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文档简介

1、 毕 业 论 文 作者： 学号： 院系： 专业： 数学与应用数学： 题目： 数学教学中构造的艺术 指导老师： 2012年5月20日 “构造法”在立体几何中的应用在许多立体几何问题中，由于图形的不规则，因而线面关系也不是很直观、明显，如果我们依题设条件，构造出一个特殊的几何体（如：正方体、长方体、正四面体等），并将其“嵌入”其中，有些线面的关系就会变得更加清晰，问题也就迎刃而解。例1. 对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ）a. mn，m/，n/b. c. d. 解析：如图1所示，构造一个正方体abcda1b1c1d1进行观察判断，对于a，把ad看作直线m，bb1看作直线n，把平面bb

2、1c1c作为平面，平面aa1c1c作为。虽满足mn，m/，n/，但不垂直于，从而否定（a）。同样可排除（b）、（d），因此选（c）。图1点评：空间的线面关系的判断，若是以选择题出现，通常采用构造一个符合已知条件的立体图形，来排除其中的错误命题。例2. 正三棱锥sabc的侧棱与底面边长相等，如果e、f分别为sc、ab的中点，那么异面直线ef、sa所成的角等于（ ）a. 90 b. 60 c. 45 d. 30解析：本题的正三棱锥sabc即为正四面体，将正四面体sabc“嵌入”到正方体中，使正四面体的棱分别是正方体六个面的面对角线（如图2所示）。易知ef是正方体的两底面中心的连线，与正方体的一条侧

3、棱平行，而sa与该侧棱所成角是45，故异面直线ef与sa所成的角等于45，故选（c）项。图2点评：由所给的几何体它的各棱长都相等，极易联想到正方体。本题通过构造一个正方体，将正四面体sabc“嵌入”其中，使得所求问题变得非常直观明了。例3. 如图3所示，已知三棱锥pabc，pa=bc=，pb=ac=10，pc=ab=，试求三棱锥pabc的体积。图3解析：注意到三棱锥有三对对边分别相等，若把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。如图4所示，构造一个长方体aebgfpdc，易知三棱锥pabc的各边分别是长方体的面对角线。不妨令pe=x，eb=y，ea=z则由已知有解得x=6，y=8，z=10从

4、而故所求三棱锥pabc的体积为160。图4点评：本题也可看作是将三棱锥pabc“补形”成一个长方体，由于长方体的体积更易计算，但这种“补形”是有一定难度的，如果我们平时对长方体进行过不同形式的“分割”的话，那么将三棱锥“嵌入”长方体中就十分自然。例4. 已知球o的半径为1，a、b、c三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心o1到平面abc的距离为（ ）a. b. c. d. 解析：作出这个图形有一定困难，抓住o、a、b、c这四个关键点，构造一个空间图形，结合条件加以分析。由条件知oa=ob=oc=1，aob=boc=aoc=如图5所示，球心o与a、b、c三点构成正三棱锥oabc则其高故选（b）项图5点评：在许多球的问题中，要画出实际

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