机械振动5多自由度振动7矩阵迭代法

1、矩阵迭代法矩阵迭代法 2021年8月8日 振动力学 2 求多自由度系统的固有频率和模态是振动分析的主要内容。求多自由度系统的固有频率和模态是振动分析的主要内容。 下面介绍矩阵迭代法求系统的最低几阶固有频率和模态。下面介绍矩阵迭代法求系统的最低几阶固有频率和模态。 随着自由度的增加，计算系统的固有频率和模态难度增大。随着自由度的增加，计算系统的固有频率和模态难度增大。 采用近似解，是个好办法，特别是借助计算机，很有效。采用近似解，是个好办法，特别是借助计算机，很有效。 对于系统的任意阶固有频率和模态都有：对于系统的任意阶固有频率和模态都有： 0KuMu )()(i i i 2 1 ii 左乘上式

2、，得：用AK 1 0uAKAM )( )( i i )()(i i i uDu ，其中，AMD 称为动力矩阵， 不是对称矩阵。一般来说D 2021年8月8日 振动力学 3 任选系统的一个假设模态任选系统的一个假设模态w w ，它一般不是真实模态，但总能，它一般不是真实模态，但总能 表示为真实模态的线性组合：表示为真实模态的线性组合： 上式左乘上式左乘D矩阵：矩阵： )()2( 2 )1( 1 n n CCCuuuw T n CCC 21 C n j j j C 1 )( uuC 为模态矩阵，其中 )()2()1(n uuuu n j j j C 1 )( uDwD n j j j C 1 )(

3、 u j j n j jj j CC 2 )( 1 )1( 11 uu n j jj j CC 2 )( 1 )1( 11 uDuD 上式再左乘一次上式再左乘一次D矩阵：矩阵： wDwDD 2 )( 2021年8月8日 振动力学 4 k次左乘次左乘D矩阵（相当于矩阵（相当于k次迭代）后：次迭代）后： 由于由于1/ 1 j 每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。 )()2( 2 )1( 1 n n CCCuuuw n j jj j CC 2 )( 1 )1( 11 uDuD wDwDD 2 )( n j jj j CC 2 )( 1 2 )1

4、( 111 uu n j jj j CC 2 )( 1 )1( 1 2 1 uu 2 n j jj j kk CC 2 )( 1 )1( 11 uuwD k 2021年8月8日 振动力学 5 k次迭代后：次迭代后： 由于：由于：1/ 1 j 每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。 迭代次数愈多，上式括号内第二项所包含的高于一阶的模态迭代次数愈多，上式括号内第二项所包含的高于一阶的模态 成分所占比例愈小。成分所占比例愈小。 将将Dkw作为一阶模态的作为一阶模态的k次近似，记作次近似，记作wk，则矩阵迭代法的计，则矩阵迭代法的计 算公式为：算公

5、式为： Dww 1 n j jj j kk CC 2 )( 1 )1( 11 uuwD k wDw 2 2 1 Dw 1k-k DwwDw k 2021年8月8日 振动力学 6 k次迭代：次迭代： 当迭代次数当迭代次数k足够大，除一阶模态以外的其余高阶模态成分足够大，除一阶模态以外的其余高阶模态成分 小于容许误差时，即可将其略去，得到：小于容许误差时，即可将其略去，得到： 于是于是k次迭代后的模态近似地等于第一阶真实模态。次迭代后的模态近似地等于第一阶真实模态。 对对wk再作一次迭代，再作一次迭代， 在在wk和和wk+1中任选第中任选第j个元素个元素wj,k和和wj,k+1 ，其比值关系如下：

6、，其比值关系如下： kjkj ww ,11, n j jj j kk CC 2 )( 1 )1( 11 uuwD k Dww 1 12 Dww 1k-k Dww )1( 11 uwDC kk kk DwwDw k 1 1 2021年8月8日 振动力学 7 k次矩阵迭代：次矩阵迭代： 1, , 1 1 1 kj kj w w 在具体计算过程中，前在具体计算过程中，前k次迭代均应进行归一化。次迭代均应进行归一化。 如使每个模态的最后元素成为如使每个模态的最后元素成为1，使得各次迭代的模态之间具，使得各次迭代的模态之间具 在第在第k+1次迭代后，不需归一化，以算出基频。次迭代后，不需归一化，以算出基

7、频。 n j jj j kk CC 2 )( 1 )1( 11 uuwD k )1( 11 uC k Dww 1 12 Dww 1k-k Dww )1( 11 uwkC k kk ww 11 kjkj ww ,11, 第一阶模态第一阶模态 第一阶固有频率第一阶固有频率 有可比性，也避免计算过程中模态迭代的数值过大或过小。有可比性，也避免计算过程中模态迭代的数值过大或过小。 2021年8月8日 振动力学 8 例例5.7-1：三自由度系统：三自由度系统 0 0 0 220 231 012 200 010 001 3 2 1 3 2 1 x x x k x x x m mm kk 2m 2k 试用矩

8、阵迭代法计算基频和第一阶模态：试用矩阵迭代法计算基频和第一阶模态： 解：先求系统的柔度矩阵，解：先求系统的柔度矩阵， ,/1 11 ka 由定义求或求刚度矩阵的逆阵。由定义求或求刚度矩阵的逆阵。 仅对仅对m1施加施加F1=1,各坐标的位移：各坐标的位移： 5 . 221 221 111 1 k A ,/1 3121 kaa ,/1 12 ka 仅对仅对m2施加施加F2=1,各坐标的位移：各坐标的位移： ,/2 3222 kaa ,/1 13 ka 仅对仅对m3施加施加F3=1,各坐标的位移：各坐标的位移： ,/2 23 ka,2/5 33 ka 2021年8月8日 振动力学 9 假设模态为：假

9、设模态为： 521 421 211 k m AMD mm kk 2m 2k 系统的动力矩阵：系统的动力矩阵： T ) 111 (w 第一次迭代：第一次迭代： 8 7 4 1 1 1 521 421 211 k m k m wD 5 . 221 221 111 1 k A， 200 010 001 mM 归一化：归一化： T ) 1875. 050. 0( 1 w 2021年8月8日 振动力学 10 521 421 211 k m D 第二次迭代：第二次迭代： 25. 7 25. 6 375. 3 1 875. 0 50. 0 521 421 211 1 k m k m wD 归一化：归一化：

10、T ) 18621. 04655. 0( 2 w T ) 1875. 050. 0( 1 w T ) 18609. 04628. 0( 3 w 第三次迭代：第三次迭代： 1897. 7 1897. 6 3276. 3 1 8621. 0 4655. 0 521 421 211 2 k m k m wD 归一化：归一化： 2021年8月8日 振动力学 11 521 421 211 k m D 第四次迭代：第四次迭代： 1846. 7 1846. 6 3237. 3 1 8609. 0 4628. 0 521 421 211 3 k m k m wD T ) 18608. 04626. 0( 4

11、w 归一化：归一化： T ) 18609. 04628. 0( 3 w T ) 18608. 04626. 0( 5 w 第五次迭代：第五次迭代： 1842. 7 1842. 6 3234. 3 1 8608. 0 4626. 0 521 421 211 4 k m k m wD 归一化：归一化： 4 w )1( u 2021年8月8日 振动力学 12 521 421 211 k m D 终止迭代，终止迭代， 为第一阶模态。为第一阶模态。 4 w 利用利用 和和 的最后一个元素计算基频：的最后一个元素计算基频： 4 w 4 wD 414 wwD因为 k m 1842. 7 1 得： m k 3

12、7308. 0 1 1 1 T ) 18608. 04626. 0( 4 w T ) 18608. 04626. 0( 5 w 1842. 7 1842. 6 3234. 3 1 8608. 0 4626. 0 521 421 211 4 k m k m wD 4 w )1( u 2021年8月8日 振动力学 13 采用常规方法，基频：采用常规方法，基频： mk /3730. 0 1 m k 37308. 0 1 采用矩阵迭代法，基频：采用矩阵迭代法，基频： 第一阶模态：第一阶模态： 1 8608. 0 4626. 0 )1( u T ) 18608. 04626. 0( 4 )1( wu 第

13、一阶模态：第一阶模态： 基频误差为基频误差为0.2%。模态在精确到四位小数时，完全一致。模态在精确到四位小数时，完全一致。 1 8608. 0 4626. 0 200 010 001 ) 18608. 04626. 0( )1()1( 1 mM T uMum955. 2 正则化第一阶模态：正则化第一阶模态： ,)5817. 05007. 02691. 0( 1 )1(T m u 2021年8月8日 振动力学 14 趋于零的速度。趋于零的速度。 k r )/( 1 从迭代过程看出，获得模态（收敛）的速度取决于从迭代过程看出，获得模态（收敛）的速度取决于 主要体现在两个方面：主要体现在两个方面：

14、), 2(nr 一是，一是，1比比2大多少，相差越大，收敛越快，迭代次数越少；大多少，相差越大，收敛越快，迭代次数越少； 二是，二是，假设模态选取的准确性假设模态选取的准确性，w越接近于第一阶模态越接近于第一阶模态u1 ， 收敛速度越快，迭代次数越少。收敛速度越快，迭代次数越少。 有时从模型可以粗略推测第一阶模态中质量位移的比值关系。有时从模型可以粗略推测第一阶模态中质量位移的比值关系。 矩阵迭代有个最大的优点矩阵迭代有个最大的优点“防止误差防止误差”。即使某一步迭代发。即使某一步迭代发 生生 误差，只是意味着以新的假设模态重新开始迭代。误差，只是意味着以新的假设模态重新开始迭代。 只不过延缓

15、了收敛，但不会破坏收敛。只不过延缓了收敛，但不会破坏收敛。 只要动力矩阵只要动力矩阵D正确，无论假设模态如何，总能得到近似解。正确，无论假设模态如何，总能得到近似解。 2021年8月8日 振动力学 15 高阶模态及固有频率高阶模态及固有频率 用矩阵迭代法求出系统的第一阶模态和基频后，还可以用用矩阵迭代法求出系统的第一阶模态和基频后，还可以用 同样的方法求第二阶模态和频率。同样的方法求第二阶模态和频率。 任选一个假设模态任选一个假设模态w w ，总能通过迭代算得第一阶模态，总能通过迭代算得第一阶模态u(1)， 有一个原因是假设模态有一个原因是假设模态w w 中含有第一阶模态中含有第一阶模态u(1

16、)的成分的成分C1， 若假设模态若假设模态w w 中第一阶模态中第一阶模态u(1)的成分的成分C1=0 ，则迭代的结果，则迭代的结果 n j j j k C 2 )( uwD k j n j j k j k CC 3 )( 2 )2( 22 uu k j 趋向于第二阶模态趋向于第二阶模态u(2) 。 因此求第二阶模态因此求第二阶模态u(2)时，需使时，需使w中的中的C1=0。 同样求第三阶模态同样求第三阶模态u(3)时，须使假设模态时，须使假设模态w w的成分的成分C1=C2=0。 2021年8月8日 振动力学 16 已经求出第一阶正则模态已经求出第一阶正则模态u(1) (1)，利用正交性可得

17、 ，利用正交性可得C1 1 ： ： 1 )()1()2()1( 2 )1()1( 1 )1( CCCC nT n TTT uMuuMuuMuwMu 1 1 wMu T C )1( 1 任选系统的一个假设模态任选系统的一个假设模态w1 1，它一般不是真实模态，但总能，它一般不是真实模态，但总能 表示为真实模态的线性组合：表示为真实模态的线性组合： )()2( 2 )1( 1 n n CCCuuuw1 T n CCC 21 C n j j j C 1 )( uuC 为模态矩阵，其中 )()2()1(n uuuu n i i ii CC 2 )()1( 11 uuDw1 用动力矩阵左乘用动力矩阵左乘

18、w1 1 ： ： n i i ii CC 2 )()1( 11 uuDw1 2021年8月8日 振动力学 17 1 wMu T C )1( 1 )()2( 2 )1( 1 n n CCCuuuw1 n j j j C 1 )( uuC 则有则有 ： n i i ii CC 2 )()1( 11 uuDw1 n i i ii C 2 )()1()1( 1 uMwuuDw 1 T 1 MuuDD T )1()1( 1 )2( 令： n i i ii C 2 )(2) uwD 1 再左乘再左乘D(2),则有则有 n i i ii CC 3 )()2( 22 uu n i i ii T n i i i

19、i CC 2 )()1()1( 1 2 )(2)(2) )(uMuuuDwDD 1 n i i ii C 2 )(2u 3 )( 2 2 )2( 2 2 2 n i i i i CCuu 2021年8月8日 振动力学 18 )()2( 2 )1( 1 n n CCCuuuw1 n j j j C 1 )( uuC MuuDD T )1()1( 1 )2( n i i ii C 2 )(2) uwD 1 n i i ii CC 3 )()2( 22 uu n i i ii C 2 )(2 1 2)2( )(uwD 3 )( 2 2 )2( 2 2 2 n i i i i CCuu )( 3 )(

20、 2 )2( 221 )2( n i i k i i kk CCuuwD )2( 22 uC k 即得到第二阶模态。即得到第二阶模态。 同样的，在具体计算过程中，每次迭代均应进行归一化。同样的，在具体计算过程中，每次迭代均应进行归一化。 同样的，最后也可以算出第二阶固有频率。同样的，最后也可以算出第二阶固有频率。 2021年8月8日 振动力学 19 同样可以用同样可以用 ： MuuDD T )2()2( 2 )2()3( 作算子迭代计算得到第三阶模态和固有频率。作算子迭代计算得到第三阶模态和固有频率。 归纳得出，求第归纳得出，求第s阶模态和固有频率的算子矩阵为：阶模态和固有频率的算子矩阵为：

21、), 3 , 2( )1()1( 1 )1()( ns ss s ss MuuDD T 对于重特征根情况，也一样能求出前对于重特征根情况，也一样能求出前s阶模态和固有频率。阶模态和固有频率。 如如1 1是二重是二重特征根，则推导过程：特征根，则推导过程： 可以看出可以看出u(2) (2)* *还是对应于 还是对应于1 1的。的。 n j jj j kk CCC 3 )( 1 )2( 2 )1( 11 uuuwD k )2( 2 )1( 11 uuCC k )*1( u )( 3 )( 1 )*2( 211 )2( n i i k i i kk CCuuwD M,uuDD T )*1()*1(

22、1 )2( 而且而且u(2) (2)* *还与 还与u(1) (1)* *正交。 正交。 2021年8月8日 振动力学 20 例例5.7-1：三自由度系统：三自由度系统 已求出第一阶正则模态和已求出第一阶正则模态和 1 1： 521 421 211 k m D mm kk 2m 2k 试用矩阵迭代法计算高阶模试用矩阵迭代法计算高阶模 态和固有频率：态和固有频率： 解：前面已给出系统的质量矩阵和动力矩阵：解：前面已给出系统的质量矩阵和动力矩阵： k m 1842. 7 1 , 200 00 00 m m m M ,)5817. 05007. 02691. 0( 1 )1(T m u MuuDD

23、T )1()1( 1 )2( 2021年8月8日 振动力学 21 521 421 211 k m D k m 1842. 7 1 200 010 001 mM 200 010 001 5817. 05007. 02691. 0 5817. 0 5007. 0 2691. 0 1842. 7 521 421 211 k m k m 200 010 001 338375. 0291257. 0156535. 0 291257. 02507. 0134738. 0 156535. 0134738. 007241. 0 1842. 7 521 421 211 k m k m 137569. 00928

24、03. 0124674. 0 185614. 0198495. 0031870. 0 249355. 0031870. 0479727. 0 k m ,)5817. 05007. 02691. 0( 1 )1(T m u MuuDD T )1()1( 1 )2( 2021年8月8日 振动力学 22 521 421 211 k m D 200 010 001 mM T ) 111 ( 1 w期望模态有个节点，选取：期望模态有个节点，选取： 第一次迭代：第一次迭代： 归一化：归一化： T )466581. 0546656. 01 ( 2 w k m 1842. 7 1 ,)5817. 05007.

25、 02691. 0( 1 )1(T m u 137569. 0092803. 0124674. 0 185614. 0198495. 0031870. 0 249355. 0031870. 0479727. 0 k m MuuDD T )1()1( 1 )2( 1 1 1 137569. 0092803. 0124674. 0 185614. 0198495. 0031870. 0 249355. 0031870. 0479727. 0 1 )2( k m wD 355046. 0 415979. 0 760952. 0 k m 2021年8月8日 振动力学 23 521 421 211 k

26、m D 200 010 001 mM 第二次迭代：第二次迭代： T )466581. 0546656. 01 ( 2 w k m 1842. 7 1 ,)5817. 05007. 02691. 0( 1 )1(T m u 137569. 0092803. 0124674. 0 185614. 0198495. 0031870. 0 249355. 0031870. 0479727. 0 k m MuuDD T )1()1( 1 )2( 2 )2( wD 390537. 0 369983. 0 0 . 1 613493. 0 k m 第第14次迭代后：次迭代后： 340659. 0 254097

27、. 0 1 572771. 0 14 )2( k m wD 14 572771. 0w k m 2021年8月8日 振动力学 24 得到第二阶固有频率和振型：得到第二阶固有频率和振型： m k 321325. 1 1 2 2 340659. 0 254097. 0 1 572771. 0 14 )2( k m wD k m 572771. 0 2 340659. 0 254097. 0 1 )2( u 2 )2()2( MMuu T 由 得到第二阶正则振型：得到第二阶正则振型： 340659. 0 254097. 0 1 1 2 )2( M u 299162. 0 223144. 0 878186. 0 1 m m296662. 1 若直接从特征值问题可得精确解：若直接从特征值问题可得精确解： mk /3213. 1 2 相对误差相对误差 很小。很小。 340843. 0 254201. 0 1 )2( u 2021年8月8日 振动力学 25 , 200 010 001 mM 035045. 0054567. 0025804. 0 109142. 0169975. 0080371. 0 051602. 0080371. 0038000. 0 k m