数学思想方法的两个源头

1、 第一节 古希腊的几何原本 第二节 中国的九章算术 （一）内容简介 几何原本是古希腊学者欧几里得(约公元前 330275年)的代表著作。欧几里得生于雅 典是柏拉图的学生后来被托勒密一世请到 亚历山大里亚城主持数学学派的工作。几何 原本是对古希腊数学的整理和系统化的总 结是古希腊数学思想的重要体现，堪称古希 腊数学的百科全书。传说托勒密王有一次问欧 几里得，是否有比钻研几何原本更简捷的 学习几何的途径，他断然回答：“几何中没有 王者之路。” 几何原本共13篇，第1篇用23个定义提出 点、线、面、圆和平行线等概念，接着是五个 公设： (1)从任意一点到任意点可作直线。 (2)一条有限直线可不断延长

2、。 (3)以任意一点为中心及任意的距离为半径可 以画圆。 (4)所有直角都相等。 (5)同一平面内一条直线和另外两条直线相交， 若在这条直线的某一侧的两个内角的和小于 180度，则这两直线经无限延长后在这一侧一 定相交。 在五个公设中，第五个公设不像前四个那 样显而易见，这就是后来引起许多纠纷的所谓 “欧几里得平行公设”或简称第五公设。大 家很快就认为：欧几里得把这一命题列为公 设不是因为它不能证明，而是找不到证明。 这实在是几何原本这部不朽巨著的白璧微 瑕。 从几何原本的问世到19世纪初，许多 学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这“污 点”，最后导致非欧几何的创立。 公设之后是五个公理。近代数

3、学不区分公 设和公理凡是基本假定都是公理。 几何原本后面各篇不再列出其它公理。 这一篇在公理之后，用48个命题讨论了关于直 线和由直线构成的平面图形的几何学，其中第 47个命题就是著名的勾股定理：“在直角三角 形斜边上的正方形(以斜边为边的正方形) 等于 直角边上的两个正方形。” 第2篇包括11个命题，主要是用几何的语言 叙述代数的恒等式。如第4命题“将一线段任意 分为两部分在整个线段上的正方形等于在部 分线段上的两个正方形加上以这两个部分线段 为边的矩形的二倍”，就相当于代数恒等式 。第11命题是分线段为中末 比后来被称为黄金分割；第12、13命题相当 于余弦定理。 222 2)(babab

4、a 第三篇有37个命题讨论圆、弦、切线、圆周 角、内接四边形及与圆有关的图形。 第四篇有16个命题包括圆内接与外切三角形， 正方形的研究，圆内接正多边形(5边、10边、 15边)的作图 第五篇是比例论给出25个命题。 第六篇讨论比例理论的几何应用，共有33个命 题。 第七、八、九三篇是数论，共有102个命题， 也完全用几何的方式叙述、第九篇第20命题是 数论中的欧几里得定理：素数的个数无穷多。 第十篇是篇幅最大的一篇，包括115个题占 全书四分之一，主要讨论无理量(与给定的量不 可通约的量)，但是只涉及相当于 之类的 无理量。 第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系， 共有39个命题。 第十二

5、篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于 直径平方的比”，还证明了棱锥之间、圆锥之 间、圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指 出的是：欧几里得在任何地方都没有给出圆面 积、球体积等的计算。这并非他不知道早已存 在的近似计算方法，而是在他看来，这种计算 属于实际测量而不用于理论几何。 第十三篇共有18个命题，主要研究五种正多面 体，并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。 ba （二）几何原本思想方法的特点 1、封闭的演绎体系 几何原本是最早形成的演绎体系。在 形式上，它是由少数不定义概念，如点、线、 面，虽然几何原本中“定义”了这三个概 念，但后来的推演中却没有利用这些定义，而 且这些定义只是几何形

6、象的直观描述，严格地 说并不能算作定义。因此一般仍将这三个概念 看作几何原本中的不定义概念)等等，和少 量不证明的命题(公理和公设)出发，按定的逻 辑规则，定义出该体系中的所有其它概念，推 演出所有其它的命题(定理)。 在几何原本中，公理是最般的命题， 它们是其后的全部演绎推理的前提。几何原 本中的所有其它命题都是由公理推导出来的。 除了推导时所需要的逻辑规则外，几何原本 的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理 论体系，原则上不再依赖其它东西。因此，从 理论发展形式看，几何原本是一个封闭的 体系。当然，几何原本在证明某些命题时 确实运用了除公理和逻辑之外的“直观”。但 是那只是个别地方，并不

7、影响整个体系；而且 那正是作为几何原本的“缺陷”而受到人 们的批评，后来人们不断地在该体系中剔除直 观，从而建立起更严格的数学理论体系，其指 导思想正是源于几何原本。 另外，从几何原本与当时的社会生产、 生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会 生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会 生活的各个领域来说它也是封闭的。 所以，从本质上说，几何原本是一个 比较完整的、相对封闭的演绎体系。 几何原本中研究的都是一般的、抽象的概 念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻 辑关系，从一些给定的概念和命题出发演绎出另一 些概念和命题。它不讨论这些概念和命题与社会生 活之间的关系，也不考察这些数学模型

8、所由之产生 的现实原型。在几何原本中研究了所有的矩形 (即抽象矩矩形概念)的性质，但是从未讨论一个具 体的矩形实物的大小。几何原本探讨了数(自 然数)的若干性质、却一点也不涉及数的计算及其 应用。它排斥各种理论的实际应用对抽象的尺规 (无刻度的直尺和闭开自如的圆规)作图却椎崇备至。 重视抽象理论、鄙视数学理论的现实原型及其具体 应用，乃是该著作的显著特点。 几何原本采用了前面我们已经指出的比 较严格的演绎体系，人们通常称这种体系为公 理体系，而构造公理体系的方法就是公理化方 法。 几何原本13篇，共给出475个(有的版本 是477个)命题，其中10个作为公理(公设)，其 余465个命题部是由公

9、理及有关定义推演出来 的。从结构上看，第一篇开头给出的10个公理， 是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23 个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的 引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采 用的论据只有公理和前面已经证明过的定理。 以后各篇除了不再给出公理外也都照此办理。 从全书来看也符合这种有序性：后面各篇的证 明只利用前面已有的公理、定义和定理作为依 据。 倘若用现代的标准去衡量，几何原本的公 理体系是有缺陷的。首先，一个公理系统都有若干 原始概念，或称不定义概念，作为其它概念定义的 基础。点、线、面就是这一类概念。而在几何原 本中却一给出定义，这些定义本身就是含糊不 清的。例如定义

10、4：“直线是这样的线，在它上面 的点都是高低相同地放置着的”就令入费解、并且 后面的证明完全没有用到。正因为如此，人们仍然 将这些概念看作几何原本中的不定义概念。 其次，公理系统不完备，没有运动、顺序、连续性 等公理，所以一些证明不得不借助于直观。此外， 有的公理不是独立的，例如“直角必相等”即可由 别的公理推出。这些缺陷直到1899年希尔伯持 (1862一1943)的几何基础出版才得以补救。 尽管如此毕竟瑕不掩瑜、几何原本是实现公 理化方法的最早典范，它产生于两干多年以前，这 是难能可贵的。 几何原本是古希腊数学思想的集中表现、 它把古希腊数学的特点、数学思想方法的特点发扬 光大了，可以说是

11、古希腊数学的最高成就。几何 原本的思想方法使得数学理论成为个严谨的系 统性理论。它使得人们能够在一定程度上超越当时 的实践，充分发挥自己的主观能动性，得到意义深 远的理论结果，再利用这些成果指导人们的实践， 提高人们认识世界、改造世界的能力。 几何原本曾经统治几何学的学习，自成书 之后，在世界各地以各种不同的文字，共出了一千 余版，仅次于圣经，称得上是世界上最杰出的 课本。我国在明清两代有过译本前6篇是意大利 人利马窦(15521610)和徐光启合译的，1607年出 版。后9篇是英国人伟烈亚力(18151887)和李善兰 合译的(因翻译的底本都是增补本，和欧几里得的 原著有很大出入，故有15篇

12、)。 （三）几何原本思想方法的深远意义 多少年来，干千万万人通过欧几里得几何 的学习受到了逻辑的训练，从而步入科学的殿 堂。几何原本不仅深刻影响到后世数学的 发展，它所开创的公理化方法还促进了其它科 学的发展。大科学家牛顿在撰写他的名著自 然哲学之数学原理时，就曾受到几何公理方 法的启迪。他在序中写道：“从那么少的几条 外来的原理，就能够取得那么多的成果，这是 几何学的光荣。” 一、内容简介 九章算术是中国古代的一本著名数学 著作，它不是一个人的著作，也不是在一个时 代成书的，而是经过历代名家的修订和增补才 逐渐成为定本的。九章算术大致成书于汉 代，其内容包括了汉以前的数学成果，构成 九章算术

13、中体系的数学思想，当时早已有 之，现在传世的九章算术是三国时魏刘徽 于公元263年的注释本。 第一章，“方田”，共有38道问题，专讲各种 形状地亩面积的计算和分数的四则运算。其中对地 亩的规定是“以亩法二百四十步除之，即亩数。百 亩为一顷。”这种制度是公元前350年商鞅变法时 制定的，由于汉因秦制，可见九章算术所用地 亩面积的计算代表着秦汉时代的地亩制度。 第二章，“粟米”，共有46道题，讨论各种粮 食之间互相兑换的问题。例如“粟率五十、粝米二 十”。就是在相同单位的条件下，50个单位的粟米 相当于30个单位的粝米。这类问题都通过比例来解 决。全章讨论米谷问题多而商业问题少，与当时 社会“重农

14、抑商”的政策相一致。 第二章，“衰分”，有20道题，涉及的内容比 较杂，其算法大体上多属于比例配分问题。讨论的 应用问题包括按等级制分配物品、关税、罚款、出 工、计工、贷款利息、粮食买卖等，这类问题进入 数学著作，显然是为了适应当时社会的需要。 第四章，“少广”，共有24道题，专讲开 平方、开立方问题。给出了“开方木”、“开 圆术”、“开立方木”、“开立圆木”四种重 要算法开启了我国古代解一元高次方程的先 河。 第五章。“商功”，共有28道题，专讲各种 土木工程中所提出的数学问题的解法。其中包 括筑城、修堤、开渠、粮堆以及各种形状的立 体体积的计算问题。有些题是施工方面的计算。 第六章，“均输

15、”，共有28道题，其中大部 分问题，是关于按各地区人口多少、路途远近、 粮食种类，交纳实物或摊派徭役的计算。还有 少数问题，是为了运用上述计算方法而编制的 应用问题。“均输”问题，显然是西汉实行均 输法的直接产物。 第七章，“盈不足”，共有20道题，主要讲 “盈亏”类问题的解法涉及的内容多与商业有关。 第八章，“方程”，有18道题，专讲线性方程 组的解法。其中大部分问题都与农业有关。如把庄 稼分为上、中、下等，计算每等的产量。还有计算 各种牲畜的买卖问题等。当时是利用算筹摆布来解 线性方程组的，这个过程相当干我们现在利用线性 方程组的系数增广矩阵解方程的方法；还有“正负 术”给出了正负数的概念

16、、记法和加减运算法则； 这两点都是九章算术对数学发展作出的世界性 贡献。 第九章，“勾股”，共有24道题，主要研究勾 股定理及其各种应用。其中有些属于勾服测量问题， 显然与秦汉时期的土木工程、军事活动有直接关系。 该章开创了直角三角形相似法和出入相补原理，解 决了有关高度、深度和广度的各种计算问题。 1、开放的归纳体系 从九章算术的内容可以看出，它是个与 社会实践紧密联系的开放体系。共中方田、粟米、 衰分、少广、商功、均输各章均属于当时社会生产 和生活方面需要解决的数学问题。书中涉及的田亩 测量、工程建设、交通运输、税收商业等、几乎包 括了一个以农耕为主的封建社会的生产和生活的各 个领域。通过

17、这些章节中给出的算法，解决了当时 社会的生产和生活所提出的各种计算问题。还有盈 不足、方程、勾股三章，则分别研究了三种常用的 数学模型及其用法是为在以上各个领域中的应用 服务的。因此，九章算术是 一个按应用问题 的性质分类的开放件的理论体系。 另外九章算术的表述体系是按照由 个别到一般的推导方式建立起来的。 书中通 常是先举出某社会生活领域中的一个或几个 个别问题，从中归纳出某一类问题的一般解法， 即算法(术)；再把各类算法综合起来，得到解 决该领域中的各种问题的方法，从而构成章； 最后、把解决社会生产生活各领域中问题的数 学方法全部综合起来，就得到整个九章算 术。 该书的归纳特点还有另一层含

18、意，即按照 解决问题的不同数学方法进行归纳。许多不同 领域的实际问题可能需要相同的计算方法，从 这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模 型立章写入九章算术。盈不足、方程、勾 股三章就是如此。冈此综观全书，九章算 术是 一个开放归纳体系。 九章算术在每一章内先举出若干个实 际问题，并对每个问题都给出答案然后再给 出术”，作为一类问题的共同解法。这里的 “术”就是算法，以后遇到其它同类问题，只 要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题 的答案。历代数学家对九章算术的注、 校主要都是对“术”进行研究，即不断改进 算法。因此我们说，内容的算法化是九章算 术思想方法上的特点之一。 从数学方法沦的角度看

19、，九章算术普 遍地使用了数学模型方法。它的各章都是先从 相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原 型，并把它们表述成问题，然后通过“术”(算 法）使其转化成数学模型。当然有的章采取的 是由数学模型到原型的过程。即先直接给出数 学模型，然后再举出可以应用的原型。例如， “勾股”、“方程”等章，其标题就是数学模 型的名称。 下面以“勾股”为例略加说明。 “勾股”章提供了“直角三角形”这一种常 用的数学模型。全章是这样开始的： 第1题： 今有勾三尺、股四尺，问为弦几何。答曰：五 尺。 勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之， 即弦。又股自乘以减弦自乘，其余开方除之， 即勾。又勾自乘，以减弦自乘，其余开方

20、除之， 即股。 我国古代称直角三角形的短直角边为勾， 长直角边为股，斜边为弦。“勾股术”就是在 直角三角形中已知两边求第三边的算法。接着， 这一章又列出19道应用问题，都是应用直角三 角形这个数学模型来解决的实际问题。每道题 都有“术”，给出解这一实际问题的具体算法， 答案则提供了一组勾股数。 模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的 内容之间是互相适应并且互相促进的。虽然，各个 数学模型之间也有一定的联系，但是它们更具有相 对独立性。一个数学模型的建立与其它数学模型之 间并不存在逻辑依赖关系。正因为如此，所以可以 根据需要随时从社会实践中提炼出新的数学模型。 而一定的算法必与一定的数学模型相

21、匹配。因此， 开放性的归纳体系和算法化的内容为模型化方法的 发展提供了可能和需要。 另一方面，模型化方法也促进了中国古代数学 体系和内容的发展。由于运用模型化的方法研究数 学新的数学模型从何产生？只有寻找现实原型、 立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的 演绎体系。解决实际问题还提出了这样的要求：对 由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和 合理性。为了能够求得实际可用的结果，于是算法 化的内容也就应运而生。 三、九章算术思想方法的重大影响。 九章算术及其思想方法对后世产生了重大影响。 九章算术从问世起，人们便由它学习数学。到隋唐 时期开始建立国立学校，其中有算学科，该书被列为要 的教科书。古代研究数学的人大都是从九章算术开 始，有些人正是通过对它的研究取得重要成就成为历 史上杰出的数学家，最有名的要数刘微、祖冲之父于、 贾宪等。也就是说，九章算术不但在普及数学