4-5数学归纳法课后导练

1、精品资源欢迎下载4.1数学归纳法课后导练基础达标、一1111*1 设 f(n尸 + + (n? n),那么 f(n+1)-f等于()n 1 n 2 n 3 2nb.a.2n 1c. +2n 1 2n 2d.2n 212n 1解析：f(n+1)-f(n)=十2n 1答案：d+-2n 2 n 12n 11 +2n12n 22n 21+2n 1 2n 21-(n.1.- 1)n 2 2n2若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为()48守12-i i t i t 2jfi710! ia. j 一 b. 一 j c. 一 d. 一 t解析：2 002=4 x 500+2

2、 ,而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左，上顶点的数.答案：d3凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为()a.f(n)+n+1b.f(n)+nc.f(n)+n-1d.f(n)+n-2解析：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点到原n-2个顶点连成的n-2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：c4 用数学归纳法证明 (n+1)(n+2) , (n +n)=2 n 1 3 , (2n -1)”，从 k 到 k+1” 左 端需增乘的代数式为()a.2k+1b.2(2k+1)2k 12k 3c.d.k1k 1解析：当n=1时，显然成立.当 n=k 时，

3、左边=(k+1)(k+2) , (k+k),当 n=k+1 时，左边=(k+1+1)(k+1+2) , - (k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3) . , - (k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+1)(k+2 ) , - (k+k) -(2k +1)(2k +2) =(k+1)(k+2) , - (k+k)2(2k+1).k 1答案：b5根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有 个点.解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点；第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点；第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点依次类推，

4、第n个图形中除中心外有n条边，每边n-1个点，故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案：n2-n+1综合运用6如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+1也成立,现已知p(n)对n=4不成立,则下列结论正 确的是().*a.p(n)对n? n成立*b.p(n)对n4且n? n成立c.p(n)对n4且n? n成立d.p(n)对n4且n? n*不成立解析：由题意，可知p(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理，可推得p(n)对n=2,n=1也不 成立.答案：d7用数学归纳法证明“1+ +- +,+ 1一 1)”时,由n=k(k1)不等式成立，推 2 32n -1证n=k+1时，左边应

5、增加的项数是()a.2 k-1b.2 k-1c.2kd.2k+1解析：左边的特点：分母逐渐增加1,末项为 -1;由 n=k,末项为 -1 到 n=k+1,末项为2n -12k -12k 1 -12k -1 2k，应增加的项数为2k.答案：c8观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 s 一设第n行的各数之和为 $,则lim 当=.n :n解析：第一行1=12,第二行 2+3+4=9=32,第三行 3+4+5+6+7=25=52,第四行 4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n项的各数之和 s=(2n-1) 2,sn2n -1 2lim 2 = lim

6、() =4.n )二.n n )二. n 答案：49 已知 y=f(x)满足 f(n-1)=f(n)-lgan-1(n 2,n? n)且 f(1)=-lga,是否存在实数a, 3 使f(n)=( a n2+ 3 n-1)lga 对任何n? n*都成立，证明你白结论.解析：. f(n)=f(n -1)+lga n-1,令 n=2,贝u f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0. 又 f=-lga,a + p = 0, 2 p +4a =1, .f(n)=(in2- 1n-1)lga. 22证明如下：(1)当n=1时，显然成立.(2)假设 n=k 时成立，即 f(k)=( k2- k-1)

7、lga,则 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga22=(k k2- k k-1+k)lga= ( (k+1) 2- ( (k+1)-1 1 iga.2222，当n=k+1时，等式成立.综合(1)(2),可知存在实数 “，3 且 ”=1,3=-二，使 f(n)=( & n2+ 3 n-1)lga 对任意 n? n*22都成立.拓展探究10 是否存在常数a,b,c使等式1 (n2-12)+2(n2-2 2)+,+n(n2-n 2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立？证明你白结论. 一 * .一 一，、思路分析：先取n=1,2,3探求a,b,c的值，然后用数学归纳

8、法证明对一切n? n,a,b,c所确定的等式都成立.1 a44b =,4c = 0.解：分别用n=1,2,3代入解方程组a b c = 016a 4b c = 3 =81a 9b c =18下面用数学归纳法证明.当n=1时，由上可知等式成立；(2)假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，(k+1) 2-(k+1) 2n-2个图形中共有左边=1(k+1)2-12 +2 (k+1) 2-22 +,+k(k+1)2-k2 +(k+1)=1 - (k 2-1 2)+2(k 2-2 2)+,+k(k2-k2)+1 (2k+1)+2(2k+1)+,+k(2k+1)=1 k4+(-1)k 2+(2k+1

9、)+2(2k+1)+,+k(2k+1)=1(k+1) 4- 1(k+1) 2.4444，当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)得等式对一切的n?n均成立.备选习题11如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,),则第 个顶点.解析：观察规律，第个图形有 3+3=(1+2) +(1+2);第二个图形有(2+2) 2+(2+2)=4 2+4;第三个图形有(3+2) 2+(3+2)=5 2+5;第 n-2 个图形有(n+2-2) 2+(n+2-2)=n 2+n 个顶点.答案:n2+n12下面四个判断中a.式子 1+k+k2+,+kb.式子 1+k+k2+,+k，正确的是()n(

10、n? n),当n=1时恒为1n-1(n? n),当 n=1 时恒为 1+kc.式子 1 + 工 + 1+,+ (n? n),当 n=1 时恒为 1+1+1 1 2 3 2n 12 3一一 111 一 一d.设 f(x)=+(n? n),则 f(k+1)=f(k)+3k 2 3k 3 3k -4n 1 n 2 3n 1答案：c13 若 n? n,求证:x n+1+(x+1) 2n-1 能被 x2+x+1 整除.证明:(1)当n=1时，命题显然成立.(2)设当 n=k 时,xk+1+(x+1) 2k-1 能被 x2+x+1 整除.法1:(添项)当n=k+1时，xk+2+(x+1) 2k+1=(x+

11、1) 2(x+1) 2k-1+xk+2+(x+1) 2xk+1-(x+1) 2xk+1=(x+1) 2 (x+1) 2k-1+xk+1 -(x 2+x+1)x k+1,而上面各项都能被 x2+x+1整除，即n=k+1时成立.法2:(拆项)当n=k+1时xk+2+(x+1) 2k+1=(x+1) 2(x+1) 2k-1+xk+2=(x2+x+1)(x+1) 2k-1+x (x+1) 2k-1+xk+1,以上各项都能被 x2+x+1整除，即n=k+1时成立.由(1)(2)命题彳#证.14用数学归纳法证明当 n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第二步应是()a.假设n=k(k? n)时命题成

12、立，推得n=k+1时命题成立b.假设n=2k+1(k? n)时命题成立，推彳导n=2k+3时命题成立c.假设k=2k-1(k? n)时命题成立，推彳导n=2k+1时命题成立d.假设n=k(k 1,k? n)时命题成立，推得n=k+2时命题成立答案：c15用数学归纳法证明“当n是非负数时，3 4n+2+52n+1能被14整除”的第二步中，为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为()a.34k+2 x 81+52k+1 x 25b.34k+1x 243+52k x 125c.25(3 4k+2+52k+1)+56 x 3 4k+2d.34k+4x 9+52k+2x 5答案：c16用数学归纳

13、法证明1+2+,+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时，左边所得的代数式是()b.1+3a.1c.1+2+3答案：cd.1+2+3+417用数学归纳法证明n, aw 1)中，在验证n=1成立时，左边应为1 _an 21+a+a2+,+a n+1 =(n?1 -a()a.1b.1+ac.1+a+ad.1+a+a +a答案：c18 求证：1+2+22+23+,+2 5n-1 能被 31 整除.证明：记 f(n)=1+2+2 2+23+,+2 5n-1,用数学归纳法.当n=1时，命题显然成立.根据归纳假设，当n=k时，命题成立，即f(k)=1+2+2 2+23+,+2 5k-1能被31整除.要证明n