(完整版)小学奥数—数论之同余问题.doc

1、数论 - 同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。定理 1 ：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数 a 整除，那么它们的和，就不能被整数 a 整除。如：35 除以 5,7 余 0，除以 3 余 2；63 除以 3,7 余 0 ，除以 5 余 3 ；30 除以 3,5 余 0，除以 7 余 2。则 35+63+30 除以 3 余 2 ，除以 5 余 3，除以 7 余 2。定理 2 ：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数） 。

2、一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b 0） ,若有 a b=qr ，也就是 a b q r,0 r b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1) 当 r 0 时：我们称 a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2) 当 r 0 时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型 :如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个 d 就是余数。这个

3、图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与 b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如： 23 ， 16 除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 23+16=39除以 5 的余数等于 4 ，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如： 23 ，19 除以 5 的余数分别是3 和 4 ，故 23+19=42除以 5 的余数等于3+4=7除以 5 的余数，即 2.2. 余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于

4、a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。例如： 23 ， 16除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 23 16除以 5 的余数等于 3 1=3 。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。例如： 23 ， 19除以 5 的余数分别是3 和 4，所以 23 19除以 5 的余数等于34 除以 5 的余数，即2.3. 同余定理若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数， 那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为： ab ( modm ) ，左边的式子叫做同余式。同余式读作： a 同余于 b ，模 m 。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推

5、论：若两个数a， b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a， b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有a b mk,k 是整数，即m|(a b)三、弃九法原理：在公元前9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式123418981789028899231234 除以 9 的余数为 11898 除以 9 的余数为 818922除以 9 的余数为4678967除以 9 的余数为

6、7178902除以 9 的余数为0这些余数的和除以9 的余数为2而等式右边和除以9 的余数为3 ，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9 的余数的和再除以9 的余数一定与等式右边和除以9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9 一个 9 的找并且划去， 所以这种方法被称作“弃九法” 。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9

7、 除的余数， 只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9 的余数都是0 ，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。四、中国剩余定理：1. 中国古代趣题：中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几

8、何？”答曰：“二十三。”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3 人一列余 1 人、 5 人一列余 2 人、 7 人一列余 4 人、 13 人一列余 6 人 。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人一列都剩 3 人，则兵有多少？首先我们先求5 、9 、13 、17 之最小公倍数9945 （注：因为5 、 9 、 13 、 17 为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3 ，得 9948 （人）。孙子算经

9、的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2. 核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以 孙子算经中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3 ，5 ，7 后，得到三个余数分别为2 ， 3， 2.那么我们首先构

10、造一个数字，使得这个数字除以3 余 1 ，并且还是5 和 7 的公倍数。先由 5735，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看35 除以 3 余 2 ，不符合要求，那么就继续看5和 7 的“下一个”倍数35270是否可以，很显然70 除以 3 余 1类似的，我们再构造一个除以5 余 1，同时又是3 和 7 的公倍数的数字，显然21 可以符合要求。最后再构造除以7 余 1，同时又是3 ，5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：270321245k3,5,7233k3,5,7 ，其中 k 是从 1 开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加

11、以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2703212452 3,5,723 得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23 加上 3,5,7 即可，即23+105=128。例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1 】 ( 第五届小学数学报竞赛决赛) 用某自然数a 去除 1992，得到商是46，余数是 r ，求 a 和 r 【解析】因为1992是 a 的46倍还多 r ,得到1992 46，得1992 4643 14，所以，1443.14a 43 r【巩固】 (清华附中小升初分班考试)

12、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余 32 ，求甲、乙两数【解析】(法 1)因为 甲乙1132，所以 甲乙乙11 32乙乙12 321088 ；则乙(108832)1288，甲1088乙1000( 法 2) 将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088 中减掉 32 以后，1056 就应当是乙数的 (111) 倍，所以得到乙数10561288，甲数1088881000 【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题 -即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数

13、的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差” ，也可以得到一个除数的倍数。本题中 310-37=273，说明 273是所求余数的倍数，而273=3 7 13 ，所求的两位数约数还要满足比37 大，符合条件的有 39 ， 91.【例1】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、2003除数、商与余数之和为，则被除数是多少？2113【解析】被除数除数商余数被除数 除数 +17+13=2113，所以被除数除数 =2083，由于被除数是除数的 17 倍还多13 ，则由“和倍问题”可得：除数= （2083-13）（17+1） =115 ，所以被除数 =20

14、83-115=1968【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这 2 个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到x40 y 16,解方程组得x856，即这两个自然数分别是856 ，21.xy40 16y21933【例 2 】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题) 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_， _， _ 。【解析】设所得的商为 a ，除数为 b (19ab)(23ab) (31ab)2001

15、， 73a3b2001，由 b19 ，可求得 a 27 ， b10所以，这三个数分别是19a b523， 23ab631， 31a b 847。【巩固】 ( 2004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的3 倍，这个自然数是 _【解析】设这个自然数除以11 余 a (0 a 11) ，除以 9余 b (0 b9) ，则有 11a a93b b ，即 3a7b ，只有 a7 ， b 3 ，所以这个自然数为12 784。【例 3 】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题) 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第

16、一组多5人如果把书全部分给第一组，那么每人4 本，有剩余；每人5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3 本，有剩余；每人4 本，书不够问：第二组有多少人?【解析】由 484 12，4859.6 知，一组是10 或 11 人同理可知48316，484 12知，二组是13 、 14 或 15 人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10 人【巩固】一个两位数除以 13 的商是 6，除以11 所得的余数是 6，求这个两位数【解析】因为一个两位数除以13 的商是 6 ，所以这个两位数一定大于13 6 78 ，并且小于 13(6 1)91；又因为这个两位数除以11 余 6，而 78除以

17、 11 余 1，这个两位数为785 83【模块二：三大余数定理的应用】【例 4 】有一个大于1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数101 4556，59 45 14， (56,14) 14 ， 14 的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14 。【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数 .【解析】 ( 法 1)39336， 1473144 ，

18、 (36,144)12， 12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为3 要小于除数，这个数是4,6,12 ；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数513912 ， 14739108 ， (12,108)12 ，所以这个数是4,6,12 【巩固】在小于 1000 的自然数中，分别除以18 及 33 所得余数相同的数有多少个?( 余数可以为0)【解析】 我们知道 18 ， 33 的最小公倍数为18 ， 33=198，所以每198 个数一次1 198 之间只有1 ， 2 ， 3 ， ， 17 ， 198( 余 O)

19、这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同，而 999 198=59 ，所以共有 518+9=99 个这样的数【巩固】 ( 2008 年仁华考题 ) 一个三位数除以17 和 19 都有余数，并且除以17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设 这 个 三 位 数 为 s ， 它 除 以 17和 19的 商 分 别 为 a 和 b ， 余 数 分 别 为 m 和 n ， 则s 17a m19bn 根据题意可知ambn ，所以 samsbn，即16a18b ，得 8a9b 所以 a 是 9的倍数， b 是 8

20、的倍数此时，由ambn 知 nmab a8a1a 99由于 s为三位数，最小为100 ，最大为999 ，所以10017am999，而1 m16，所以17a 117am999 ， 10017am17a16，得到 5 a58，而 a 是 9 的倍数，所以 a最小为 9 ，最大为 54 当 a54 时， nm16 ，而 n18 ，所以 m12 ，故此时 s 最大为 1754 12930 ；a9当 a11 ，由于 m1，所以此时 s最小为 17 91154 9 时， n ma9所以这样的三位数中最大的是930 ，最小的是 154 【例 5 】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 ab

21、 ，求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除，即 (10ab) （10b a)9 （ ab）能被 7整除所以只能有 ab7 ，那么 ab可能为 92 和 81 ，验算可得当 ab92 时， ba 29满足题目要求， abba92292668【巩固】学校新买来118 个乒乓球， 67 个乒乓球拍和33 个乒乓球网， 如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以 118,67,33 余数相同的数那么可知该数应该为118 67 51和 67 33 34的公约数，所求答案为17 【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题)

22、 在除 13511，13903 及 14589时能剩下相同余数的最大整数是 _ 【解析】 因为 13903 13511392 , 1458913903 686 ，由于 13511 ，13903，14589 要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除 (392,686)98 ，所以所求的最大整数是 98 【例 6】(2003 年南京市少年数学智力冬令营试题2的和除以 7 的余数是 _ ) 22003 与 2003【解析】 找规律用7 除 2， 22 ， 23 ， 24 ， 25 ， 26 ， 的余数分别是 2，4 ，1，2，4，1，2，4，1， ,2的个数是 3的倍数时，用

23、 7 除的余数为1；2 的个数是 3的倍数多 1 时，用 7 除的余数为2 ；2的个数是 3的倍数多 2 时，用 7 除的余数为 4因为 2200323 667 2 ，所以 22003 除以 7 余 4又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同 而 2003 除以 7 余 1，所以22003除以 7余1故22003 与 20032 的和除以7的余数是 4 1 5【巩固】 ( 2004 年南京市少年数学智力冬令营试题) 在 1995，1998 ，2000，2001， 2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组【解析】 1 99

24、5 ， 1998 ， 2000 ， 2001 ，2003 除以 9 的余数依次是6 ，0 ，2 ，3 ，5因为252507，25360253679，所以这样的数组共有下面4 个：2000,2003 ， 1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995， 1998,2000,2003,2001,1995 【例 7 】(2005 年全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除70， 110， 160 所得到的3 个余数之和是 50，那么这个整数是_【解析】 (70110160)50290 ， 50316.2，除数应当是290 的大于 17 小于 70 的约数， 只可能是 2

25、9 和 58 ， 110581.52， 5250 ，所以除数不是58 70292，110293，160295，12231550，所以除数是29122315【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为25，那么 n=_【解析】n 能整除 639112925258因为 25 38.1，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然， n不能大于 63 符合条件的只有43 【巩固】号码分别为101,126,173,193的 4 个运动员进行乒乓球比赛, 规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数. 那么打球盘数最多的运动员

26、打了多少盘?【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101 ， 126 ， 173 ，193 除以 3 的余数分别为2 ， 0，2 ，1 。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2 ， 0 ，2 ，1 两两相加除以3 即可。显然126运动员打5 盘是最多的。【例 8 】(2002 年小学生数学报数学邀请赛试题) 六名小学生分别带着14 元、 17 元、 18 元、 21 元、26 元、 37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5 个人带的钱不够，但是其中甲、 乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买1 本这种成语大词典的定价是_元【解析

27、】 六名小学生共带钱133 元 133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3 本，所以他们五人带的钱数是3 的倍数，另一人带的钱除以3 余 1 易知，这个钱数只能是37 元，所以每本成语大词典的定价是(1417182126)332 (元) 【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题) 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_ 千克【解析】 两个顾客买的货物重量是3 的倍数(151618192031)(12)119339.2 ，剩下的一箱货物重量

28、除以3 应当余2 ，只能是 20千克【例 9 】求 2461 1356047 11的余数【解析】 因为 2461 11223.8 ， 135 1112.3， 604711549.8，根据同余定理(三 )，2461 1356047 11的余数等于 8 3 811的余数，而 83 8192，192 11 17.5，所以 2461 135 6047 11的余数为 5 【 巩固】 ( 华罗庚金杯赛模拟试题 ) 求 478 296 351除以 17 的余数【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351 除以 17 的余数

29、分别为2，7 和 11 ， (2711)179.1 【巩固】 求 31997 的最后两位数【解析】 即考虑 31997 除以 100 的余数由于1004 25，由于 3327 除以 25 余 2，所以 39 除以 25余 8 ，310 除以 25余 24 ，那么 320 除以 25余 1；又因为 32 除以 4 余 1，则 320 除以 4余 1；即 3201能被 4和 25整除，而 4 与 25互质，所以3201 能被 100整除，即 320 除以 100余 1，由于19972099 17，所以1997除以10017除以 100 的余数，而6729 除以 1003的余数即等于 33余 29，

30、35243 除以 100余 43，317(36 )235 ，所以 317 除以 100 的余数等于2929 43除以100 的余数，而 29 29 4336163除以 100余 63 ，所以 31997 除以 100 余 63 ，即 31997 的最后两位数为 63 【巩固】 222 2 除以 13所得余数是 _.2000个 2 【解析】 我们发现 222222整除 13 ， 2000 6 余 2，所以答案为22 13 余 9。89【巩固】求 143除以 7 的余数【解析】 法一：由于 1433 mod 7(143 被 7 除余 3)，所以 14389389 mod 7 ( 14389 被 7

31、 除所得余数与 389被 7 除所得余数相等 )而 36729 ，7291 mod 7（ 729除以 7的余数为1 ），所以 3893636L36 35355 mod 71 4424 4314个故 14389除以 7 的余数为 5.法二：计算 389 被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31323334353637Lmod73264513L于是余数以 6 为周期变化所以389355 mod 7【巩固】（2007年实验中学考题） 122232L200122002 除以 7 的余数是多少？【解析】 由于 122232L20012200222002200340051001 2003

32、1335 ，而 1001是7的倍6数，所以这个乘积也是7 的倍数，故122 232L 2001220022 除以 7 的余数是0 ；【巩固】31303031 被 13 除所得的余数是多少？【解析】 31 被 13 除所得的余数为5 ，当 n 取 1 ， 2， 3 ， L时 5n 被 13 除所得余数分别是 5，12 ，8，1，5，12 ，8 ，1 L 以 4 为周期循环出现，所以 530 被 13 除的余数与52 被 13 除的余数相同，余12，则3130 除以 13 的余数为12；30被 13 除所得的余数是4，当 n 取 1 ，2 ，3 ， L时， 4n 被 13除所得的余数分别是4，3，

33、12，9 ，10 ，1 ，4 ，3，12 ，9，10 ，L L 以 6 为周期循环出现，所以3114 被 13 除所得的余数等于4 被13 除所得的余数，即 4 ，故 3031 除以 13 的余数为 4；所以 3130 3031 被 13 除所得的余数是 12 4 13 3【巩固】 ( 2008 年奥数网杯 ) 已知 a 20082008L 2008 ，问： a 除以 13 所得的余数是多少？ 1444244432008 个 2008【解析】 2 008 除以 13 余 6 ， 10000 除以 13 余 3 ，注意到 200820082008 100002008 ；2008200820082

34、0082008 100002008；2008200820082008 200820082008 100002008 ；L L根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008 除以 13余 6361311， 200820082008除以 13 余1136390，即200820082008是13的倍数而 2008除以 3余 1，所以 a20082008L2008 除以 13 的余数与 2008除以 13的余数相同，为 6.1444 244 432008 个 2008【巩固】除以 41 的余数是多少？777142 43771996 个7【解析】 找规律：7417，77 41 36， 777 4

35、1 39 ，7777 41 28，77777 410 ， ，所以 77777是 41的倍数，而 19965 399L 177777可以，所以 14 2431996 个 7分成 399段 77777和 1 个 7 组成，那么它除以41 的余数为 7 【巩固】 11223344L L20052005 除以 10 所得的余数为多少？【解析】 求结果除以10 的余数即求其个位数字 从 1 到 2005 这 2005个数的个位数字是 10 个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4 个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个 (20 是 4 和 10 的最小公倍数 )一组，则不同组中对应的

36、个位数字应该是一样的首先计算 11223344L L 2020的个位数字，为 1476 563690163656749094的个位数字，为 4，由于 2005个加数共可分成100 组另 5个数， 100 组的个位数字和是4100 400 的个位数即0 ，另 外 5个 数 为20012002、200320042005，它们和的个位数字是2001、 20022003、 2004、 20051476523的个位数3 ，所以原式的个位数字是3，即除以10 的余数是3 【例 10 】求所有的质数 P，使得 4 p21 与 6 p 21 也是质数【解析】 如果 p5 ，则 4 p21 101 ， 6 p

37、21151 都是质数， 所以 5符合题意如果 P 不等于 5 ，那么 P除以 5的余数为1 、 2、 3 或者 4 ， p2除以 5的余数即等于12、 22、32或者 42除以 5的余数，即 1、4、9 或者 16 除以 5 的余数，只有 1 和 4两种情况 如果 p 2 除以 5的余数为1 ，那么 4 p 21除以 5的余数等于 41 15 除以5 的余数，为 0，即此时4 p21 被 5整除，而4 p21大于 5，所以此时 4 p21不是质数；如果 p2 除以 5 的余数为4 ，同理可知6 p21 不是质数，所以P 不等于 5，4 p21与6 p 21 至少有一个不是质数，所以只有p5 满

38、足条件【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上8998 这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是 3因数89909192939495969798【解析】因为两个数的乘积除以 11的余数，等于因数两个数分别除以 11 的余数之积因此原题中的8998可以改换为 110 ，这样上下两数的乘积除以11 余 3 就容易计算了我们得到下面的结果：因数89909192939495969798进而得到本题的答案是：因数3719562104889909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】( 2000年“华杯赛” 试题 )3个三位数乘积的算式ab

39、cbcacab234235286 (其中abc ) ， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6 是正确的，问原式中的abc 是多少？【解析】 由 于 23423528623 423528 68(mod9) ， abc bca cab (ab c) 3 (mod9)，于是 (ab c)38(mod9)，从而 (用 abc0,1,2,.,8(mod9) 代入上式检验 )a bc 2,5,8(mod9)(1) ，对 a 进行讨论：如果 a9 ，那么 bc2,5,8(mod9) (2) ，又 ca b 的个位数字是 6 ，所以 bc 的个位数字为4 ，b c 可 能 为 41、7

40、2、8 3、64， 其 中 只 有 (b, c) (4,1),(8,3) 符 合 (2) ， 经 检 验 只 有983839398328245326 符合题意如果a8，那么 bc 3,6,0(mod9) (3) ，又b c的个位数字为 2 或 7 ，则b c可能为2 1、3、46 2、76、 7 1，其中只有 (b, c)(2,1)符合 (3) ，经检验， abc821 不合题意如果 a7 ，那么 bc 4,7,1(mod9) (4) ，则 bc 可能为 42 、 63，其中没有符合(4) 的 (b, c) 如果 a6 ，那么 b5 ， c4 ， abcbcacab700 6005002100

41、00000222334586，因此这时 abc 不可能符合题意综上所述，abc983 是本题唯一的解【例 11 】一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为 a ，a 2 ，a 5 ，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290 ，233 ， 195 时，得到相同的余数（都为a ）既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0 那么这个自然数是290 23357 的约数，又是23319538 的约数，因此就是 57 和 38 的公约数 ,因为 57和 38 的公约数只有19 和 1 ，而这个数大于1，所以这个自然数是19 【

42、巩固】一个大于 10 的自然数去除90、 164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除 90 、 164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90 164254 后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254 220 34 的约数，又大于 10 ，这个自然数只能是 17 或者是 34 如果这个数是34 ，那么它去除90、164 、220后所得的余数分别是 22 、28 、16 ，不符合题目条件；如果这个数是17 ，那么他去除90 、164 、220 后所得的余数分别是5 、 11 、 16 ，符合题目条件，