对曲线方程教学的几点建议

1、对曲线方程教学的几点建议 摘要：在数学教学中，以概念教学为主讲清曲线和方程的概念，使学生理解并初步掌握直角坐标系中曲线与方程的关系和轨迹的概念；通过数、形结合思想的教学，使学生了解曲线和方程是同一个运动规律在“形”和“数”这两个不同侧面上的反映，这些是提高曲线方程教学的有效方法。 关键词：曲线方程；教学；建议 在初中代数的函数及其图像部分已出现过平面上点的坐标的概念，实际上这是平面解析几何的第一个基本概念。而高中学习曲线和方程的概念则是平面解析几何的第二个基本概念。点和坐标的对应、曲线和方程的对应，集中地反映了解析几何的基本思想和基本方法。至此，解析几何才从理论和方法上系统地进入对本学科的基本

2、问题的研究，即根据已知条件，求出平面曲线的方程，再通过方程，研究平面曲线的性质，为以后的圆锥曲线内容作了理论和方法上的准备，它在平面解析几何有承上启下的作用。 一、从学生实际出发，讲清曲线和方程的概念 1.联系平面几何中的轨迹概念，讲清曲线和方程的概念 由于曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，教师在教学中必须注意从学生的知识实际出发，可以先适当地复面几何中有关轨迹的概念，再把曲线和方程的概念与平面几何中轨迹的概念相比较，弄清这两个概念间的联系和区别，这对于学生掌握曲线和方程的概念十分必要。平面几何中的轨迹就是平面内适合某种条件的点的集合，而解析几何中曲线和方程的概念，是把平面上的曲线置

3、放在平面直角坐标系后再建立起来的。由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的条件反映在点的横坐标x与纵坐标y之间有一定关系，这个关系通常用关于x、y的方程f（x，y）=0表示出来。也就是说，平面轨迹中的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了，因此，曲线和方程的概念与轨迹的概念一样，有它的纯粹性和完备性。“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点（纯粹性），“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，阐明适合条件的所有点都在曲线上（完备性）。 2.从集合的意义来理解曲线和方程的概念 如果把直角坐标平面上曲线上的点所组成的点集记作a

4、，方程，f（x，y）=0的解所对应的点的集合记作b，那么，曲线和方程之间有两种关系： （i）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （ii）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合a和b之间的关系上，就是a=b。 引导学生从两个集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于学生掌握曲线和方程的概念。 3.要注意引用反例，以加深对曲线和方程概念的理解 曲线与方程之间的关系可以有三种情形： 上述关系（i）（ii）都满足的； 只满足关系（i）的； 只满足关系（ii）的。 对于后两种情形，它们的方程的解集与曲线的点集不一一对应。在情况中，有曲线外的点，它的坐标是方程的解在情况中，曲线上存在点

5、，它的坐标不是方程的解。两种情形下的方程不能叫曲线的方程，曲线也不能叫方程的曲线。 到坐标轴距离相等的点所形成的曲线与方程y=x之间的关系，属于上述第种情形。 二、通过数、形结合思想的教学，对学生进行对立统一观点的教育 求曲线的方程问题贯穿解析几何的始终，刚开始，教学中所涉及的曲线应以学生学过的图形为主，求曲线的方程时所用到的代数运算不宜过繁（如要有理化的二次根式，不超过两个），在教学举例中应尽量选用结论和运算都比较简明的问题，这样就有利于突出重点，阐明求曲线方程的每一个步骤的意义。 1.在求曲线的方程时，首先要建立坐标系。在具体问题中有两种情形：一是研究的问题已经给定了坐标系，此时就在给定的

6、坐标系中求方程即可；二是问题中没有确定坐标系，此时必须首先选取适当的坐标系，这两种情形都应通过典型的例题来作说明。特别对第二种情形，应通过举例，对同一问题所选取的几种不同坐标系作比较，让学生理解坐标系选取得适当，可以使运算简单，所得的方程也较简单的道理，这将有利于对曲线的研究。通常应让学生逐步掌握下列几种选曲坐标系的方法， 若条件中只出现一个定点（或一个定圆），常以定点（或定圆的圆心）为原点去建立直角坐标系； 若已知两个定点a、b（或定线段ab），常以ab的中点o为原点，ab为x轴建立直角坐标系； 若已知两条互相垂直的定直线，就以它们为坐标轴建立直角坐标系； 若已知一定点a和一条定直线l，常以

7、点a到直线l的垂直线段的中点为原点，以点a到直线l的垂线的反向延长线为留轴建立直角坐标系； 若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系；当定角为直角时，则以角的两边为坐标轴建立直角坐标系。 教师还应向学生指明，同一条曲线，在不同的坐标系中，方程是不同的，但它们始终表示同一条曲线。 2.要解决好由曲线上的点所要适合的条件列出等式求曲线方程这一难点，特别要注意寻找隐蔽在条件中的等量关系。为了解决这个难点，建议：（1）在举例和练习上要由浅入深，尽量从简单明显的等量关系开始，逐步加深。（2）对几何图形中等量关系比较复杂和隐蔽的例题，教学中应对有关的知识做必要的复习或提示。（3）在分析数量关系时，要求学生仔细审题，要着重分析已知条件和曲线的特征，要抓住与所设的曲线上任意一点有关的等量关系。 3.要重视用正确的坐标式去替代等量关系的训练。用坐标表示条件后就将几何等量关系转化为方程了，转化的关键是能用正确的解析式去替代几何量，为了使学生较好地掌握这个环节，可以在复习坐标法的基础上加以训练，并引导学生作归纳、小结。 总之，曲线方程是数学教学的重要组成部分，对学生的分析能力、逻辑思维等