应用回归分析,第2章课后习题参考答案汇总

1、第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定？答：假设1、解释变量x是确定性变量，y是随机变量；假设2、随机误差项e具有零均值、同方差和不序列相关性:e( i)=02var ( i)=二cov( i, j)=0i=1,2,ni=1,2,ni wj i,j= 1,2,，n假设3、随机误差项e与解释变量x之间不相关:cov(xi, i)=0i=1,2,，n假设4、e服从零均值、同方差、零协方差的正态分布in(0,仃2)i=1,2,，n2.2 考虑过原点的线性回归模型yi= 3ixi+ a i=1,2,，n误差& (i=1,2,)n仍满足基本假定。求 自的最小二乘估计解

2、:nnqe 一 (yi -r)2 - (yi -?ixi)2 i =1i=1qe = 2. (yi /xi)xi =0二？1i 1n” (xiyj i dnx (xi2)i t2.3 证明(2.27 式)，工ei =0 ,工eixi=0 。nnq=z (y -y?)2 =s (y -(k+因xj)2证明：11其中：叶=用+歌 e=y-y?i (向+a37= o|vo+/?rvj-t；)a； = 0即:三 eixi=02.4 回归方程e (y)=向+自x的参数 乱例的最小二乘估计与最大似然估计在什 么条件下等价？给出证明。答：由于 e in(0,仃2)i=1,2,，n所以 yi=0 + x +

3、qn (向+ ixi ,仃2 )最大似然函数：一 一 2-n2n/217- 一2l( 0, 1,02) =nlfi(yi) =(2二二 2)exp yi -( 01 0,xi)22 ijcm)n91，ncc9lnl( 0, 1,二 2)= -2 二二2)一2% yi -( 01 0,x i )222 ij使彳3ln (l)最大的网，邑就是由，伉的最大似然估计值。同时发现使得ln (l)最大就是使得下式最小， nnq = (y t)2 = (y-(凡+ xi)2 11上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在in(0,。2)的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。

4、所以在in(0,仃2 )的条件下，参数乱代的最小二乘估计与最大似然估 计等价。2.5 证明稣是由的无偏估计。n _ n x _ x证明：e(彳)=e(y- zx)= e-x yi - x iyi)nid lxx二 en (l_x)yi = en (口一 xa)。,)i=1 nlxxy nlxx=e 0 ： p -x，i=1 nlxx2.6证明证明：)曾=九十 px告二x)e(m) = p0i t nlxxvar( ?0)=(工x)，2 =二 2p -x-)n xi x 2n lxxi 1?； 1- xi xvar( ?0) =var - ( x - ynlxx、- 1- xi x)yi 卜(

5、x-；i 1 nlxx)2var( 0 区 i)n 1 2_ x _ x一()2 -2x inlxx（吟力xx22)r1 x21 2 二n小2.7 证明平方和分解公式：sst=sse+ssr证明：n _ 2 n_sst 八 yi y - yi -)(y? y 2 i i n2 nn2u jy? -y2v yi y?i)(y?i y 、 yi.)i i i n2 n2二 ssr sse二yiy 八 yi ji =4i=12.8 验证三种检验的关系，即验证:ssr/1sse/(n -2)证明：(1)?jlxx?r jlyyjlxxr jlyyjn - 2rjn - 2rt = .= ,=；?. c

6、?2 lxx sse(lxx(n-2).sse(n-2), sse sst . 1 - r2(2)nnnnssr=z(?-y)2=z(%+exi-y)2=z(y +敞% x) q)2=z (耳(为又)2 =耳1一 i =1i 1i 1i=1匚 ssr/1?2llxx .2f 二二2二 tsse/(n -2)?(x： _ x )22.9 验证(2.63)式：var(ei ) = (1 - -(i-)f 0.05(1,3)=10.13(当5=1m2=8时,%=0.05查表得对应的值为10.13)，所以拒绝原假设，说明回归方程显著。(8)做回归系数01的显著性检验h0: p 1=0t = & is?

7、 =7/1.915 =3.656t值=3.656t 0.05/2(3)=3.182,所以拒绝原假设，说明x对y有显著的影 响。(8)做相关系数r的显著性检验r = r2 = ssr = os” = 0.904 sstr值=0.904r 0.05(3)=0.878,所以接受原假设，说明x和y有显著的 线性关系。(9)对回归方程作残差图并作相应的分析残差图(略).从残差图上看出，残差是围绕e=0在一个固定的带子里随 机波动，基本满足模型的假设ein(0, 22，但由于样本量太少，所以误差 较大.(10)求广告费用为4.2万元时，销售收入将达到多少？并给出置信度为95%的 置信区间.解：当=4.2时

8、，y0 = ?0?,=1 7 4.2 = 28.4所以广告费用为4.2万元时，销售收入将达到28.4万元.由于置信度为1-a时，yo估计值的置信区间为：yo-t：sy?丫y0：二 y0t：sy?y2 yo- 0-2 丫0-丫0qq2 1( x 0 - x )1 1.44 xsy? y = ? (136.667(1 -)工 0nlxx.510所以求得yo的95%的置信区间为：6.05932 ,50.74068预测误差较大.2.15 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的制度，决定认真调查一下现状。经过十周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目，x为每周新签发的保单数目，y为每周加

9、班工作时间(小时)。见表2.7。表 2.7周序号12345678910x825215107055048092013503256701215y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、画散点图散点图5.0 每周加 4.0 一班工作,3.0 时间（小 2.0 时）1.0 oo0&o。gooo1111111200400600800100012001400每周签发的新保单数目2、由散点图可以看出,x与y之间大致呈线性关系3、用最小二乘法求出回归系数回归系数显著性检验表a模型未标准化系数标准化系数tp直95%回归系数的置信区间b标准误下限上限1(constant).118.355.

10、333.748-.701.937每周签发的新保单数目.004.000.9498.509.000.003.005a. dependent variable：周加班工作时间（小时）由表可知：?0 =0.118 ?1 = 0.00 35 9回归方程为：夕=0.118+0.00359x4、求回归标准误差?方差分析表b模型平方和自由度均方fp值1回归16.682116.68272.396.000 a残差1.8438.230总和18.5259a. predictors: （constant）, 每周 签发 的新 保单 数目b. dependent var iable:每周 加班 工作时间（小时）由方差分析

11、表可以得到：sse=1.843a 2故回归标准误差仃=壁，仃=0.48n 25、给出回归系数的置信度为95%的区间估计回归系数显著性检验表a模型未标准化系数标准化系数tp195%回归系数的置信区间b标准误3下限上限1(constant).118.355.333.748-.701.937每周签发的新保单数目.004.000.9498.509.000.003.005a. dependent variables周加班工作时间（小时）由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时：*0的预测区间为-0.701,0.937,61的预测区间为0.003,0.005.瓦的置信区间包含0,表示瓦不拒绝为零

12、的假设。模型概要b模型r决定系 数调整后的 决定系数估计值的标 准误差durbin-wats on1.949 a.900.888.4800.753a. predictor s: (constant), 每周签发的新保单数目b. dependent vari able:每 周加 班 工作时 间(小 时)6、决定系数由模型概要表得到决定系数为0.9接近于1,说明模型的拟合优度高方差分析表b模型平方和自由度均方fp值1回归16.682116.68272.396.000 a残差1.8438.230总和18.5259a. predictors: （constant）, 每周 签发 的新保单 数目b. d

13、ependent var iable:每周加班 工作 时间（小时）7.对回归方程作方差分析由方差分析表可知：f值=72.3965.32（当星=1门2=8时,查表得对应的值为5.32）p值=0,所以拒绝原假设，说明回归方程显著。8、对3的显著性检验从上面回归系数显著性检验表可以得到 pi的t统计量为t=8.509 , 所对应的p值近似为0,通过t检验。说明每周签发的新保单数目x对每 周加班工作时间y有显著的影响。9.做相关系数显著性检验相关分析表每周签发的 新保单数目每周加班 工作时间 （小时）每周签发的新保单数目pearson correlation1.949*sig. (2-tailed).

14、000n1010每周加班工作时间（小pearson correlation.949*1时）sig. (2-tailed).000n1010*.correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).相关系数达到0.949,说明x与y显著线性相关。10、对回归方程作残 差图并作相应分析从残差图上看出，残 差是围绕e=0随即波 动，满足模型的基本 假设。0.600000.30000 _未标 0.00000 _准化残-0.30000 差-0.60000 一-0.90000残差图20040060080010001200每周签发的新保单数目1400

15、11、该公司预计下一周签发新保单 x0=1000张,需要的加班时间是多少？当x0=1000 张时，y =0.118 + 0.00359* 1000 = 3.7032 小时12、给出y。的置信水平为95%的预测区间通过spss运算得到y0的置信水平为95%的预测区间为:(2.5195 , 4.8870 )(3.284,13给出e （y0）的置信水平为95%的预测区间通过spss运算得到y0的置信水平为95%的预测区间为:4.123）。2.16 表是1985年美国50个州和哥伦比亚特区公立学校中教师的人均年工资 y（美元）和学生的人均经费投入x（美元）.序号yx序号yx序号yx1195833346

16、182081630593519538264222026331141918095296736204603124320325355420209393285372141927524268004542212264439143825160342952947046692224624451739224823947626610488823271864349402096925097306785710243399050204127224544082717055362523382359442258924042925853416826206272821432264434021024500354727227953366

17、44246402829112427431592821570292045223412297122717036212922080298046256102932133016837823022250373147260153705142652542473120940285348257884123152736039823221800253349291323608162169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：（1）绘制y对x的散点图，可以用直线回归描述两者之间的关系吗?4 0 0 0 0.03 5 0 0 0.03

18、0 0 0 0.02 5 0 0 0.02 0 0 0 0.02 0 0 0.0 030 00.0 04 0 0 0.0 0500 0.0 06 0 0 0.0 07 0 0 0.0 08 0 0 0.0 09 0 0 0.0 0x由上图可以看出y与x的散点分布大致呈直线趋势。（2）建立y对x的线性回归。利用spss进行y和x的线性回归，输出结果如下:表1模型概要rr2调整后的r2随机误差项的标准差倩计值0.8350.6970.6912323.25589表2方差分析表模型平方和自由度和平均f值p值1回归平6.089e816.089e8112.811.000 a方和残差平2.645e8495397517.938方和总平方8.734e850和表3系数表模型非标准化系数标准化系数t值p值b标准差回归系数1常数对学生的人均经费投入12112.6293.3141197.768.312.83510.11310.621.000.0001）由表1可知，x与y决定系数为r2 = 0.697 ,说明模型的拟合效果一般。x与y线性相关系数r=0.835,说明x与y有较显著的线性关系。2）由表2（方差分析表中）