2021-2021年全国高中数学联赛分类汇编-第11讲 三角函数 Word版含解析

1、本文格式为word版，下载可任意编辑2021-2021年全国高中数学联赛分类汇编-第11讲 三角函数 word版含解析 2021-2021全国高中数学联赛分类汇编第11讲：三角函数 1、2021一试2已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，那么实数a 的取值范围是. 【答案】122 3-a 【解析】令t x =sin ，那么原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=. 由3)3(3-+-t a at ，0)1(3)1(2-t t at ，0)3)1()(1(-+-t at t 及01-t 知03)1(-+-t

2、at 即3)(2-+t t a . 1 当1,0-=t 时1总成立； 对20,102+t t t ；对041 ,012+-t t t .从而可知1223 -a . 2、2021一试4假如)cos (sin 7sin cos 3355-，)2,0，那么的取值范围是 【答案】 45,4 3、2021一试7满足1 1 sin 43n 的全部正整数n 的和是 【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当(0,)6x 时,3 sin ,x x x 由此得 1 31 sin ,sin ,1313412124 = 131sin ,sin .10103993 =所以11sin sin sin sin sin

3、.134* 故满足11sin 43n 的正整数n 的全部值分别为10,11,12,它们的和为33. 4、2021一试7设等边三角形abc 的内切圆半径为2，圆心为i .若点p 满足1=pi ，那么a b c 与apc 的面积之比的最大值为_. 其中，00=.6iap - = 由02ap i =知，011sin ,24ip ai r = = 于是cot =所以 1sin()cos 362sin()6+=- 依据1、2可知，当0p p =时， apb apc s s 5、2021二试2若实数满足cos tan =,那么 41cos sin +的值为 . 【答案】2 【解析】由条件知，2cos si

4、n =，反复利用此结论，并留意到22cos sin 1+=，得 2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin +=+=+-=+-= 6、2021一试7设为正实数,若存在,(2)a b a b ,使得sin sin 2a b +=,那么实数的取值范 围是 【答案】9513,)424 w + 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb =，而,2,wa wb w w 故题目条件等价于：存在整数()k l k l ，使得222.22w k l w + 当4w 时，区间,2w w 的长度不小于4，故必存在k

5、,l 满足1式, 当04w 时，留意到,20,8w w ， 故仅需考虑如下几种状况： 5)2,22i w w 此时15,24 w w 且无解； 59)2,22ii w w 此时有95;42 w 913()222iii w w ，此时有13913, 4.424 w w 得 综合)()()i ii iii 、，并留意到95134,).424w w +亦满足条件，可知 7、2021一试6设函数10 cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有|)(1|)(r x x f a x a x f =+，那么k 的最小值为 . 【答案】16 反之，当5k

6、 时，任意一个开区间均包含)(x f 的一个完好周期，此时 |)(1|)(r x x f a x a x f =+成立.综上可知，正整数的最小值为1615=+. 8、2021一试2若实数,x y 满足2 2cos 1 x y +=，那么cos x y -的取值范围是. 【答案】11- 【解析】由于212cos 1,3,x y x =-故 由21cos 2 x y -=可知,2211cos (+1) 1.22x x y x x -=-=-因此当1x =-时,cos x y -有最小值-1. (这时y 可以取2) ；当x =cos x y - 这时y 可取，由于21(+1)12 x -的值域是 1

7、,从而cos x y - 的取值范围是1. 9、2021一试9已知函数131()sin cos 2,022 f x a x x a a r a a =-+-+ 若对任意x r ，都有()0f x ，求a 的取值范围； 若2a ，且存在x r ，使得()0f x ，求a 的取值范围 【解析】(1)23()sin sin .f x x a x a a =+-令sin (11),t x t =-那么23()g t t at a a =+- (2)因为2,a 所以 1.2a - -所以min 3()(1)1g t g a =-=- 因此min 3()1.f x a =-于是,存在x r ,使得()0f x 的充要条件是3100 3.a a - 故a 的取值范围是2,3. 10、2021一试10此题总分20分数列n a 满足)(arctan(sec ,611*= +n n a a a n n 求正整数m ，使得100 1sin .sin sin 21=m a a a 【解析】由已知条件可知，对任意正整数n ， 11(,),tan sec .(1)22n n n a a a +-=