菲涅耳公式推导

1、第二章 波动光学的基本概念(二) Lecture 8 1. 1.菲涅耳公式菲涅耳公式 2.2.光强、能流的反射率和透射率光强、能流的反射率和透射率 3.Stocks3.Stocks倒逆关系倒逆关系 1. 1. 菲涅耳公式菲涅耳公式 当光通过不同的介质界面时当光通过不同的介质界面时, , 入射光分为反射光和折入射光分为反射光和折 射光两部分射光两部分, , 折射定律和反射定律决定了它们的方向折射定律和反射定律决定了它们的方向, , 而这两部分光的强度和振动的取向而这两部分光的强度和振动的取向, , 则需要用电磁理论则需要用电磁理论 来讨论来讨论. . 光是电磁波，在两种介质的分界面，要满足电磁光

2、是电磁波，在两种介质的分界面，要满足电磁 场边界条件（假设两介质为电介质）：场边界条件（假设两介质为电介质）： 电矢量切向分量连续电矢量切向分量连续 磁矢量切向分量连续磁矢量切向分量连续 t2t 1 EE t2t 1 HH x y z o 1P 1S 1P 1S 2P 2S 光在介质界面上反射和折射时光在介质界面上反射和折射时, , 其其平行于入平行于入 射面的分量射面的分量( (又称平行分量又称平行分量, ,用用p p表示表示, ,或简称或简称p p分分 量量) )，与，与垂直于入射面的分量垂直于入射面的分量( (又称垂直分量又称垂直分量, ,用用 s s 表示表示, ,或简称或简称s s分

3、量分量) ) 的行为不同的行为不同. . 1 S 1 P 1 S 1 n 2 n z x O 1 P 2 P 2 S 1 i 1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 将振动矢量分解为垂直和平行与入射面的将振动矢量分解为垂直和平行与入射面的S分量和分量和P 分量。分量。P 、S和和k构成右手正交系，局部坐标系，也称构成右手正交系，局部坐标系，也称 “随线坐标系随线坐标系”。 k1 k2 k1 规定规定s分量沿分量沿y方向为正。图方向为正。图 示为各个分量的正方向。示为各个分量的正方向。 讨论电场的讨论电场的p p分量分量: : 再根据再根据 ,SE H 先确定入射面内先确定入射面内E E1p 1

4、p方向 方向, , 随后由随后由“随线坐标随线坐标”定定 12 ,. p EE p 确定确定 112 ,. sss HHH x y z o 1p E1s H 1p E 1s H 2p E2s H 由边界条件由边界条件, , 各切向分量之间关系可表示为各切向分量之间关系可表示为 111122 coscoscos , ppp EiEiEi 112 . sss HHH (1) (2) 根据根据 0 0 , r sp r HE 且透明介质有且透明介质有 . 1 r 因此上面因此上面(2)(2)式可变为式可变为 010102 112 000 , rrr ppp EEE 1 H s 1 E p 1 H s

5、 1 n 2 n z x O 1 E p 2 E p 2 H s 1 i 1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 即即 111122 , rprprp EEE 111122 . ppp n En En E(3) 联立联立(1),(3) ,(1),(3) ,并利用并利用 ,sinsin 2211 inin 得得 p p 分量分量 1 12 112 () , () p p E tg ii r Etg ii p 2 21 11212 2sincos . sin()cos() p p E ii t Eiiii p 振幅反射比振幅反射比: : 振幅透射比振幅透射比: : 111122 coscoscos

6、 ,HiHiHi ppp 112 .EEE sss 解得解得 s s 分量的振幅反射比分量的振幅反射比: : 振幅透射比振幅透射比: : 同理有：同理有： 1 n 2 n 1p H . . 2 H p 1 H p 1 E s 1 E s 2 E s z x 1 i 1 i 2 i 讨论讨论S S分量：分量： 112 112 sin() , sin() s s s Eii r Eii 221 112 2sincos . sin() s s s Eii t Eii O 2.2.光强、能流的反射率和透射率光强、能流的反射率和透射率 光强反射率和透射率光强反射率和透射率 , 2 1 2 1 2 2 1

7、 2 1 2 110 2 110 1 1 p p p p p p p p r E E Ecn Ecn I I R , 2 2 1 2 1 1 1 p p p p p p r E E I I R . 2 2 1 2 1 1 1 s s s s s s r E E I I R . 2 1 2 00cnE I . 2 1 2 2 11 2 22 1 2 s s s s s s t n n En En I I T . 2 1 2 2 11 2 22 1 2 p p p p p p t n n En En I I T 能流能流W=IS，这里，这里S为光为光 束的横截面积。由反射定律和束的横截面积。由反射

8、定律和 折射定律可知，反射光束与入折射定律可知，反射光束与入 射光束的横截面积相等，而折射光束的横截面积相等，而折 射光束与入射光束横截面积之射光束与入射光束横截面积之 比是：比是： S 1 S 1 S 1 w 2 w 1 w 1 1 1 s s 1 2 1 2 1 2 icos icos icoss icoss s s 2 S S 能流反射率和透射率能流反射率和透射率 112 1 111 , pp pp pp wI s r wsI 2 111 111 , ss ss ss wIs r wsI . cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 s s s s s s t n n

9、i i I I s s w w , cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 p p p p p p t n n i i I I s s w w 211 ,WWW 分别为入射光，反射光和折射光能流 . 112112 , pppsss WWWWWW 根据能量守恒，入射光，反射光和 折射光能流满足： 2222 2222 1111 coscos 1,1 coscos ppss inin rtrt inin （3 3）Stocks倒逆关系倒逆关系 0ArtAtr 1, rrtt rr A Ar At Ar At Att Atr Arr Atr ArrAttA 12 12 21 12 12 12 21 1212 sin() sin() 2sincos sin() tan() tan() 2sincos sin()cos() s s p p ii r ii ii t ii ii r ii ii t iiii 1. Es 和和 Ep 是