第7章模糊计算

1、第七章第七章 模糊计算模糊计算 南京大学地理与海洋科学学院 谢顺平 2021-8-9南京大学地理信息科学系2 第七章第七章 模糊计算模糊计算 “模糊”(Fuzzy)指概念外延不明确的不确定性。 “模糊” 比 “清晰” 所包含的信息量更大，内涵 更为丰富，更贴近客观世界。为了克服经典集合 不能表现模糊概念的限制，美国计算机与控制论 专家L.A. Zadeh于1965年提出模糊集合的重要概念， 并将模糊集合论应用于近似推理方面，形成了可 能性理论。模糊逻辑和可能性理论已广泛应用于 专家系统和智能控制中，模糊计算就是以模糊逻 辑为基础的计算。 2021-8-9南京大学地理信息科学系3 7.1 模糊逻

2、辑的数学基础模糊逻辑的数学基础 一般而言，在不同程度上具有某种特定属性 的所有元素的总和称为模糊集合。模糊集合的基 本思想就是把经典集合中的隶属关系加以扩充， 将元素对“集合”的隶属程度由只能取和这 两个值推广到取单位闭区间 0，1上的任意数值， 从而实现定量地刻画模糊对象。 隶属函数用 (x)表示，其中A表示模糊集合， 隶属函数满足条件: 0 (x)1 2021-8-9南京大学地理信息科学系4 7.1.1 模糊集合模糊集合 有了隶属函数以后，就可以把元素对模糊集合 的归属程度恰当地表示出来。例如青年是一个模 糊集合，用普通集合A表示为： A=x|15岁x35 如果用模糊集合A表示，并且有 2

3、 ) 7 25 ( )( x exA 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 1 (x) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 1 (x) 2021-8-9南京大学地理信息科学系5 7.1.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 定义定义7.1： 设U是论域，A (u)是把任意 uU 映射 到区间0, 1上某个值的函数，即 A：U0, 1 u A(u) 则称A为定义在U上的隶属函数，由A(u)(uU) 所构成的集合A称为U上的一个模糊集，A表示u 属于模糊子集A的隶属度。 模糊集合A是个抽象的概念，其元素是不确定 的，只能通过隶属函数A认识和掌握A，A(u)

4、的 值越接近1，表示u隶属于A的程度越高，A(u)的 值越接近0，表示u隶属于A的程度越低。 2021-8-9南京大学地理信息科学系6 7.1.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 例如对论域U=1, 3, 5, 7, 9，可用模糊集A和B分 别把其中数据的模糊概念“大”和“小”表示出 来。 可以设： A(1)=0, A(3)=0.05, A(5)=0.2, A(7)=0.6, A(9)=1 B(1)=1, B(3)=0.5, B(5)=0.1, B(7)=0.05, B(9)=0 2021-8-9南京大学地理信息科学系7 7.1.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 A(u), n

5、n n i i i u uA u uA u uA u uA A )()()()( 2 2 1 1 1 2021-8-9南京大学地理信息科学系8 7.1.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 例如：考虑5个科研项目, 分别记为u1,u2,u3,u4,u5， 取论域U=u1,u2,u3,u4,u5, 鉴定专家按各项技术指 标给这些项目对“成果优秀”的符合程度打分， 取其平均值除以100的结果为： u1：87分，记 A(u1)=87/100=0.87 u2：73分，记 A(u2)=73/100=0.73 u3：94分，记 A(u3)=94/100=0.94 u4：85分，记 A(u4)=87/1

6、00=0.87 u5：79分，记 A(u5)=79/100=0.79 论域U上“成果优秀”的模糊集合A可以表示为： 54321 5 1 79. 085. 094. 073. 087. 0)( uuuuuu uA A i i i 2021-8-9南京大学地理信息科学系9 7.1.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 Uu u uA A )( 2021-8-9南京大学地理信息科学系10 7.1.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 12 ) 5 25 (1 , 1 )( u uY 0u25 25u200 25 0 200 25 12 /) 5 25 (1 /1u u uY 0 5 10 1

7、5 20 25 30 35 40 45 1 (u) 用Zadeh的无限论域表示法表示如下： 2021-8-9南京大学地理信息科学系11 7.1.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 如考虑论域U=1,2,3,10上“大”、“小”两 个模糊概念，并分别用模糊集合A、B表示如下： A=(4,0.2),(5,0.4),(6,0.5),(7,0.7),(8,0.9),(9,1),(10,1) B=(1,1),(2,0.9),(3,0.6),(4,0.4),(5,0.2),(6,0.1) A=(A(u1), A(u2), ,A(un) 将上面“大”、“小”两个模糊集合用向量表示 如下: A=(0,

8、0, 0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.7, 0.9, 1, 1) B=(1, 0.9, 0.6, 0.4, 0.2, 0.1, 0, 0, 0, 0) 2021-8-9南京大学地理信息科学系12 定义定义7.2 设U为论域，A和B是U上的两个模糊集 合，则有以下运算 ： 1）包含运算 如果对任意uU, 都有: A(u)B(u) , 则称A包含于B， 或称B包含A，记为AB, 即 AB A(u)B(u) uU 2) 相等 如果AB且 BA，则称A与B相等，记为A=B， 即 A=B A(u)=B(u), uU 7.1.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 2021-8-9南京大学地理信息科学系

9、13 7.1.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 3）并运算 A与B的并记作AB, 其隶属函数为 AB: (AB)(u)=A(u) B(u)=max A(u), B(u) 其中 表示取上确界。 4）交运算 A与B的交记作AB, 其隶属函数为 AB: (AB)(u)=A(u) B(u)=min A(u), B(u) 其中 表示取下确界。 5）补运算 A的补模糊集合记作A，其隶属函数为 A: A(u)=1-A(u) 2021-8-9南京大学地理信息科学系14 7.1.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 例如设某油田有5个不同的采油厂，这些采油厂构 成的论域为U=u1 ，u2，u3，u4， u5，并有:

10、 “产量高” A=0.9, 0.5, 0.6, 0.8, 0.8 “油质好” B=0.7, 0.8, 0.3, 0.7, 0.85 (1) “产量高且油质好” 为 AB=(0.9 0.7, 0.5 0.8, 0.6 0.3, 0.8 0.7, 0.8 0.85) =(0.7, 0.5, 0.3, 0.7, 0.8) (2) “产量高或油质好” 为 AB=(0.9 0.7, 0.5 0.8, 0.6 0.3, 0.8 0.7, 0.8 0.85) =(0.9, 0.8, 0.6, 0.8, 0.85) (3) “产量不高”为 A=(1-0.9, 1-0.5, 1-0.6, 1-0.8, 1-0.

11、8) =(0.1, 0.5, 0.4, 0.2, 0.2) 2021-8-9南京大学地理信息科学系15 7.1.3 模糊集合的运算模糊集合的运算 模糊集运算的基本定理 (1) 幂等律 AA=A, AA=A (2) 交换律 AB= BA, AB= BA (3) 结合律 A(BC) = (AB)C A(BC) = (AB)C (4) 分配律 A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC) (5) 同一律 AU=A, A=A (6) 吸收律 A(AB)=A, A(AB)=A (7) 德.摩根律 (AB)= AB (对偶律) (AB)= AB (8) 互补律 AA=U, AA= 2

12、021-8-9南京大学地理信息科学系16 7.1.4 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法 常用确定模糊隶属函数的方法有模糊统计法、 相对比较法和专家经验法。 模糊统计法模糊统计法 对于模糊统计试验，在论域U中给出 一个元素u，再考虑 n 个具有模糊集合A属性的经 典集合A，统计元素u对各个A的归属次数。 U对 A的归属次数和n的比值就是u对A的隶属函数。 n Au uA n 的次数 lim)( 当n足够大时，隶属函数A(u)趋于稳定。 2021-8-9南京大学地理信息科学系17 7.1.4 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法 例. 已知20人的身高分别为1.50,1.55,1.56,1.6

13、0, 1.61, 1.64,1.65,1.69,1.70,1.71,1.73,1.75,1.77,1.78,1.80,1.84, 1.90,1.91,1.94,1.98。考虑“中等身材”集合A以及 1.71属于A的隶属度。现有20位评委分别给出的“中 等身材”经典集合定义： 1.601.69 1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.73 1.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.78 1.601.71 1.631.73 1.651.78 1.611.72 1.641.72 1.671.78 1.601.70 1.681.78

14、1.611.73 1.621.72 在 20人中身高落在这组A*内的人有12人, 根据他 们出现在A*各组中的频率, 可得取隶属度为: 2021-8-9南京大学地理信息科学系18 7.1.4 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法 69. 1 1 65. 1 8 . 0 64. 1 65. 0 61. 1 35. 0 60. 1 25. 0 56. 1 05. 0 A A(1.56)=1/20=0.05 A(1.60)=5/20=0.25 A(1.61)=7/20=0.35 A(1.64)=13/20=0.65 A(1.65)=16/20=0.8 A(1.69)=20/20=1 A(1.70)=

15、18/20=0.9 A(1.71)=15/20=0.75 A(1.73)=10/20=0.5 A(1.75)=6/20=0.3 A(1.77)=4/20=0.02 A(1.78)=4/20=0.02 78. 1 2 . 0 77. 1 2 . 0 75. 1 3 . 0 73. 1 5 . 0 71. 1 75. 0 70. 1 9 . 0 显然1.71属于A的隶属度为0.75, 而A(1.90)=0 。 即 2021-8-9南京大学地理信息科学系19 7.1.5 模糊截集及其性质模糊截集及其性质 定义定义7.3 设A是论域U上一个模糊集, 任取0,1, 记 称A为A的截集，而称为阈值或置信水

16、平。 以下称AS 为A的强截集。 )(| uAUuA )(| uAUuAS 截集是由论域U中对于模糊集合A的隶属度达到 或超过阈值的元素构成的集合。 强截集是由论域U中对于模糊集合A的隶属度超 过阈值 的元素构成的集合。 2021-8-9南京大学地理信息科学系20 则 A0=U, A0.2=U, A0.3=u2, u3, u4, u5, u6 A0.4=u2, u3, u4, u6, A0.6=u3, u4, u6 A0.8=u3, u4, A1=u3 A0=U, A0.2=u2, u3, u4, u5, u6, A0.3=u2, u3, u4, u6, A0.4=u3, u4, u6, A0

17、.6=u3, u4, A0.8=u3, A1= 显然A和AS均是经典集合，且AS A U 。 7.1.5 模糊截集及其性质模糊截集及其性质 654321 6 . 03 . 08 . 014 . 02 . 0 uuuuuu A 例. 设U=u1, u2, u3, u4, u5, u6， 2021-8-9南京大学地理信息科学系21 截集与强截集的性质 定理定理7.1. 设A为论域U上的任一模糊集, 则 (1) 0,1, AS A (2) A0=U, AS1= (3) 1, 2 0,1且1 2, A2 A1 (4) 1, 2 0,1且1 2 , AS2 AS1 定理定理7.2. 设A,B为论域U的两

18、个模糊集, 0,1, 则 (1) (AB)= AB (2) (AB)= AB (3) (AB)S= ASBS (4) (AB)S= ASBS 7.1.5 模糊截集及其性质模糊截集及其性质 2021-8-9南京大学地理信息科学系22 7.1.5 模糊截集及其性质模糊截集及其性质 )()() 1 ( t Tt t Tt AA 对于无限个模糊集的情形, 有如下定理. 定理定理7.3. 设T为任意指标集, tT, At为论域U上 的任一模糊集, 则 )()()2( t Tt t Tt AA SAA t Tt S t Tt )()()3( SAA t Tt S t Tt )()()4( 2021-8-9

19、南京大学地理信息科学系23 7.1.6 模糊集之间的贴近度模糊集之间的贴近度 定义定义7.4 设A和B是论域U上两个模糊集，则 )()(uBuABA Uu 为与的内积； )()(uBuABA Uu 为与的外积。 特别当U=u1, u2, un 时，有 (1) (2) )()( 1 ii n i uBuABA )()( 1 ii n i uBuABA 2021-8-9南京大学地理信息科学系24 内积与外积的性质 7.1.6 模糊集之间的模糊集之间的贴近度贴近度 ),( 1 i n i uAA )( 1 i n i uAA , BABABABA (1) (2)设 则 (3) (4) (5) ,AA

20、A ,ABAAB AAA BBA ,)(BABABABA )( , 5 . 0AA5 . 0 AA 2021-8-9南京大学地理信息科学系25 7.1.6 模糊集之间的模糊集之间的贴近度贴近度 从模糊向量内积与外积的定义可以看出, 内积 寻求最小值中的最大值，外积寻求最大值中的最 小值，当A与B越接近时， A B越大，AB越小。 定义定义7.5 设A、B为两个n维模糊集合的模糊向量， 则A与B的格贴近度定义为： )()(),(BABABAN 例. 设 A=(0.2, 0.6, 1, 0.8, 0.4), B=(0.3, 0.5, 1, 0.7, 0.3) (A B)=(0.20.3)(0.60

21、.5)(11)(0.80.7)(0.40.3) =0.20.510.70.3=1 (AB)=(0.20.3)(0.60.5)(11)(0.80.7)(0.40.3) =0.30.610.80.4=0.3 N(A, B)= (A B)(AB)=1(1-0.3)=0.7 2021-8-9南京大学地理信息科学系26 7.1.6 模糊集之间的模糊集之间的贴近度贴近度 )()(),(BABABAN 对一般论域而言的几种常用贴近度N的定义： 给定论域U，设A、B为论域U的两个模糊集，则 )()( 2 1 ),(BABABAN n i ii n i ii uBuA uBuA BAN 1 1 )()( )()

22、( ),( 1. 格贴近度 2. 平均贴近度 3. 最大-最小贴近度 2021-8-9南京大学地理信息科学系27 7.1.6 模糊集之间的模糊集之间的贴近度贴近度 n i ii n i ii uBuA uBuA BAN 1 1 )()( )()(2 ),(4. 最小平均贴近度 5. 采用距离定义的贴近度 P n i P iim uBuABAD 1 1 | )()(|),( 当p=1时，Dm为海明距离，记为DH ，当p=2时， Dm为欧几里德距离，记为DE 。 2021-8-9南京大学地理信息科学系28 7.1.7 模糊模式识别模糊模式识别 1. 最大隶属原则最大隶属原则 定义定义7.6 设论域

23、U上n个模糊集Ai (i=1, 2, n)为n 个标准模式，任取u0U，若存在i1,2,n, 使得 )()( 0 1 0 uAuA j n j i 则称u0相对地属于Ai 例. 设有6种商品的集合为U=u1, u2, u3, u4, u5, u6, 将这些商品分为滞销商品、脱销商品、畅销商品 三类，分别对应于模糊集A1, A2, A3, 且 2021-8-9南京大学地理信息科学系29 7.1.7 模糊模式识别模糊模式识别 654321 1 4 . 05 . 06 . 001 . 01 uuuuuu A 654321 2 05. 0001 . 01 . 00 uuuuuu A 现根据最大隶属原则

24、判断商品u2和u4属于哪一类： 由于 A1(u2)A2(u2)A3(u2)=0.10.10.8=0.8= A3(u2) A1(u4)A2(u4)A3(u4)=0.600.4=0.6= A1(u2) 所以u2属于畅销商品, u4属于滞销商品。 654321 3 5 . 04 . 04 . 018 . 00 uuuuuu A 滞销商品 脱销商品 畅销商品 2021-8-9南京大学地理信息科学系30 7.1.7 模糊模式识别模糊模式识别 2. 择近原则择近原则 定义定义7.7 设论域U上n个模糊集Ai (i=1,2,n)为n个 标准模式，有U上的模糊集B为待识别对象, 若存 在ii=1,2,n, 使

25、得 ),(max),( 1 BANBAN j nj i 则称B与Ai最贴近，并判定B与Ai 一类。这里采用 格贴近度N(A, B)。 例. 设论域U=u1, u2, u3, u4, u5, u6上有五类模式 A1、A2、A3、A4、A5和样本B，判断B的归属类。 2021-8-9南京大学地理信息科学系31 7.1.7 模糊模式识别模糊模式识别 A1=(0.6, 0.3, 0.2, 0, 0.5, 0.1) A2=(0.7, 1, 0.3, 0, 0.8, 0.9) A3=(0.2, 1, 0.8, 0.4, 0.5, 0.1) A4=(0.8, 0, 0.4, 0.5, 0.7, 0 ) A5

26、=(0.5, 0.3, 0.6, 1, 0, 0.4) B=(0.7, 0.4, 0.6, 0.3, 0.4, 0.8) 由于 A1 B=0.6, A2 B=0.8, A3 B=0.6, A4 B=0.7, A5 B=0.7 A1B=0.3, A2 B=0.3, A3 B=0.4, A4B=0.4, A5 B=0.4 2021-8-9南京大学地理信息科学系32 7.1.7 模糊模式识别模糊模式识别 根据格贴近度公式: N(A1,B)= (A1 B)(A1B)=0.60.7=0.6 N(A2,B)= (A2 B)(A2B)=0.80.7=0.7 N(A3,B)= (A3 B)(A3B)=0.60

27、.6=0.6 N(A4,B)= (A4 B)(A4B)=0.70.6=0.6 N(A5,B)= (A5 B)(A5B)=0.60.6=0.6 显然 N(A2,B)= N(A1,B)N(A2,B)N(A3,B) N(A4,B)N(A5,B) 根据择近原则，可判定B归属第二类。 2021-8-9南京大学地理信息科学系33 7.2 模糊关系模糊关系 设U, V为两个论域, UV上普通幂集的一 个子集R称为U到V的一个普通关系, 其中UV为U 和V的笛卡尔积, UV=(u,v) |uU,vV。 对于任意uU, vV，若(u,v)R , 则称u对于v有 关系R,记作uRv, 若(u,v)R，则称u对于v

28、没有关系 R, 记作 。 vRu 例. U表示全校学生的集合, V表示所开设课程的 集合, 令R=(u,v):v是u所选课程, 则R表示从U到 V的“选课”关系。 2021-8-9南京大学地理信息科学系34 7.2.1 普通关系及其运算普通关系及其运算 设U=u1,u2,um, V=v1,v2,vn, R为 U到V的一个普通关系, 记作R=(rij)mn ，其中 rij =R(ui,vj) i=1,2, m； j=1,2, ,n 由于R是UV的一个经典集合, 故 Rvu Rvu vuR ji ji ji ),(0 ),(1 ),( 这时R=(rij)mn 为一个mn阶矩阵, 或称布尔矩阵。 显

29、然有限论域间的普通关系可以用布尔矩阵表示。 2021-8-9南京大学地理信息科学系35 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 设U, V为两个论域, UV上模糊幂集的一个 子集R称为U到V的一个模糊关系, 对(u,v)UV, 称 R(u,v)为u对于v具有关系R的相关程度。 R(u,v)反映了u对于v的相关程度(0R(u,v)1)； 若R(u,v)越接近1, 则u与v对于R而言关系越密切； 若R(u,v)越接近0, 则u与v对于R而言关系越稀疏； 若(u,v)UV, 有R(u,v)=0, 称R为U到V的零关系； 若(u,v)UV, 有R(u,v)=1, 称R为全称关系； 若R(u,v)

30、0,1时, u与v对于R具有明确关系。 2021-8-9南京大学地理信息科学系36 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 例. 取U=部门1, 部门2, 部门3, 部门4, V=优质产品, 合格产品,不合格产品, 通过对各自100件样品的检 查, 有以下结果。 优质产品合格产品不合格产品 部门182162 部门278220 部门384160 部门4731512 部门 级别 2021-8-9南京大学地理信息科学系37 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 优质产品合格产品不合格产品 部门10.820.160.2 部门20.780.220.0 部门30.840.160.0 部门40

31、.730.150.12 部门 级别 若将各级别产品的数目折算成隶属度来表示各生 产部门属于各等级产品标准的程度, 下表可确定 一个从U到V的模糊关系R。 2021-8-9南京大学地理信息科学系38 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 设U=u1,u2,um, V=v1,v2,vn, R 为 U到V的一个模糊关系, 则R可以用一个mn阶 矩阵表示，记作R=(rij)mn ，其中 rij =R(ui,vj) i=1,2, m； j=1,2, ,n 由于R(ui,vj) 0, 1, 故称R=(rij)mn为模糊矩阵。 12.015.073.0 0 .016.084.0 0 .022.078

32、.0 02.016.082.0 R 如 2021-8-9南京大学地理信息科学系39 人口素质高校数目科研机构数 区域1556133 区域2322918 区域3474123 区域4281811 区域 规格化指标 2021-8-9南京大学地理信息科学系40 11. 018. 028. 0 23. 047. 041. 0 18. 029. 032. 0 33. 061. 055. 0 R 2021-8-9南京大学地理信息科学系41 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 设R与Q为从U到V的模糊关系, 则 (4) R的转置 (1) R与Q的并 VUvuvuQvuRvuQR),(),(),(),

33、)( VUvuvuQvuRvuQR),(),(),(),)( (2) R与Q的交 VUvuvuRvuR),(),(1),( (3) R的补 VUvuuvRvuR T ),(),(),( 2021-8-9南京大学地理信息科学系42 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 VUvuvuQvuR),(),(),( (5) 称RQ, 如果 VUvuvuQvuR),(),(),( (6) 称R=Q, 如果 (7) R的截关系和强截关系(经典集合) ),(:),( uvRVUvuR ),(:),( uvRVUvuRS (8) 与R的模糊截积关系R VUvuvuRvuR),(, 1 , 0),(),)

34、( 2021-8-9南京大学地理信息科学系43 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 例. 设R,Q均为U=u1,u2,u3上的模糊关系, 且 4 . 06 . 03 . 0 2 . 019 . 0 5 . 03 . 08 . 0 R 8 . 03 . 06 . 0 7 . 05 . 02 . 0 4 . 016 . 0 Q 8 . 06 . 06 . 0 7 . 019 . 0 5 . 018 . 0 8 . 04 . 03 . 06 . 06 . 03 . 0 7 . 02 . 05 . 012 . 09 . 0 4 . 05 . 013 . 06 . 08 . 0 QR 2021

35、-8-9南京大学地理信息科学系44 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 4 . 06 . 03 . 0 2 . 019 . 0 5 . 03 . 08 . 0 R 8 . 03 . 06 . 0 7 . 05 . 02 . 0 4 . 016 . 0 Q 4 . 03 . 03 . 0 2 . 05 . 02 . 0 4 . 03 . 06 . 0 8 . 04 . 03 . 06 . 06 . 03 . 0 7 . 02 . 05 . 012 . 09 . 0 4 . 05 . 013 . 06 . 08 . 0 QR 2021-8-9南京大学地理信息科学系45 7.2.2 模糊关

36、系及其运算模糊关系及其运算 4 . 02 . 05 . 0 6 . 013 . 0 3 . 09 . 08 . 0 4 . 06 . 03 . 0 2 . 019 . 0 5 . 03 . 08 . 0 T T R 101 100 011 6 . 0 Q 6 . 04 . 07 . 0 8 . 001 . 0 5 . 07 . 02 . 0 4 . 016 . 013 . 01 2 . 01119 . 01 5 . 013 . 018 . 01 R 4 . 06 . 03 . 0 2 . 07 . 07 . 0 5 . 03 . 07 . 0 4 . 07 . 06 . 07 . 03 . 0

37、7 . 0 2 . 07 . 017 . 09 . 07 . 0 5 . 07 . 03 . 07 . 08 . 07 . 0 7 . 0 R 2021-8-9南京大学地理信息科学系46 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 设U,V,W为三个论域, R为从U到V的模糊 关系, Q为从V 到W的模糊关系, 则R与Q合成是U到 W的一个模糊关系, 记作R Q, 其中 R Q=(u,w)UW:存在vV, 使(u,v)R且(v,w)Q 用隶属函数表示为: WUwuwvQvuRwuQR Vv ),(),(),(),)( , 2 , 1, 10 nRRRIR nn 若R=(rij)mn , Q=

38、(qjk)nl R Q= (pik)ml lkmiqrp jkij n j ik , 2 , 1;, 2 , 1),( 1 2021-8-9南京大学地理信息科学系47 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 例设=u1,u2,u3,u4 为生产资料商品集, V=v1,v2为两种消费品的集合，W=w1,w2,w3为 三个市场的细分，以R表示U到V的原料供应关系, 以Q表示V到W的市场占有关系，若取 60.025.0 63.012.0 80.030.0 40.060.0 R 82. 053. 047. 0 24. 045. 038. 0 Q 则生产资料对市场的间接占有关系即为R Q。 202

39、1-8-9南京大学地理信息科学系48 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 60.053.047.0 63.053.047.0 80.053.047.0 40.045.040.0 82.053.047.0 24.045.038.0 60.025.0 63.012.0 80.030.0 40.060.0 QR 其中pik(i=1,2,3,4; k =1,2,3)表示第 i 种生产资料对 市场k的间接占有关系。 2021-8-9南京大学地理信息科学系49 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 设P, Q, R为三个模糊关系, 且可进行合成 运算, 则有 (1) 结合率: R (Q

40、P)= ( R Q) P (2) 分配率: (RQ) P= ( R P)(Q P) P (RQ) = (P R)(P Q) (3) 单调性: R Q R PQ P (4) (RQ) P ( R P)(Q P) P (RQ) (P R)(P Q) 2021-8-9南京大学地理信息科学系50 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 T T TT RQ 60. 025. 0 63. 012. 0 80. 030. 0 40. 060. 0 82. 053. 047. 0 24. 045. 038. 0 设RF(UV), QF(VW), F为UV或VW 上模糊关系幂集(模糊关系全体), 则 (1

41、) (R Q)T= QT RT (T表示转置运算) (2) 若RF(UU), 则 (Rn)T=(RT)n 例. 对生产资料消费品市场的 关系R和Q， 有 2021-8-9南京大学地理信息科学系51 7.2.2 模糊关系及其运算模糊关系及其运算 60. 063. 080. 040. 0 25. 012. 030. 060. 0 82. 024. 0 53. 045. 0 47. 038. 0 TT RQ T T QR)( 60. 053. 047. 0 63. 053. 047. 0 80. 053. 047. 0 40. 045. 040. 0 60. 063. 080. 040. 0 53.

42、 053. 053. 045. 0 47. 047. 047. 040. 0 2021-8-9南京大学地理信息科学系52 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 设模糊关系RF(UU), 则 (1)如果IR, 即u U, R(u,u)=1, 则称R为自反的； (2)如果u,vU, R(u,u) R(u,v), 则称R为弱自反的； (3)如果0,uU, R(u,u), 则称R为自反的； (4)如果uU, R(u,u)=0, 则称R为反自反的； (5)包含R最小的自反模糊关系为R的自反闭包, 记作 r(R). 2021-8-9南京大学地理信息科学系53 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 例. 设

43、U=u1, u2, u3, RF(UU), 有 15 . 08 . 0 3 . 014 . 0 6 . 02 . 01 ) 1 (R 9 . 04 . 05 . 0 5 . 07 . 06 . 0 3 . 07 . 08 . 0 )2(R 08 . 03 . 0 4 . 006 . 0 14 . 00 ) 3(R 自反模糊矩阵 弱自反模糊矩阵 0.7自反模糊矩阵 反自反模糊矩阵 2021-8-9南京大学地理信息科学系54 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 设RF(UU), 则下列结论成立: (1) R是自反的当且仅当R是反自反的； (2) R是反自反的当且仅当RI=； (3) 若R是自反的

44、,则nN, RnRn+1且Rn也自反； (4) 若R是弱自反的,则nN, RnRn+1 ； (5) R的自反闭包r(R)=RI ； (6) R是自反的当且仅当0, 1, R是自反的. 2021-8-9南京大学地理信息科学系55 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 15 . 08 . 0 4 . 014 . 0 6 . 05 . 01 05 . 02 . 0 7 . 006 . 0 4 . 08 . 00 15 . 08 . 0 3 . 014 . 0 6 . 02 . 01 2 RRRR则若 000 000 000 100 010 001 04 . 05 . 0 5 . 006 . 0 3

45、. 07 . 00 04 . 05 . 0 5 . 006 . 0 3 . 07 . 00 IRR则若 14 . 05 . 0 5 . 016 . 0 3 . 07 . 01 100 010 001 04 . 05 . 0 5 . 006 . 0 3 . 07 . 00 )(IRRr 例. 设U=u1,u2,u3, RF(UU), 有 2021-8-9南京大学地理信息科学系56 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 设RF(UU), 若RT=R, 则称R为对称模糊 关系; 而称包含R的最小对称模糊关系为R的对称闭 包, 记作s(R). 设RF(UU), 则下列结论成立: (1) R RT是对称

46、且弱自反模糊关系； (2) 若R是对称的, 则nN, Rn也是对称的； (3) 若R,Q是对称的, 则当R Q= Q R时, R Q为对 称； (4) s(R)=RRT； (6) R是对称的当且仅当0.1, R是对称的. 2021-8-9南京大学地理信息科学系57 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 14.05.08.0 4.07.03.01.0 5.03.02.06.0 8.01.06.01 R 例. U=u1, u2, u3 , u4, RF(UU), 则下面R为对称 模糊矩阵 仍为对称 8 .04 .06 .08 .0 4 .07 .04 .04 .0 6 .04 .06 .06 .0

47、 8 .04 .06 .01 2 RRR 2021-8-9南京大学地理信息科学系58 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 例. U=u1, u2, u3, RF(UU), 且 7 .08 .06 .0 4 .02 .00 3 .05 .01 .0 R 7 . 08 . 06 . 0 8 . 02 . 05 . 0 6 . 05 . 01 . 0 7 . 04 . 03 . 0 8 . 02 . 05 . 0 6 . 001 . 0 7 . 08 . 06 . 0 4 . 02 . 00 3 . 05 . 01 . 0 )( T RRRs 则其对称闭包为 2021-8-9南京大学地理信息科学系

48、59 8 . 04 . 05 . 0 4 . 04 . 03 . 0 5 . 03 . 05 . 0 7 . 04 . 03 . 0 8 . 02 . 05 . 0 6 . 001 . 0 7 . 08 . 06 . 0 4 . 02 . 00 3 . 05 . 01 . 0 T RR 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 关系合成R RT呈现出对称且弱自反的模糊关系： 同样对于U=u1, u2, u3, RF(UU), 且 7.08.06.0 4.02.00 3.05.01.0 R 2021-8-9南京大学地理信息科学系60 设RF(UU), 若R RR, 则称R为传递 模糊关系; 而称包含

49、R最小的传递模糊关系为R的 传递闭包, 记作t(R). 设U=u1,u2,un, RF(UU), 则有: (1) 若R是传递的, 则nN, Rn也是传递的； (2) R是传递的当且仅当0.1, R是传递的； 若R是自反的, mn, 有t(R)=Rm ； (4) 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 k n k RRt 1 )( 2021-8-9南京大学地理信息科学系61 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 3 . 000 3 . 02 . 00 3 . 02 . 01 . 0 RRRRR 3 . 000 3 . 02 . 00 3 . 02 . 01 . 0 2 例设U=u1,u2,u3,

50、RF(UU), 且 则 由于R R=RR，故R为传递的模糊矩阵。 例. 设有R, 求R的传递闭包t(R)。 13 . 03 . 01 . 0 2 . 012 . 03 . 0 1 . 03 . 012 . 0 2 . 01 . 03 . 01 R 13 . 03 . 03 . 0 2 . 013 . 03 . 0 2 . 03 . 013 . 0 2 . 03 . 03 . 01 2 R 13 . 03 . 03 . 0 2 . 013 . 03 . 0 2 . 03 . 013 . 0 2 . 03 . 03 . 01 22 RR 由于R2 R2 =R2 , 即R4R2, 所以t(R)=R2

51、 2021-8-9南京大学地理信息科学系62 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 设RF(UU), 若R是自反和对称的, 则称 R为相似模糊关系; 而称包含R的最小的相似模糊关 系为相似闭包, 记作a(R). 设RF(UU), 则有: (1) 若R为相似模糊关系, 则nN, Rn也是相似的； (2) R为相似的当且仅当0.1, R是相似的. 例设U=u1,u2,u3, RF(UU), 且 13 . 02 . 0 3 . 016 . 0 2 . 06 . 01 R 显然R既是自反的又是对称 的, 所以R为相似模糊矩阵 2021-8-9南京大学地理信息科学系63 7.2.3 模糊等价关系模糊等价

52、关系 设RF(UU), 若R满足自反性、对称性 和传递性, 则称R为模糊等价关系; 而称包含R的最 小的模糊等价关系为R的等价闭包, 记作e(R). 设RF(UU), 则有: (1) 若R为等价的, 则nN, Rn也是等价的； (2) R为等价的当且仅当0.1, R为等价的； (3) R为等价的当且仅当R为传递的模糊相似关系； (4) 若R为模糊相似关系, 则e(R)=t(R), 即R的等价闭 包等于R的传递闭包(由于t(R)相对容易获得). 2021-8-9南京大学地理信息科学系64 7.2.3 模糊等价关系模糊等价关系 例设U=u1,u2,u3, u4, u5, RF(UU), 且 120

53、. 090. 085. 085. 0 20. 0120. 020. 020. 0 90. 020. 0185. 080. 0 85. 020. 085. 0180. 0 80. 020. 080. 080. 01 R 由于IR， RT=R且R R=RR，即关系R满足自 反性、对称性和传递性, 故R为模糊等价关系. 2021-8-9南京大学地理信息科学系65 7.3 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析 模糊聚类分析就是利用模糊数学方法，根据事物 间的模糊关系及不同特征、亲疏程度和相似性等， 对事物进行分类的方法。由于模糊聚类分析更符合 客观实际，在天气预报、灾害预测、环

54、境保护、资 源勘探、图像处理等领域得到广泛应用。 一个合适的分类应当具备下列三个条件： (1) 自反性: 任何一个对象必须和自己在同一类； (2) 对称性: 若对象u与对象v同类, 则v与u也同类； (3) 传递性: 若对象u与对象v同类, 对象v与对象w同 类, 则u与w也应同类. 2021-8-9南京大学地理信息科学系66 7.3 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析 由于合适分类三个必备条件就是一个等价关系, 因此模糊聚类分析根据模糊等价关系进行。 设被分类对象的集合为U=u1,u2, un, 其中每个 对象有m个特征指标(对象与特征间模糊关系的隶 属度), 其向

55、量为ui=ui1,ui2, ,uim i=1,2,n U的特征指标矩阵 nmnn m m uuu uuu uuu U 21 22221 11211 2021-8-9南京大学地理信息科学系67 7.3.1 数据规格化数据规格化 为消除因特征指标单位的差异和特征指标数量 级不同而可能造成的特征指标对分类作用影响尺 度的不统一, 需要对特征指标实施规格化处理。 (1) 数据标准化 mjuu n u n u n i jijj n i ijj , 2 , 1,)( 1 , 1 1 22 1 mjni uu u j jij ij , 2 , 1;, 2 , 1 (2) 均值规格化 mjni u u j i

56、j ij , 2 , 1;, 2 , 1 2021-8-9南京大学地理信息科学系68 7.3.1 数据规格化数据规格化 (3) 中心规格化 mjniuuu ijijij , 2 , 1;, 2 , 1, (4) 最大值规格化 mjni M u u j ij ij , 2 , 1;, 2 , 1, mjuuuM njjjj , 2 , 1,max 21 2021-8-9南京大学地理信息科学系69 7.3.1 数据规格化数据规格化 (5) 极差规格化 mjni mM mu u jj jij ij , 2 , 1;, 2 , 1, mjuuum njjjj , 2 , 1,min 21 (6) 对数

57、规格化 mjniuu ijij , 2 , 1;, 2 , 1,log 2021-8-9南京大学地理信息科学系70 7.3.2 构造模糊相似矩阵构造模糊相似矩阵 设数据ukl (k=1,2,n; l=1,2,m)均已规格化, 用多 元分析方法确定ui=(ui1,ui2,uim)和uj= (uj1,uj2,ujm) 之间的相似程度: rij=R(ui,uj)0,1, i, j=1,2,n 从而构造出一个对象与对象之间的模糊相似矩阵 nnnn n n rrr rrr rrr R 21 22221 11211 其中rij的计算有多种方法 2021-8-9南京大学地理信息科学系71 7.3.2 构造模

58、糊相似矩阵构造模糊相似矩阵 1. 相似系数法 (1) 数量积法 ji ij uu M r 1 1 i=j ij 其中M0为适当选择的参数且Mmaxui uj| ij (2)夹角余数法 ji ji ij uu uu r 2 1 1 2 m k iki uu其中模 2021-8-9南京大学地理信息科学系72 7.3.2 构造模糊相似矩阵构造模糊相似矩阵 (3) 相关系数法 2 1 1 2 2 1 1 2 1 m k jjk m k iik jjk m k iik ij uuuu uuuu r (4) 指数相关系数法 m k k jkik ij uu m r 1 2 4 3 exp 1 2021-8

59、-9南京大学地理信息科学系73 7.3.2 构造模糊相似矩阵构造模糊相似矩阵 2. 距离法 利用对象ui和uj的距离d(ui, uj)确定相似程度, 取 rij=1-cd(ui, uj) 适当选取c和 使rij 0,1 jkik mk ji uuuud 1 max),(1) Chebyshev距离 m k jkikji uuuud 1 ),(2) Hamming距离 (3) Euclid距离 2 1 1 2 )(),( m k ji ujkuikuud (4) Minkowki距离 1,)(),( 1 1 pujkuikuud P m k P ji 2021-8-9南京大学地理信息科学系74

60、7.3.2 构造模糊相似矩阵构造模糊相似矩阵 m k jkik jkik ji uu uu uud 1 ),(5) Lambert距离 T jijiji uuVuuuud)()(),( 1 (6) Markov距离 (7) 绝对值指数法 m k jkikij uur 1 exp (8) 绝对倒数法 m k jkik ij uuc r 1 / 1 i=j ij 其中V=(vij) nm为U*的协方差矩阵. 2021-8-9南京大学地理信息科学系75 7.3.2 构造模糊相似矩阵构造模糊相似矩阵 m k jkik m k jkik ij uu uu r 1 1 )( )( (1) 最大最小法 3.