动量 动量定理 动量守恒定律

1、一、质心一、质心 质心（质心（center of mass）是与质量分布有关的一个代表是与质量分布有关的一个代表 点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。 3-2 质心运动定理质心运动定理 对于对于N个质点组成的质点系：个质点组成的质点系： Ni mmmm，, 21 Ni rrrr ，, 21 )( i mm mrmr iiC / 直角坐标系中的分量式：直角坐标系中的分量式： 质心的位矢：质心的位矢： mxmx iiC / mymy iiC / mzmz iiC / mmrr C /d 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体 分量式：分

2、量式： 面分布面分布 体分布体分布 线分布线分布lmdd Smdd Vmdd )d( mm mmxxC/d mmyyC/d mmzz C /d 质心的位矢：质心的位矢： 质心与重心（质心与重心（center of gravity）是两个不同的概）是两个不同的概 念，重心是地球对物体各部分引力的合力念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力即重力)的的 作用点，质心与重心的位置不一定重合。作用点，质心与重心的位置不一定重合。 例例3-8 求腰长为求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位的等腰直角三角形均匀薄板的质心位 置。置。 取宽度为取宽度为dx的面积元，设薄板每单位的面积元，设薄板每单位

3、 面积的质量为面积的质量为 ，则此面积元的质量，则此面积元的质量 为为 解：解： xxxymd2d2d 0 C y 取坐标轴如图，根据对称性分析取坐标轴如图，根据对称性分析 可知可知 a xx xx m mx x a a c 3 2 d2 d2 d d 2/ 0 2/ 0 2 二、质心运动定理二、质心运动定理 i ii C m rm r 由质心位矢公式：由质心位矢公式： 质心的速度为质心的速度为 质心的加速度为质心的加速度为 t v a C C d d i i i m t v m d d i ii m am t r v C C d d i i i m t r m d d i ii m vm 由

4、牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 n FFFFam 11312111 n FFFFam 22321222 )1(21 nnnnnnn FFFFam 对于对于系统内成对的系统内成对的内力内力 iii Fam ,00 2112 niin FFFF i ii C m am a Ci amF 质心的运动等同于一个质点的运动，质心的运动等同于一个质点的运动， 这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质 点系所受的所有外力的矢量和。点系所受的所有外力的矢量和。 质心运动定理：质心运动定理： Ci amF 一、动量定理一、动量定理 由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：

5、 t p t vm F d d d )(d tFpdd 表示力对时间的累积量，表示力对时间的累积量， 叫做叫做冲量（冲量（impulse of force)。 2 1 2 1 dd p p t t ptF 12 pp 2 1 d t t tFI 其中，其中， 3-3 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 (1) 冲量冲量 的方向是所有元冲量的方向是所有元冲量 的合的合 矢量的方向矢量的方向。动量定理动量定理反映了力在时间上的累积作反映了力在时间上的累积作 用对质点产生的效果。用对质点产生的效果。 I tFd 质点在运动质点在运动 过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。过程中，所受合

6、外力的冲量等于质点动量的增量。 说明说明 逆风行舟的分析：逆风行舟的分析： 动量定理（动量定理（theorem of momentum）：）： 12 ppI (2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量 叠加原理，或以分量形式进行计算：叠加原理，或以分量形式进行计算： t t zzzz t t yyyy xx t t xx mvmvtFI mvmvtFI mvmvtFI 0 0 0 0 0 0 d d d (3) 在在 冲击、冲击、 碰撞问题中碰撞问题中估算估算平均平均冲力（冲力（implusive force）。 t t tF ttt I F 0

7、d 1 0 (4) 动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于 惯性系惯性系。 F(t) F t F 0 0 tt pp (5) 动量定理在处理变质量问题时很方便。动量定理在处理变质量问题时很方便。 研究锤对工件的作用过程，研究锤对工件的作用过程，在竖在竖 直方向利用动量定理，取竖直向上为正。直方向利用动量定理，取竖直向上为正。 例例3-9 质量质量m=0.3 t的重锤，从高度的重锤，从高度h=1.5 m处自由落到处自由落到 受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间 (1) =0.1 s， (2) =0.

8、01 s 。试求锤对工件的平均冲力。试求锤对工件的平均冲力。 以重锤为研究对象，分析受力，以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图。作受力图。 解：解： 解法一：解法一： )()( N0 0mvmgFghm 2 ghmmgF/ N 2 N.s,.)( N 5 10921101F N.s,.)( N 6 10910102F mgF N 解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程，解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程， 其动量变化为零。其动量变化为零。 02)/( N ghmgF 重力作用时间为重力作用时间为gh/2 支持力的作用时间为支持力的作用时间为 由动量定理：由动量定理： ghmmgF/

9、N 2 例例3-10 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及及m 的物体的物体A和和B， m大于大于m。B静止在地面上，当静止在地面上，当A自由下自由下 落距离落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体 的速度，以及能上升的最大高度。的速度，以及能上升的最大高度。 作绳拉紧时的受力图。作绳拉紧时的受力图。 绳子刚好拉紧前的瞬间，物体绳子刚好拉紧前的瞬间，物体 A的速度为的速度为 ghv2 解：解： 经过短暂的冲击过程，两物体速经过短暂的冲击过程，两物体速 率相等，对两物体分别应用动量率相等，对两物体分别应用动量

10、 定理（取向上为正）：定理（取向上为正）： )()( T mvvmtmgF 1 0 2 vmtgmF)( T 考虑到绳不可伸长，有：考虑到绳不可伸长，有： 平均冲力平均冲力FT1 、FT2重力，因而忽略重力。重力，因而忽略重力。 21TT FF mm mv v mm ghm 2 绳子拉紧后，绳子拉紧后，A、B系统的加速度为系统的加速度为 即为绳子刚被拉紧即为绳子刚被拉紧 时两物体的速度。时两物体的速度。 g mm mm a 速度为零时，物体速度为零时，物体B达到最大高度达到最大高度H： 02 2 vaH 22 2 mm hm H )()( T mvvmtmgF 1 0)( 2 vmtgmT *

11、二、变质量物体的运动方程 二、变质量物体的运动方程 设设 t 时刻，某物体质量为时刻，某物体质量为 m，速度为，速度为 (c)，另有一，另有一 质元质元dm ，速度为，速度为 。 v u t+dt 时刻合并后的共同速度为时刻合并后的共同速度为 。vv d 把物体与质元作为系统，由动量定理把物体与质元作为系统，由动量定理 umvmvvmm d)d)(d(tdF 略去二阶小量，略去二阶小量， Fuv t m m td d )( d d 变质量物体运动方程变质量物体运动方程 注意：注意：dm可正可负，当可正可负，当dm取负时，表明物体质量取负时，表明物体质量 减小。减小。 例例3-11 质量为质量为

12、m的均质链条，全长为的均质链条，全长为L，手持其上端，手持其上端， 使下端离地面的高度为使下端离地面的高度为h。然后放手让它自由下落到地。然后放手让它自由下落到地 上。求链条落到地上的长度为上。求链条落到地上的长度为 l 时，地面所受链条作用时，地面所受链条作用 力的大小。力的大小。 解：解：用变质量物体运动方程求解用变质量物体运动方程求解 。 落在地面上链段落在地面上链段 ml 速度为零，作用在未速度为零，作用在未 落地部分落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面给上的外力有重力和地面给 它的冲力。取向下为正：它的冲力。取向下为正： Fgmmvmm t ll )()( d d Fgmm t

13、v mmmm t v lll )( d d )()( d d 即即 Fgmm t v mmmm t v lll )( d d )()( d d 自由下落：自由下落： g t v d d Fmm t v l )( d d m L l ml )(2 d d hlg t l v g L hlm v L m F )(2 2 地面所受链条作用力为地面所受链条作用力为 ghl L m mg L l FF)23( （已落地部分链条的重力）（已落地部分链条的重力） 例例3-12 矿砂从传送带矿砂从传送带A落到另一传送带落到另一传送带B，其速度，其速度v1=4 m/s，方向与竖直方向成，方向与竖直方向成30角，

14、而传送带角，而传送带B与水平成与水平成 15角，其速度角，其速度v2=2 m/s。如传送带的运送量恒定，设。如传送带的运送量恒定，设 为为k=20 kg/s，求落到传送带，求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到上的矿砂在落上时所受到 的力。的力。 解：解：设在某极短的时间设在某极短的时间 t 内落在传送带上矿砂的质量内落在传送带上矿砂的质量 为为m ，即，即m=k t，这些矿砂动量的增量为，这些矿砂动量的增量为 12 )(vmvmvm 其大小为其大小为 tkm vvvvmvm 98. 398. 3 75cos2)( 21 2 2 2 1 设这些矿砂在时间设这些矿砂在时间 t 内所受的平均作内所受

15、的平均作 用力为用力为 ，由动量定理，由动量定理 F )( vmtF N6 .79 )( t vm F 方向由方向由 29 sin75sin )( 2 vmvm 近似竖直向上近似竖直向上 m vm v ii C = = 常矢量常矢量 i iiv mp C vm = =常矢量常矢量 根据质心运动定律：根据质心运动定律： 若若0 i F 三、动量守恒定律三、动量守恒定律 即即 如果系统所受的外力之和为零，则系统的总动如果系统所受的外力之和为零，则系统的总动 量保持不变，这个结论叫做量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律（动量守恒定律（law of conservation of momentum）。

16、 Ci amF 则则0 C a (2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒。（如：碰撞、打击过程等）的总动量守恒。（如：碰撞、打击过程等） (1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个 质点的动量可以变化质点的动量可以变化, , 通过内力进行传递和交换。通过内力进行传递和交换。 说明说明 (3) 分量式分量式 )( )( )( 时当常量 时当常量 时当常量 0 0 0 iz iziz iy iyiy ix ixix Fvmp Fvmp Fvmp (4) 定律不仅适合宏观物体，同样也适合微

17、观领域。定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。 *四、火箭飞行 四、火箭飞行 设设 t 时刻，火箭质量为时刻，火箭质量为 m，速度为，速度为 v (向向 上上)，在，在 dt 内，喷出气体内，喷出气体 dm (0)，喷气，喷气 相对火箭的速度相对火箭的速度(称喷气速度称喷气速度)为为 u (向下向下)， 使火箭的速度增加了使火箭的速度增加了 dv。 若不计重力和其他外力，由若不计重力和其他外力，由动量守恒动量守恒 定律可得定律可得 m m uv d d )(d()d)(d(uvmvvmmmv 略去二阶小量，略去二阶小量， 设设u是一常量，是一常量， 2 1 2 1 d d m m v v

18、m m uv 2 1 12 ln m m uvv m m uv d d m m u m m uv m m 0 ln d 0 设火箭开始飞行的速度为零，质量为设火箭开始飞行的速度为零，质量为m0 ，燃料烧尽时，燃料烧尽时， 火箭剩下的质量为火箭剩下的质量为m ，此时火箭能达到的速度是，此时火箭能达到的速度是 火箭的质量比火箭的质量比 多级火箭：多级火箭： ii n i n Nuvln 1 i u 第第 i 级火箭喷气速率级火箭喷气速率 i N第第 i 级火箭质量比级火箭质量比 111 Nuvln ,ln ,ln 3323 2212 Nuvv Nuvv 最终速度：最终速度： 例例3-13 如图所示

19、如图所示,设炮车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为和炮弹的质量分别为m 和和m ，炮弹的出口速度为，炮弹的出口速度为v， 求炮车的反冲速度求炮车的反冲速度v。炮车与地面间的摩擦力不计。炮车与地面间的摩擦力不计。 解：解：选取炮车和炮弹组成系统选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。内、外力分析。 炮车与地面间的摩擦力不计，炮车与地面间的摩擦力不计， 系统水平方向动量守恒。系统水平方向动量守恒。 v mm m vcos 得炮车的反冲速度为得炮车的反冲速度为 0vvmvmcos 思考：竖直方向动量守恒吗？思考：竖直方向动量守恒吗？ 系统水平方向动量守恒：系统水平

20、方向动量守恒： 炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故 在爆炸中，可认为动量守恒。在爆炸中，可认为动量守恒。 例例3-14 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等， 且以相同速度且以相同速度30 m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块沿相互垂直的方向飞开，第三块 的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速 度（大小和方向）。度（大小和方向）。 0 332211 vmvmvm 解：解： 221133 vmvmvm 2 22 2 11 2 33 )()()(vmvmvm

21、m/s)(2 .213030 2 1 2 1 22 2 2 2 13 vvv 180 ,45, 1tan 1 2 v v 135 即即 和和 及及 都成都成 ， 且三者都在同一平面内且三者都在同一平面内 135 3 v 1 v 2 v mmmmm2, 321 2 22 2 11 2 33 )()()(vmvmvm 例例3-15 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上的两个小孩，在光滑水平冰面上 用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l 。问他们将在。问他们将在 何处相遇？何处相遇？ 把两个小孩和绳看作一个把两个小孩和绳看作一个 系统，水平方向动量守

22、恒。系统，水平方向动量守恒。 任取两个小孩连线上一点为任取两个小孩连线上一点为 原点，向右为原点，向右为x轴为正向。轴为正向。 解：解： 设开始时小孩的坐标分别为设开始时小孩的坐标分别为x10、x20， 在任意时刻的速度分别在任意时刻的速度分别v1为为v2，坐标为，坐标为x1和和x2。 t tvxx 0 1101 d t tvxx 0 2202 d 由运动学关系：由运动学关系： tt tvxtvx 0 220 0 110 dd t tvxx 0 1101 d t tvxx 0 2202 d 相遇时：相遇时：x1=x2 tt tv m mm tv m m xx 0 1 2 21 0 1 2 1

23、2010 1dd)( 由动量守恒：由动量守恒： 0 2211 vmvm 21 102202 0 1 mm xmxm tv t d （1） 代入式（代入式（1）得）得 21 101202 21 102202 101 mm xmxm mm xmxm xx 结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共 同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出。律求出。 C xxx 21 相遇时有相遇时有 作业：作业：3.9、3.17、3.23 如果两个或几个物体在相遇中，物体之间的相互如果两个或几个物体在相遇中，物体之间的相

24、互 作用仅持续一个极为短暂的时间，这些现象就是作用仅持续一个极为短暂的时间，这些现象就是碰撞碰撞 （collision）。如：撞击、打桩、锻铁等，以及微观粒。如：撞击、打桩、锻铁等，以及微观粒 子间的非接触相互作用过程即散射（子间的非接触相互作用过程即散射（scattering）等。）等。 讨论两球的讨论两球的对心碰撞对心碰撞或称或称正碰撞（正碰撞（direct impact）： 即碰撞前后两球的速度在两球的中心连线上。即碰撞前后两球的速度在两球的中心连线上。 1. 碰撞过程系统动量守恒：碰撞过程系统动量守恒： 2211202101 vmvmvmvm 碰撞问题碰撞问题 2010 12 vv vv e 2. 牛顿的牛顿的碰撞定律碰撞定律：碰撞后两球的分离速度：碰撞后两球的分离速度(v2-v1)， 与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两成正比，比值由两 球的材料性质决定。即恢复系数（球的材料性质决定。即恢复系数（coef