)证明:pol平面abc;(2)若点m在bc上，且二面角m-pa-c为30 ,求pc与平面pam所成角的正弦值.|证明|因为ap=cp=ac= 4,0为ac的中点，所以oplac,且op=2.连接0b,因

3、为ab=bc=ac，所以 3bc为等腰直角三角形，且ob，ac,ob=ac= 2.由 op2+ob2=pb2 知 poxob.由 op，ob,op，ac 知 pol 平面 abc.(2)照如图，以。为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系o-xyz.由已知得 o(0,0,0),b(2,0,0),a(0,-2,0),c(020),p(0,0,2), = (022).取平面 pac 的法向量二 (2,0,0),设 m(a,2-a,0)(0a w2),则= (a,4-a,0).设平面pam的法向量为n=(x,y,z).由 n=0, n=0 得可取 n= (a-4),a,-a),所以 cos

4、二.由已知可得|cos|二.所以，解得a=-4(舍去),a=.所以n=.又二(0,2,-2)，所以 cos二.所以pc与平面pam所成角的正弦值为.3.(20xx 全国田 19)如图，四棱锥 p-abcd 中，pa，底面 abcd,ad / bc,ab=ad二ac= 3,pa=bc= 4,m 为线段 ad 上一点,am= 2md,n 为 pc 的中点.证明mn /平面fab;(2)求直线an与平面pmn所成角的正弦值.怔明|由已知得 am二ad=2.取 bp的中点 t,连接 at,tn,由n为 pc中点知 tn /bc,tn=bc= 2.又ad/ bc,故tn am,四边形 amnt为平行四边

5、形，于是 mn/ at.因为 at?平面pab,mn?平面 pab,所以mn /平面pab.(2)回取bc的中点e,连接ae.由ab=ac得aebc,从而aead,且ae=.以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz.由题意知，p(0,0,4),m(0,2,0),c(20),n= (0,2,-4),.设n = (x,y,z)为平面pmn的法向量，则可取 n= (0,2,1).于是 |cos|=.4.(20xx全国i 18)如图,四边形 abcd为菱形，/abc=120 ,e,f是平面 abcd同一侧的两 点,be,平面 abcd,df，平面 abcd,be=2d

6、f ,aeec.证明：平面aecl平面 afc;(2)求直写ae与直线cf所成角的余弦值.|证明可接bd,设bdaac=g，连接eg,fg,ef.在菱形abcd中，不妨设gb=1.由/abc=120，可得 ag=gc=.由 be,平面 abcd,ab=bc ,可知 ae=ec.又 ae ec,所以 eg=,且 egxac.在rtaebg中，可彳导be=,故df=.在rtafdg中，可得fg=.在直角梯形 bdfe 中，由 bd=2,be=,df=，可得 ef=.从而 eg2+fg 2=ef 2,所以 eg fg. 又acafg=g，可彳导eg,平面afc.因为eg?平面aec,所以平面 aec

7、 平面afc.(2)嗣如图，以g为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴正方向，|为单位长建立空间直角坐标系 g-xyz.由可得 a(0,-,0),e(1,0,),f,c(0,0),所以=(1,),.故 cos=-.所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为.新题演练提能刷高分1.(20xx山东潍坊二模)如图，在平行六面体 abcd-aibicidi中,aa尸aid,ab=bc ,/abc=120 (1)证明:adaib;(2)若平面addiai,平面abcd,且aid=ab ,求直线bai与平面aibicd所成角的正弦值.|证明忸ad中点o,连接ob,oai,bd,-aai=aid, .adxoai

8、.又 / abc= i20 ,ad=ab，： zabd 是等边三角形， .adxob, .ad,平面 aiob. aib?平面 aiob, .-.adaib.(2)园:平面 addiai,平面 abcd, 平面 add iai n平面 abcd=ad , 又 aioad,. .aio,平面 abcd,oa,oai,ob两两垂直，以。为坐标原点 分别以oa,ob,oai所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系o-xyz,设 ab=ad=a id=2,则 a(i,0,0),ai(0,0,),b(0,0),d(-i,0,0).则= (iq), = (-i,0),二。-),设平面 aibicd 的

9、法向量 n = (x,y,z),则令 x=，则 y=i,z=-i，可取 n = (,i,-i), 设直线bai与平面aibicd所成角为0, 贝u sin 9=| cos|=.2.(20xx辽宁抚顺一模)如图，在四锥p-abcd中,pdl平面abcd,底面abcd为梯形,ab / cd, / bad= 60 ,pd=ad=ab= 2,cd= 4,e 为 pc 的中点.证明:be /平面pad;(2)求直线pb与平面bde所成角的正弦值.|证明般f为pd的中点，连接ef,fa.因为ef为4pdc的中位线，所以ef / cd,且ef=cd= 2.又ab/ cd,ab=2所以ab ef,故四边形ab

10、ef为平行四边形，所以be/af.又af?平面pad,be?平面pad,所以be /平面pad.(2)照设g为ab的中点，因为ad=ab，/ bad= 60 ,所以那bd为等边三角形，故dg, ab; 因为 ab / cd,所以 dgldc.又pdl平面abcd,所以pd,dg,cd两两垂直.以d为坐标原点，为x轴、为y轴、为z轴建立空间直角坐标系d-xyz,则p(0,0,2), b(,1,0), e(0,2,1), 二 (0,2,1),二 (,1,0),设n = (x,y,z)为平面bde的一个法向量，则令 y=1,则 n=.又=(,1,-2),所以 |cos|=,即直线pb与平面bde所成

11、角的正弦值为.3.(20xx福建福州 3月质检)在直三棱柱 abc-a1b1c1中，祥bc为正三角形，点d在bc上, 且cd= 3bd,点e,f分别为棱 ab,bbi的中点.(1)证明：aic/平面 def;(2)若aic, ef,求直线aici与平面def所成的角的正弦值.(1)叵如图，连接abi,aib,交于点h,aib交ef于点k,连接dk,因为abbiai为矩形，所以h为线段aib的中点，因为点e,f分别为棱ab,bbi的中点，所以点k为线段bh的中点，所以aik=3bk,又因为cd= 3bd,所以aic/ dk,又aic?平面def,dk?平面def , 所以aic /平面def.(

12、2)回由(1)知,eh/ aai,因为 aa1,平面 abc, 所以eh，平面abc,因为那bc为正三角形，且点e为棱ab的中点，所以cexab,故以点e为坐标原点，分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 e-xyz,设 ab=4,aai=t(t0),则 ai(2,t,0),c(0,0,2),e(0q0),f! -2,。)，d(-,。)，所以=(-2,-t,2),= -2,0i,因为aicef,所以二0,所以(-2) x(-2)-t x 2x0=0,解得t=2.所以二(-2,0),二 (-,0,),设平面def的法向量为n=(x,y,z),则所以取 x=1，则 n

13、=(1,),又因为=(-2,0,2),设直线aici与平面def所成的角为0,所以sin目cos|二，所以直线aci与平面def所成的角的正弦值为.4.(20xx东北三省三校二模)如图，四棱柱abcd-aibicidi的底面为菱形，/ bad= i20 ,ab=2,e,f 为 cd,aai 的中点.xj(i)求证:df/平面 biae;(2)若aai，底面abcd ,且直线adi与平面biae所成线面角的正弦值为，求aai的长.血设g为abi的中点，连接eg,gf,因为 fg aibi,又 de aibi,所以fg de,所以四边形degf是平行四边形，所以df / eg,又df?平面biae

14、,eg?平面biae,所以df /平面biae.(2)网因为abcd是菱形，且/ abc=60 ,所以aabc是等边三角形.取bc中点m,则amlad,因为aa平面abcd ,所以aai，am,aai，ad,建立如图的空 间直角坐标系 a-xyz,令aai=t (t 0),则 a(0,0,0),e ,0 ,bi(,-1,t),di(0,2,t),= k,0/,= (,-1,t),二 (0,2,t),设平面 biae 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n (x+y) = 0 且 n x-y+tz= 0,取 n = (-t,t,4),设直线 adi 与平面 biae 所成角为 q则 sin

15、0=, 解得t=2,故线段aai的长为2.5.(20xx湖南长沙一模，18)如图，在多面体 abcdef中,四边形abcd为梯形，那de,abcf均为 等边三角形，ef /ab,ef=ad=ab.过bd作截面与线段fc交于点n,使得af/平面bdn,试确定点n的位置，并予以证明 (2)在(1)的条件下，求直线bn与平面abf所成角的正弦值.h当n为线段fc的中点时，使得af /平面bdn.证法如下：连接 ac,bd,设 acabd=o ,丁四边形abcd为矩形，.o为ac的中点，又n为fc的中点,.on为cf的中位线，：af/on.af?平面 bdn,on?平面 bdn,. .af /平面bd

16、n,故n为fc的中点时，使得af /平面bdn.(2)过点o作pq / ab分别与ad,bc交于点p,q,因为。为ac的中点，所以p,q分别为 ad,bc的中点，zade与abcf均为等边三角形，且ad=bc ,：aadeabcf,连接 ep,fq,贝u得 ep=fq ,. ef/ab,ab pq,ef=ab,ef / pq,ef=pq ,：四边形epqf为等腰梯形.取ef的中点m,连接mo,则moxpq,又,. adep,ad pq,epapq=p ,：ad，平面 epqf,过点o作ogl ab于点g,则og / ad, .-.ogom,ogoq.分别以的方向为 x,y,z轴的正方向，建立空

17、间直角坐标系o-xyz,不妨设ab=4,则由条件可得 o(0,0,0),a(1,-2,0),b(120),f(0,1,),d(-1,-2,0)n设n = (x,y,z)是平面abf的法向量，则所以可取n=(,0,1), 由，可得 |cos|=,;直线bn与平面abf所成角的正弦值为.命题角度2空间位置关系证明与二面角求解高考真题体验对方向1.(20xx全国m 19)如图，边长为2的正方形abcd所在的平面与半圆弧所在平面垂直，m是上异于c,d的点.证明：平面amd，平面bmc;(2)当士锥m-abc体积最大时，求面mab与面mcd所成二面角的正弦值.|证明|由题设知，平面cmdl平面abcd,

18、交线为cd.因为bc，cd,bc?平面abcd,所以bc，平面cmd,故bcxdm.因为m为上异于 c,d的点，且dc为直径，所以dm cm.又bcacm=c，所以dm，平面bmc.而dm?平面amd,故平面 amd，平面bmc.(2)嗣以。为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz.当三棱锥 m-abc 体积最大时，m 为的中点.由题设得d(0,0,0),a(2,0,0),b(2,2,0),c(0,2,0),m(0,1,1), = (-2,1,1),= (0,2,0), 二 (2,0,0).设n = (x1,y,z)是平面mab的法向量，则可取 n= (1,0,2

19、),是平面mcd的法向量,因此cos= ,sin=.所共面mab与面mcd所成二面角的正弦值是2.(20xx 全国 i 18)如图，在四棱锥 p-abcd 中,ab / cd,且/ bap= / cdp= 90证明：平面pabl平面pad;(2)若 pa=pd=ab=dc，/apd=90，求二面角 a-pb-c 的余弦值.(1)|证明 |由已知 z bap=z cdp= 90 彳导 ab，ap,cd，pd.由于ab / cd,故ab pd,从而ab,平面pad.又ab?平面pab,所以平面 pabl平面fad.(2)向标平面pad内作pf lad,垂足为f.由可知,abl平面pad,故ablp

20、f,可得pfl平面 abcd.以f为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系f-xyz.由(1)及已知可得a,p,b,c.所以=(,0,0),二 (0,1,0).设n = (x,y,z)是平面pcb的法向量，则可取 n=(0,-1,-).设m = (x,y,z)是平面pab的法向量，则可取 m = (1,0,1).贝u cos=二一.所以二面角a-pb-c的余弦值为-.3 .(20xx全国ii 19)如图，四棱 锥p-abcd 中，侧面 pad为等边三角形且垂 直于底 面abcd,ab=bc=ad，/ bad= z abc= 90 正是 pd 的中点.if证明：直

21、线ce /平面pab;(2)点m在pc上,且直线bm与底面abcd所成角为45 ,求二面角m-ab-d的余弦值.|证明帜pa的中点f,连接ef,bf.因为e是pd的中点，所以ef / ad,ef=ad.由 / bad= / abc= 90 得 bc / ad,又bc=ad所以ef bc,四边形bcef是平行四边形，ce/ bf,又bf?平面pab,ce?平面pab,故ce/平面pab.(2)网由已知得balad,以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空 间丽坐标系 a-xyz,则 a(0,0,0), b(1,0,0), c(1,1,0),p(0,1,),= (1,0,-

22、),= (1,0,0).设 m(x,y,z)(0x 1),则= (x-1,y,z),= (x,y-1,z-).因为bm与底面abcd所成的角为45 ,而n = (0,0,1)是底面abcd的法向量， 所以 |cos|= sin 45 ,即(x-1)2+y2-z2=0.又m在pc上,设=入则x= 4y= 1,z=入由解得(舍去)，所以m,从而.设m = (x0,y0,z0)是平面abm的法向量，则所以可取 m=(0,-,2).于是 cos=.因此二面角m-ab-d的余弦值为.4 .(20xx全国m 19)如图，四面体 abcd中,aabc是正三角形，那cd是直角三角形，/abd= / cbd,a

23、b=bd.证明：平面acdl平面abc;(2)过ac的平面交bd于点 巳若平面aec把四面体abcd分成体积相等的两部分，求二面角 d-ae-c的余弦值.|证明|由题设可得，那bd0cbd,从而ad=dc.又9cd是直角三角形，所以/ adc= 90 . 取 ac 的中点 o,连接 do,bo,则 doac,do=ao.又由于aabc是正三角形，故box ac.所以/ dob为二面角d-ac-b的平面角.在 rtaaob 中,bo2+ao2=ab2,又 ab=bd 所以 bo2+do2=bo2+ao2=ab2=bd2,故 / dob= 90 .所以平面 acdl 平面 abc.(2)附由题设及

24、 知,oa,ob,od两两垂直，以o为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.则 a(1,0,0),b(0,0),c(-1,0,0),d(0,0,1).由题设知，四面体abce的体积为四面体 abcd的体积的，从而e到平面abc的距离为d 到平面abc的距离的，即 e 为 db 的中点，得 e.故= (-1,0,1),= (-2,0,0),.设n = (x,y,z)是平面dae的法向量，则可取n=.设m是平面aec的法向量，则同理可取m=(0,-1,).贝u cos=.所以二面角d-ae-c的余弦值为.5.(20xx全国i 18)如图，在以a,b,c

25、,d,e,f为顶点的五面体中，面abef为正方形，af=2fd,/afd= 90，且二面角 d-af-e 与二面角 c-be-f 都是 60 .证明：平面abefl平面efdc;(2)求二1角e-bc-a的余弦值.(1)|证明|由已知可得 afdf,affe, 所以af，平面efdc.又af?平面abef ,故平面 abef，平面efdc.(2)解过d作dglef,垂足为g,由(1)知dg，平面abef.以g为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系g-xyz.由(1)知/dfe为二面角d-af-e的平面角,故/dfe=60，则 |df|= 2,|dg|二,可得

26、a(1,4,0), b(-3,4,0), e(-3,0,0),d(0,0,).由已知，ab / ef,所以ab /平面efdc.又平面 abcd n平面efdc=cd ,故 ab/ cd,cd / ef.由be/ af,可彳导be,平面efdc,所以/cef为二面角c-be-f的平面角，/cef=60 .从而可得c(-2,0,).所以二(1,0,),二 (0,4,0), = (-3,-4,),= (-4,0,0),设n = (x,y,z)是平面bce的法向量，则所以可取n=(3,0,-).设m是平面abcd的法向量，则同理可取m=(0,4),贝u cos二二一.故二面角e-bc-a的余弦值为-

27、.新题演练提能刷高分1.g 4(20xx重庆二诊)如图，在三棱柱abc-aibici中,ac=bc,cicl平面abc,侧面abbiai是正方形， 点e为棱ab的中点，点m ,n分别在棱 aibi ,aai上，且aim二a i bi an二aa i.(i)证明：平面cmn,平面cen;(2)若acbc,求二面角 m-cn-ai的余弦值.(i)|证明忸 ab=8,则 aim= 3,an=2,ain=6,tanz nea=,tan/ mnai二,/ nea= / mnai,又 / nea=- / ena，所以 / mna i=-/ ena，所以 mn，en.因为bc=ac ,e为ab中点，所以ce

28、l ab.因为abc-aibici为直三棱柱，所以cel平面aaibib,所以 mnce,因为 ceane二n,所以mn,平面cen,因为mn?平面cmn,所以平面cmnl平面cen.(2)解由aclbc,以c为原点，分别为xy,z轴建立空间直角坐标系，m ,8, ,n(0,4,2),2.设平面cmn的法向量为ni= (x,y,z),解得ni = (9,-4). 平面cnai的法向量n2= (1,0,0),设所求二面角平面角为qcos打.(20xx河北石家庄一模)四棱锥 s-abcd的底面 abcd 为直角梯形,ab / cd,ab， bc,ab= 2bc= 2cd= 2,asad 为正三角形

29、.点m为棱ab上一点 若bc /平面sdm,=入求实数 入的值；(2)若bclsd,求二面角 a-sb-c的余弦值.例(1)因为bc/平面sdm,bc?平面abcd, 平面sdm叶面 abcd=dm ,所以bc / dm.因为ab / dc,所以四边形bcdm为平行四边形，又ab=2cd,所以m为ab的中点.因为=)：/=.(2)因为 bcsd,bccd,sdncd=d ,所以bcl平面scd,又因为bc?平面abcd,所以平面 scdl平面abcd,平面scda平面abcd=cd 在平面scd内过点s作sel直线cd于点巳 贝u sel平面 abcd,在 rtsea和 rtased 中，因为

30、 sa=sd,所以 ae=de ,又由题知/eda=45，所以aeed,所以 ae=ed=se= 1,以下建系求解：y轴,es方向为z轴建立如图所示空间坐标以点e为坐标原点，ea方向为x轴,ec方向为系，则 e(0,0,0),s(0,0,1),a(1,0,0),b(1,2,0),c(0,2,0),=(1,0,-1),= (0,2,0), = (0,2,-1), = (1,0,0),设平面sab的法向量n 1 = (x,y,z),则所以令x=1得n1=(1,0,1)为平面sab的一个法向量，同理得n2= (0,1,2)为平面sbc的一个法向量,cos=,因为二面角a-sb-c为钝角, 所以二面角

31、a-sb-c余弦值为-.3.(20xx海南期末)如图，是一个半圆柱与多面体 abbiaic构成的几何体,平面abc与半圆柱的 下底面共面，且ac，bc,p为弧上(不与ai,bi重合)的动点.证明：pai,平面pbbi;(2)若四边形abbiai为正方形，且ac=bc,/pbia产，求二面角p-aibi-c的余弦值.陋(i)在半圆柱中，bb平面paibi,所以bbpai.因为aibi是上底面对应圆的直径，所以pailpbi.因为 pbiabbi=bi,pbi?平面 pbbi,bbi?平面 pbbi,所以 pai，平面 pbbi.(2)以点c为坐标原点，以ca,cb为x,y轴，过点c作与平面abc

32、垂直的直线为z轴，建立 空间直角坐标系c-xyz.如图所示，设 cb= i,则 b(i,0,0),a(0,i,0),ai(0,i,),bi(i,0,),p(i,i,).所以二(0,i,),= (i,0,).平面paibi的一个法向量ni=(0,0,i).设平面caibi的一个法向量 n2 = (x,y,z),则令z=i,则所以可取n2=(-,-,i),所以 cos=.由图可知二面角 p-aibi-c为钝角，所以所求二面角的余弦值为-.4 .(20xx江西南昌一模)如图，在四麴隹p-abcd中,pal底面abcd,abcd为直角梯形，ad/ bc,ad ab,ab=bc=ap=ad= 3,ac

33、abd=o ,过。点作平面 a平行于平面 pab,平面 a与棱 bc,ad,pd,pc 分别相交于点 e,f,g,h.(i)求gh的长度；(2)求二面角b-fh-e的余弦值.解因为 all平面pab,平面 加平面 abcd=ef ,oc ef,平面pab a平面 abcd=ab，所以ef /ab,同理 eh / bp,fg / ap,因为 bc /ad,ad=6,bc=3,所以 abocsdoa,且，所以,ce=cb= 1,be=af= 2,同理，连接ho,则有ho / pa,所以 ho，eo,ho= 1,所以 eh=pb=,同理,fg=pa=2,过点h作hn / ef交fg于n, 则 gh=

34、.(2)建立如图所示空间直角坐标系，则b(3,0,0),f(0,2,0),e(3,2,0),h(2,2,1),二 (-1,2,1),二 (2,0,1),设平面 bfh 的法向量为 n = (x,y,z),令 z=-2，得 n二，因为平面efgh /平面pab,所以平面efgh的法向量 m = (0,1,0).cos二，故二面角b-fh-e的余弦值为.5 .(20xx 山东淄博二模,18)如图，在三棱柱 abc-a1b1c1 中,ca二cb二cc 1=2,/acc1 = / cc1b1, 直线ac与直线bb1所成的角为60。.(1)求证:ab1cc1；(2)若ab1二,m是ab1上的点，当平面m

35、cc1与平面ab1c所成二面角的余弦值为时，求的值.|证明肛三柱 abc-aibici中,各侧面均为平行四边形，所以bbi/cci,则/ acci即为ac 与bbi所成的角，所以/ acci=/ccibi = 60 .连接aci和bi c,因为 ca=cb=cc i = 2,所以9cic和bicci均为等边三角形.取cci的中点。，连ao和bio,则 aocci,biocci.又 ao nbio=o,所以cci,平面aobi.abi?平面 aobi,所以 abixcci.(2)网由(i)知 ao=bio=,因为 abi=,则 ao2+bio2=a,所以 aobio,又 aoxcci,所以aol

36、平面bccibi.以obi所在直线为x轴,oci所在直线为y轴,oa所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则 a(0,0,),c(0,-i,0),ci(0,i,0),bi(,0,0),= (0,-i,-),= (,0,-),= (0,2,0),=t,m(x,y,z),则(x,y,z-)=t (-x,-y,-z),所以 x=,y=0,z=,m, 所以.设平面acbi的法向量为ni = (xi,yi,zi),平面mcci的法向量为n2=(x2,y2,z2),所以解得 ni =(i,-,i).解得 n2=(i,0,-t).所以cos 9=.解得1=或t=2,即=2.6 .(20xx湖北 荆、荆、襄

37、、宜”四地七校联考)如图,在几彳s体abcdef中，平面ade，平面abcd, 四边形 abcd 为菱形，且/ dab= 60 ,ea=ed=ab= 2ef ,ef / ab,m 为 bc 中点.(i)求证:fm /平面 bde;(2)，求二:角d-bf-c的平面角的正弦值.|证明帧cd中点n,连接mn,fn,因为n,m分别为cd,bc中点，所以mn / bd.又bd?平面bde,且mn?平面bde,所以mn /平面bde,因为ef/ab,ab= 2ef,所以ef / cd,ef=dn.所以四边形 efnd为平行四边形.所以fn / ed.又ed?平面bde 且fn?平面bde,所以 fn /

38、 平面 bde ,又 fn amn=n ,所以平面 mfn /平面bde.又fm ?平面 mfn ,所以fm /平面bde.(2)留取ad中点。，连接eo,bo.因为ea=ed,所以eoxad.因为平面 adel平面 abcd, 所以 eol平面 abcd,eobo. 因为 ad=ab ,/dab= 60 , 所以那db为等边三角形.因为。为ad中点，所以adxbo.因为eo,bo,ao两两垂直，设ab=4,以o为原点，oa,ob,oe为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系o-xyz由题意得 a(2,0,0),b(020),c(-420),d(-2,0,0),e(0q2),f(-1,2).二(

39、2,2,0),二(1,2), 二 (3,-,2),二 (4,0,0).设平面bdf的法向量为n=(x,y,z),则令 x=1则 y=-,z=0,所以 n=ll,-,0 .设平面bcf的法向量为 m = (x,y,z),则令 z=1,则 y=2,x=0，所以 m= (0,2,1).:cos=-,：二面角d-bf-c平面角的正弦值为.7 .(20xx辽宁大连一模)在如图所示的几何体中，四边形abcd是正方形pal平面abcd,e,f 分别是线段 ad,pb的中点，pa=ab= 1.(1)求证:ef /平面dcp;(2)求平面efc与平面pdc所成锐二面角的余弦值丽(1)(方法一)取pc中点m,连接

40、dm,mf. m,f 分别是 pc,pb 中点,:mf / cb,mf=cb ,e 为 da 中点,abcd 为正方形，：de / cb,de=cb ,.mf/ de,mf=de ,：四边形defm为平行四边形,. ef / 平面 pdc. ef/dm,ef?平面 pdc,dm?平面 pdc,(方法二)取pa中点n,连接ne,nfe是ad中点，n是pa中点，：ne / dp, 又二下是pb中点，n是fa中点，：ne/ab,. ab/ cd,： nf / cd,又. nennf=n ,ne?平面 nef,nf?平面 nef,dp?平面 pcd,cd?平面 pcd, ;平面nef /平面pcd.又

41、ef?平面 nef,：ef /平面 pcd.(方法三)取bc中点g,连接eg,fg,在正方形 abcd中,e是ad中点,g是bc中点，/.ge/ cd,又f是 pb中点,g 是bc中点，：gf/pc,又pc acd=c ,ge?平面 gef ,gf?平面 gef,pc?平面 pcd,cd?平面 pcd,;平面gef /平面pcd.ef?平面 gef,:ef / 平面 pcd.(2) .pa，平面 abc,且四边形 abcd是正方形，：ad,ab,ap两两垂直，以a为原 点,ap,ab,ad所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 a-xyz,则 p(1,0,0),d(0,0,1),c(0,1

42、,1),e(0,0,),f(,0).设平面efc的法向量为ni =(xi,yi,zi),= (j-,1),则即取 ni = (3,-1,2),则设平面 pdc 的法向量为 n2= (x2,y2,z2),= (-1,0,1), = (-1,1,1)，则 即取 n2=(1,0,1),cos=.;平面efc与平面pdc所成锐二面角的余弦值为.命题角度3折叠问题、点到平面的距离高考真题体验对方向1.(20xx全国n 19)如图，菱形abcd的对角线 ac与bd交于点o,ab= 5,ac= 6,点e,f分别在 ad,cd 上,ae=cf= ,ef 交 bd 于点 h.将4def 沿 ef 折到def 的

43、位置，od=.证明：dh，平面 abcd;(2)求二面角b-da-c的正弦值.(1)|证明|由已矢口得 ac bd,ad=cd.又由ae=cf得，故 ac / ef.因此 eflhd,从而 efxdh.由 ab=5,ac=6 得 do=bo= 4.由 ef / ac 得.所以 oh= 1,dh=dh= 3.于是 dh 2+oh 2=32+ 12= 10=do 2,故 dh oh.又 dh，ef,而 oh aef=h ,所以dh，平面abcd.(2)屈(如图，以h为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 h-xyz.则 h(0,0,0),a(-3,-1,0),b(0,-5,0),c(3

44、,-1,0),d(0,0,3),二(3,-4,0),二 (6,0,0), 二 (3,1,3).设m = (xi,yi,zi)是平面abd的法向量,则所以可取m=(4,3,-5).设n = (x2,y2,z2)是平面 acd的法向量，则所以可取n=(0,-3,1).于是 cos=-. sin=.因此二面角b-da-c的正弦值是.2.(20xx 陕西 18)如图 ，在直角梯形 abcd 中,ad / bc,/ bad= ,ab=bc= 1,ad= 2,e 是 ad 的 中点,o是ac与be的交点，将那be沿be折起到aaibe的位置，如图.国用(1)证明:cd，平面aioc;(2)若平面aibel

45、平面 bcde,求平面 aibc与平面 aicd夹角的余弦值.|证明标题图 中，因为ab=bc= 1,ad=2,e是ad的中点，/bad=，所以bex ac,即在题图 中,be，oai,be，oc,从而be,平面aioc,又cd / be,所以cd,平面aioc.(2)嗣由已知，平面aibel平面bcde,又由(1)知，平面aibel平面bcde,又由(1),beoai,beoc,所以/ aioc为二面角a1-be-c的平面角，所以 zaioc=.如图，以o为原点，建立空间直角坐标系，因为 aib=aie=bc=ed= 1,bc/ ed, 所以 b,e,ai,c,得= (-,0,0).设平面

46、aibc的法向量 ni=(xi,yi,zi),平面 aicd的法向量 n2=(x2,y2,z2),平面aibc与平面aicd夹角为0,则取 ni =(i,i,i)；取 n2= (0,1,1),从而 cos 9=| cos|=,即平面aibc与平面aicd夹角的余弦值为.新题演练提能刷高分，i.(20xx河南4月适应性考试)如图，在边长为2的菱形abcd中,/dab=60 .点e,f分别在 边cd,cb上，点e与点c,d不重合，ef，ac,efnac=o.沿ef将4cef翻折至ij apef的位置， 使平面 pefl平面 abfed.(i)求证:pol平面abd;(2)当pb与平面abd所成的角

47、为45时,求平面pbf与平面pad所成锐二面角的余弦值.(i)|证明, efxac,. . poxef/. 面 pef，平面 abfed ,平面 pef n平面 abfed=ef，且 po? 平面pef,：pol平面 abd.(2)阿如图，以o为原点，建立空间直角坐标系 o-xyz,连接bo/- pox平面abd, :/ pbo 为 pb 与平面 abd 所成白角，即 / pbo= 45 , : po=bo.设 ao abd=h，: / dab= 60 ,：abda为等边三角形，.bd=2,hb= ,hc= 3.设 po=x，则 oh=3-x,由 po2=oh 2+hb2,得 x=2，即 po

48、=2,oh= i.p(0,0,2),a(4,0,0),b(i,0),d(i,-,0),f 0,0 .设平面pad,平面pbf的法向量分别为 m=(a,b,c),n = (x,y,z),由 取 a=i,得 m = (i,-,2).同理，得 n= (-i,i), cos=-, ;平面pbf与平面pad所成锐二面角的余弦值为.2.(20xx广东揭阳学业水平考试)如图所示，平面多边形abcde中,ae=ed ,ab=bd ,且ab= ,ad=2,ae=,cd= i,ad,cd,现沿直线 ad,将de 折起，得到四棱锥 p-abcd.b(i)求证:pbad;(2)若pb=，求pd与平面pab所成角的正弦

49、值.db |证明到 ad 的中点 o,连接 ob,op,ba=bd ,ea=ed ,即 pa=pd ,/.ob ad 且 op lad, 又 ob aop=o ,1 .ad,平面 bop,而 pb?平面 bop,： pbxad.(2)网op= 1,ob= 2,op2+ob 2= 5=pb 2,.-.poxob,2 .op,ob,od两两互相垂直，以。为坐标原点，ob,od,op所在的直线为x,y,z轴建立如图 所示空间直角坐标系o-xyz,则 a(0,-1,0),b(2,0,0),d(0,1,0),p(0,0,1), = (0,-1,1),= (0,1,1),= (-2,0,1),设m = (

50、a,b,c)为平面pab的一个法向量，则由令 a=1,则得 c=2,b=-2,：m = (1,-2,2),设pd与平面pab所成角为q则sin打，即pd与平面pab所成角的正弦值为.3.(20xx东北三省三校三模)已知等腰直角 5八8$八二人8=46八，人86。分别为 sb,sa的中 点,将ascd沿cd折到4scd的位置，sa=2,取线段sb的中点为e.(1)求证:ce/平面sad;(2)求二面角a-ec-b的余弦值.(1)i证明蚓sa中点f,连接df,ef,. se=eb,sf=fa,.ef ab.又cd ab,：cd ef,：四边形cdfe为平行四边形，：ce/ fd, . ce?平面

51、sad,fd?平面 sad,：ce / 平面 sad.(2),sd=ad= 2,sa=2,sd2+ad 2=sa2.,.sdad. sd，cd,sd?平面 scd,：sd，平面 abcd, ad,cd?平面 abcd,/.sd ad,sdcd,又.addc,： da,dc,ds两两互相垂直,如图所示，分别以da,dc,ds为x,y,z轴建立空间直角坐标系d-xyz,则 a(2q0),c(020),s(0,0,2),b(2,4,0),e(1,2,1),二 (1,0,1),= (2,-2,0),二 (2,2,0),设平面eca,平面ecb的法向量分别为 m=(xi,yi,zi),n= (x2,y2

52、,z2),取 m = (1,1,-1),取 n = (1,-1,-1). :cos=, ;二面角a-ec-b的平面角的余弦值为-.4.(20xx山东济南一模)如图1,在高为6的等腰梯形 abcd中,ab/cd,且cd= 6,ab= 12，将它 沿对称轴。1折起，使平面ado1ol平面bco1o.如图2,点p为bc中点，点e在线段ab上(不 同于a,b两点),连接oe并延长至点 q,使aq / ob.证明：od,平面paq;(2)若be=2ae,求二面角c-bq-a的余弦值.|证明|由题设知oa,ob,oo1两两垂直，所以以。为坐标原点，oa,ob,oo1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如

53、图所示的空间直角坐标系，设aq的长度为m,则相关各点的坐标为o(0,0,0),a(6,0,0), b(0,6,0),c(0,3,6),d(3,0,6),q(6,m,0).点 p 为 3点，下(0,3),：=(3,0,6), = (040),二(6巾-,-3).=0,= 0,：,且不共线，：odl 平面 paq.(2)回 be=2ae,aq / ob,- -aq=ob= 3, %u q(6,3,0),.=(-6,3,0), = (0,-3,6).设平面cbq的法向量为n1=(x,y,z),则 y=2,x=1，故 ni=(1,2,1), 又显然，平面abq的法向量为 设二面角c-bq-a的平面角为5.(20xx安徽安庆二模)如图，四边形.令 z=1, n2= (0,0,1),。，由图可知，。为锐角，则cos打.abcd是矩形，沿对角线ac将9cd折起，使得点d在平db面abc上的射影恰女?落在边 ab上.(1)求证:平面acd，平面 bcd;(2)当=2时，求二面角 d-ac-b的余弦值.|证明同我d在平面abc上的射影为点e,连接de,则del平面abc,所以de，bc. 因为四边形 abcd是矩形，所以ab bc.因为 abade=e,所以 bcl 平面