基本不等式完整版(非常全面)

1、本文格式为word版，下载可任意编辑基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导 一、学问点总结 1、基本不等式原始形式 1若a,b r，那么a2 b2 2ab 2若a,b r，那么ab a2 b2 2 2、基本不等式一般形式均值不等式 若a,b r*，那么a b 2ab 3、基本不等式的两个重要变形 1若a,b r*，那么 a b 2 ab 2若a,b r* ，那么ab a b 2 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等 5、常用结论 1若x 0，那么x 1 x 2 (当且仅当x 1时取“=

2、 2若x 0，那么x 1x 2 (当且仅当x 1时取“= 3若ab 0，那么ab ba 2 (当且仅当a b时取“= 4若a,b r，那么ab (a b2a2 b2 2) 2 5若a,b r* ，那么 1 ab a ba2 b22 2 6、柯西不等式 1若a,b,c,d r，那么(a2 b2)(c2 d2) (acb d)2 2若a1,a2,a3,b1,b2,b3 r，那么有： (a2221 a2 a3)(221b1 b22 b23) (a1b1 a2b2 a3b3) 3设a1,a2, ,an与b1,b2, ,bn是两组实数，那么有 (a2221 a22 an)(b1 b22 b22n) (a

3、1b1 a2b2 anbn) 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设a,b均为正数，证明不等式:ab 211 a b 2、已知 a,b,c 为两两不相等的实数，求证： a2 b2 c2 ab bc ca 3、已知a b c 1，求证：a2 b2 c2 13 4、已知a,b,c r ，且a b c 1，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8ab c 5、已知a,b,c r ，且a b c 1，求证： 1 a 1 1 b 1 1 c 1 8 6、2021年新课标卷数学理选修45：不等式选讲设a,b,c均为正数,且a b c 1,证明: ()ab bc ca 13; ()a2b

4、b2c2 c a 1. 7、2021年江苏卷数学选修45：不等式选讲 已知a b 0，求证:2a3 b3 2ab2 a2 b 题型二：利用不等式求函数值域 1、求以下函数的值域 1y 3x2 1 2x 2 2y x(4 x) 3y x 1x(x 0) 4y x 1 x (x 0) 题型三：利用不等式求最值 一凑项 1、已知x 2，求函数y 2x 4 4 2x 4 的最小值； 变式1：已知x 2，求函数y 2x 变式2：已知x 2，求函数y 2x 4 的最小值； 2x 4 变式1：当 时，求y 4x(8 2x)的最大值； 4 的最大值； 2x 4 练习：1、已知x 54，求函数y 4x 2 14

5、x 5 的最小值； 2、已知x 5 ，求函数y 4x 2 144x 5 的最大值； 题型四：利用不等式求最值 二凑系数 1、当时，求y x(8 2x)的最大值； 变式2：设0 x 3 2 ，求函数y 4x(3 2x)的最大值。 2、若0 x 2，求y x(6 3x)的最大值； 变式：若0 x 4，求y x(8 2x)的最大值； 3、求函数y 2x 1 5 2x(15 2 x 2 )的最大值； 提示：平方，利用基本不等式 变式：求函数y 4x 3 4x(311 4 x 4 )的最大值； 题型五：巧用“1的代换求最值问题 1、已知a,b 0,a 2b 1，求t 11 a b 的最小值； 法一： 法

6、二： 变式1：已知a,b 0,a 2b 2，求t 1a 1 b 的最小值； 变式2：已知x,y 0,2x 8 y 1，求xy的最小值； 变式3：已知x,y 0，且1x 1 y 9， 求x y的最小值。 变式4：已知x,y 0，且1x 9 y 4，求x y的最小值； 变式5： 1若x,y 0且2x y 1，求 的最小值； 1x1y 2若a,b,x,y r且a b 1，求x y的最小值； x2 8 (x 1)的值域； 变式：求函数y x 1 xy 变式6：已知正项等比数列 an 满足：a7 a6 2a5，若存在两项a14 m,an，使得aman 4a1，求m n 的最小值； 题型六：分别换元法求最

7、值了解 2 1、求函数y x 7x 10 x 1 (x 1)的值域； 2、求函数y x 2 2x 5 的最大值；提示：换元法 变式：求函数y x 1 4x 9 的最大值； 题型七：基本不等式的综合应用 1、已知loga2a log2b 1，求3 9b 的最小值 2、2021天津已知a,b 0，求1 1 2ab的最小值； 变式1：已知a,b 0，满足ab a b 3，求ab范围； ab 变式1：2021四川假如a b 0，求关于a,b的表达 式a2 1ab 1a(a b) 的最小值； 变式2：2021湖北武汉诊断已知，当a 0,a 1时，函数y loga(x 1) 1的图像恒过定点a，若点a在直

8、 线mx y n 0上，求4m 2n 的最小值； 3、已知x,y 0，x 2y 2xy 8，求x 2y最小值； 变式2：2021山东已知x,y 0， 12 x 11 2 y 3 ，求xy最大值；提示：通分或三角换元 变式3：2021浙江已知x,y 0，x2 y2 xy 1，求xy最大值； 4、2021年山东理设正实数x,y,z满足 x2 3xy 4y2 z 0,那么当 xy z 取得最大值时, 212 x y z 的最大值为 a0 b1 c 9 4 d3 提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值 ,y,z是正数，满足x 2y 3z 0，求y2 变式：设xxz 的 最小值； 题型八：利用基本

9、不等式求参数范围 1、2021沈阳检测已知x,y 0，且(x y)(1 ax y ) 9恒成立，求正实数a的最小值； 2、已知x y z 0且 1x y 1y z nx z 恒成立，假如n n ，求n的最大值；参考：4 提示：分别参数，换元法 变式：已知a,b 0满那么1a 4 b 2，若a b c恒成立，求c的取值范围； 题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式 (a,b,c,d r,当且仅当 ac b d ；即ad bc时等号成立) 若a,b,c,d r，那么(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2 2、二维形式的柯西不等式的变式 (1)a2 b2 c2 d2 ac bd (

10、a,b,c,d r,当且仅当 ac b d ；即ad bc时等号成立) (2)a2 b2 c2 d2 ac bd (a,b,c,d r,当且仅当 ac b d ；即ad bc时等号成立) (3)(a b)(c d) (ac )2 (a,b,c,d 0,当且仅当 ac b d ；即ad bc时等号成立) 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 (当且仅当 0,或存在实数k,使 a k 时,等号成立) 4、三维柯西不等式 若a1,a2,a3,b1,b2,b3 r，那么有： (a21 a22 a223)(1b1 b22 b23) (a1b1 a2b2 a3b23) (ai,bi r,a1a2b a3 时

11、等号成立) 1b2b3 5、一般n维柯西不等式 设a1,a2, ,an与b1,b2, ,bn是两组实数，那么有: (a2221 a2 a2n)(b21 b2 b2n) (a1b1 a2b2 a2nbn) (aa1i,bi r,b a2 b an时等号成立) 12bn 题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设x,y,z r，若x2 y2 z2 4，那么x 2y 2z的 最小值为 时，(x,y,z) 析：(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2)2 22 4 9 36 x 2y 2z最小值为 6 此时 xyz 1 2 2 6 2 12 ( 2)2 22 3 x 23，y 4 4 3，z 3 2、设x,y,z r，2x y 2z 6，求x2 y2 z2的最小值m，并求此时x,y,z之值。 ans：m 4;(x,y,z) (43, 23, 4 3 ) 3、设x,y,z r，2x 3y z 3，求x2 (y 1)2 z2 之最小值为 ，此时y 析：2x 3y z 3 2x 3(y 1) z 0 4、2021年湖南卷理已知a,b,c ,a 2b 3c 6, 那么a2 4b2