理学二阶常系数线性微分方程PPT学习教案

1、会计学1 理学二阶常系数线性微分方程理学二阶常系数线性微分方程 对于对于中的中的)(xf第一项第一项 xi exP )( )( ，可求出一个，可求出一个次多次多 L )(xQL项式项式，使得，使得 xi L k eQxy )( 1 为方程为方程 xi exPcyybya )( )( 的特解，而的特解，而 ik 按按 不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取 0 0 或或 1 1。 ,)()()( )()(xixi exPexPxf 其其中中i PP i PP xP nmnm 2222 )( ，i PP i PP xP nmnm 2222 )( ， 是

2、互成共轭的是互成共轭的次多项式次多项式 L（即它们的对应项系数是共轭（即它们的对应项系数是共轭 复数） ，而复数） ，而,maxnmL 。 第1页/共31页 由于由于中中的的)(xf第二项第二项 xi exP )( )( 与第一项成共轭，与第一项成共轭， 所以与所以与成共轭成共轭 1 y的函数的函数 xi L k eQxy )( 2 必然是方程必然是方程 xi exPcyybya )( )( 的特解，这里的特解，这里 LL QQ 表表示示与与 成共轭的成共轭的次多项式次多项式L， 故故方方程程 sin)(cos)(xxPxxPecyybya nm x 具具有有如如下下形形式式的的特特解解： .

3、 )()( 21 xi L kxi L k eQxeQxyyy 第2页/共31页 xi L kxi L k eQxeQxy )()( )sin(cos)sin(cosxixQxixQex LL xk 由于括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部，由于括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部， 所以可以写成实函数形式：所以可以写成实函数形式： )sin)(cos)( )2()1( xxRxxRexy LL xk 综上所述，有如下结论：综上所述，有如下结论： 第3页/共31页 方方程程 sin)(cos)(xxPxxPecyybya nm x 具具有有形形如如 的的特特解解， )sin)(cos)

4、( )2()1( xxRxxRexy LL xk 其中其中次多项式次多项式是是 )( ),( )2()1( LxRxR LL ，,maxnmL ， 按按而而 k不是不是 i特征方程的根、或是特征方程的特征方程的根、或是特征方程的 单根依次取单根依次取 0 0 或或 1 1。 第4页/共31页 二阶常系数非齐次线性方程特解的解法二阶常系数非齐次线性方程特解的解法 )(xpe m x sin)( cos)( xxP xxPe n m x 不不是是特特征征方方程程的的根根 )1( )( xf自自由由项项 yxfcyybya )( 的特解的特解方程方程 是特征方程的单根是特征方程的单根 )2( 是特征

5、方程的重根是特征方程的重根 )3( x m exQy )( x m exQxy )( x m exQxy )( 2 不是特征方程的根不是特征方程的根 )1(i 是特征方程的根是特征方程的根 )2(i sin)( cos)( )2( )1( xxR xxRey L L x sin)( cos)( )2( )1( xxR xxRxey L L x ,max nmL 其其中中 第5页/共31页 例例 1 1求求方方程程3265 xyyy的的特特解解。 解解： x exxxf 0 )32(32)(， 属属 x m exPxf )()(型（型（0 , 1 m） ，） ， 特特征征方方程程为为065 2

6、rr， 2 1 r，3 2 r， 0 不不是是特特征征根根， 设设特特解解为为 1 0 1 )(AxAexQy x ， 将将 y， Ay )(，0)( y，代入原方程后得，代入原方程后得 32)56(6)(65 11 xAAxAAxAA ，有有 . 9 7 3 1 356 2 6 1 1 A A AA A 故故原原方方程程的的特特解解为为 9 7 3 1 xy。 第6页/共31页 例例 2 2求求方方程程 x eyy 2 4 的的通通解解。 解：特征方程为解：特征方程为04 2 r，2 , 2 21 rr， 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 xx eCeCY 2 2 2 1 。 x e

7、xf 2 )( ，属属 x m exPxf )()(型型( (2 , 0 m) )， 而而2 是是特特征征根根， 设设 x Axey 2 ，代代入入原原方方程程解解得得 4 1 A， 故故原原方方程程的的通通解解为为 xxx xeeCeCyYy 22 2 2 1 4 1 。 第7页/共31页 解解：特特征征方方程程为为012 2 rr， 1 2 , 1 r。 对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解为为)( 21 xCCeY x 。 x xexf )(，属属 x m exPxf )()(型型( (1 , 1 m) )， 而而1 是是特特征征方方程程的的重重根根， 设设 x eAxAxy)( 1

8、 2 ， xx exAxAexAxAy)()23()( 2 1 3 1 2 ， 例例 3 3求求方方程程 x xeyyy 2的的通通解解。 第8页/共31页 代入原方程，有代入原方程，有 xx xeeAxA )26( 1 ，解之得，解之得 6 1 A，0 1 A。 x exy 3 6 1 ， 故故原原方方程程的的通通解解为为)( 21 xCCey x + x ex 3 6 1 。 x xx exAxA exAxAeAxAy )( )46()26()( 2 1 3 1 2 1 ， 第9页/共31页 例例 4 4求求方方程程xeyyy x 2cos3 的的一一个个特特解解。 且且ii 21 不不是

9、是特特征征方方程程的的根根， 设设特特解解 )2sin2cos(xDxCey x ， 则则有有 2sin)2(2cos)2()(xCDxDCey x ， 2sin)34(2cos)34()(xDCxCDey x ， xexf x 2cos)( ，属属于于)sincos(xBxAe x 型型的的函函数数， 第10页/共31页 故故所所求求特特解解)2sin 101 10 2cos 101 1 (xxey x 。 010 110 CD CD 101 10 101 1 D C ， 代代入入原原方方程程有有 xxCDxCD2cos2sin)10(2cos)10( ， 比比较较两两端端xx2sin2co

10、s与与的的系系数数，得得 第11页/共31页 例例 5 5求求方方程程xyysin 的的通通解解。 解：先写出特征方程：解：先写出特征方程：01 2 r，ir 。 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCYsincos 21 。 设设特特解解 )sincos(xDxCxy ， 则则有有 )sincos(sincos)(xCxDxxDxCy ， )sincos(sin2cos2)(xDxCxxCxDy ， 自由项自由项xxfsin)( 属于属于sin)(cos)(xxPxxPe nm x 型的函数，且型的函数，且ii 0是特征方程的根，是特征方程的根， 第12页/共31页 原原方方程程的

11、的特特解解为为xxycos 2 1 ， 故故原原方方程程的的通通解解为为xxxCxCycos 2 1 sincos 21 。 代代入入原原方方程程有有 xxDxCsincos2sin2 ， 比较两端比较两端xxcossin 与与的系数，得的系数，得 2 1 C，0 D。 第13页/共31页 设设 BAxy 1 ， 则则 4 1 4 1 1 xy。 例例 6 6求求方方程程xxyysin14 的的通通解解。 解：其特征方程为解：其特征方程为04 2 r，ir2 ， 原原方方程程所所对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解为为xCxCY2sin2cos 21 。 自自由由项项xxxfxfxfsin

12、)1()()()( 21 ， 令令方方程程为为：14 xyy， 方方程程为为：xyysin4 ， 分分别别求求方方程程与与的的特特解解 21 yy与与。 第14页/共31页 xDxCycossin)( 2 ， xDxCysincos)( 2 ，代入，代入方程方程得得 xxDxCsinsin3cos3 ，0 C， 3 1 D， xysin 3 1 2 ， 从从而而原原方方程程的的特特解解为为xxyyysin 3 1 4 1 4 1 21 ， 故故原原方方程程的的通通解解为为 yYyxCxC2sin2cos 21 xxsin 3 1 4 1 4 1 。 设设 xDxCysincos 2 第15页/

13、共31页 解解： xx x dttftdttfxexf 0 0 2 )( )()(， )()()(2)( 0 2 xxfxxfdttfexf x x ， 即即 x x dttfexf 0 2 )(2)(， )(4)( 2 xfexf x 。 由由和和知知1)0( f，2)0( f， 例例 7 7设设为为连连续续函函数数)(xf，且且满满足足方方程程 x x dttftxexf 0 2 )()()(， )( xf求求。 第16页/共31页 故故所所求求函函数数)(xfy 满满足足下下列列初初值值问问题题： . 2 , 1 00 xx yy 与与方方程程对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解为为

14、xCxCYsincos 21 。 设设方方程程的的一一个个特特解解为为 x Aey 2 ，代代入入得得 5 4 A， 故故方方程程的的通通解解为为 x exCxCy 2 21 5 4 sincos 。 由由初初值值条条件件1 0 x y，得得 5 1 1 C； 由由初初值值条条件件2 0 x y，得得 5 2 2 C， 从从而而所所求求函函数数 x exxxf 2 5 4 sin 5 2 cos 5 1 )( 。 ,4 2x eyy 第17页/共31页 （四四）欧欧拉拉方方程程 形如形如 )( 1 )1(1 1 )( xfyayxayxayx nn nnnn 的的方方程程称称为为欧欧拉拉方方程

15、程，其其中中) , , 2 , 1( niai 为为常常数数。 dt dy xdx dt dt dy dx dy1 ， )( 11 )( 1 2 2 222 2 dt dy dt yd x dt dy x dx dt dt dy dt d x dx yd ， ) 11 ( 1 )( 2 2 2 3 3 22 2 33 3 dt yd x dt yd x x dt dy dt yd xdx yd )23( 1 2 2 3 3 3 dt dy dt yd dt yd x 作作变变换换xtex t ln 或或，将将自自变变量量tx 换换成成，有有 第18页/共31页 利利用用算算子子 dt d D

16、， ,)1()( )( 2 2 2 2 2 2 yDDyDDy dt d dt d dt dy dt yd yx 则则有有 ,Dy dt dy yx ,)2)(1()23(23 23 2 2 3 3 3 yDDDyDDD dt dy dt yd dt yd yx 一一般般地地，有有 ykDDDDyx kk )1()2)(1( )( ， 把它们代入欧拉方程，便得到一个以把它们代入欧拉方程，便得到一个以为自变量为自变量 t 的常系数线性微分方程。在求出这个常系数线性微分的常系数线性微分方程。在求出这个常系数线性微分 方程的解后，把方程的解后，把xtln 换成换成，即得原方程的解。，即得原方程的解。

17、 第19页/共31页 即即 ty dt dy dt yd 22 2 2 ， （）（） 故故方方程程（）对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解为为 t etCCY)( 21 ， 解：令解：令 t ex 或或xt ln ， 设设 dt d D ，Dyyx ，yDDyx)1( 2 ， 原方程化为原方程化为tyDyyDD2)1( ， tyDD2)12( 2 ， 例例9求欧拉方程求欧拉方程 xyyxyxln2 2 的通解。的通解。 其特征方程为其特征方程为 012 2 rr，其根为，其根为1 21 rr ， 第20页/共31页 设设方方程程（）的的特特解解为为 1 AtAy ，代代入入方方程程（）得得

18、 tAtAA22 1 ，比比较较系系数数得得： 4 2 02 2 11 A A AA A ，故，故42 ty。 所以方程（）的通解为所以方程（）的通解为 42)( 21 tetCCyYy t 。 再再以以xt ln ，xee xt ln 代代入入上上式式， 即即得得原原方方程程的的通通解解：4ln2)ln( 21 xxxCCy。 第21页/共31页 二二阶阶欧欧拉拉方方程程 )( 21 2 xfyayxayx 的的解解法法 令令 ,tyex t 关关于于化化为为 的的二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程， 利利用用算算子子 dt d D ，Dyyx ，yDDyx)1( 2 ， 把原方程

19、写成：把原方程写成： , )()1( 21 t efyaDyayDD 化化简简得得 )()1( 21 2t efyaDaD ， 即即 )()1( 21 2 2 t efya dt dy a dt yd 。 求求解解后后用用xt ln 代代回回。 第22页/共31页 为为方方程程的的解解。 设设非非齐齐次次方方程程为为 )(xfcyybya 齐齐次次方方程程为为 0 cyybya )( ),( 21 xyxy为为方方程程的的两两个个线线性性无无关关的的解解， 则则方方程程的的通通解解为为)()( 2211 xyCxyCy ， 将将任任意意常常数数 21 , CC换换成成待待定定函函数数)( ),

20、( 21 xCxC，使使 对对式式求求导导，得得 )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy )()()()( 2211 xyxCxyxCy （五）（五）常数变易法常数变易法 第23页/共31页 )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy 0)()()()( 2211 xyxCxyxC ， 从而从而)()()()( 2211 xyxCxyxCy ， )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy 为为了了使使的的表表达达式式 y中中不不出出现现)( )( 21 xCx

21、C和和的的二二阶阶导导数数， 可可设设 第24页/共31页 将将 yyy , ,代入代入方程方程)(xfcyybya ，得，得 )()()()()()()()( 11112211 xcyxybxyaxCxyxCxyxCa )()()()()( 2222 xfxcyxybxyaxC 0)()()( 111 xcyxybxya， 0)()()( 222 xcyxybxya， )( 1 )()()()( 2211 xf a xyxCxyxC ， )( ),( 21 xyxy为为齐齐次次方方程程0 cyybya的的解解， 第25页/共31页 把把式和式和式联立得方程组式联立得方程组 ).( 1 )()()()( , 0)()()()( 2211 2211 xf a xyxCxyxC xyxCxyxC )( ),( 21 xyxy线线性性无无关关， 0 )()( )()( )( 21 21 xyxy xyxy xW， )()()()( )()( 1 )()( )()( )()( 1 )(0 )( 2121 2 21 21 2 2 1 xyxyxyxy xyxf a xyxy xyxy xyxf a xy xC ， 第26页/共31页 , )()()()( )()( 1 )()( )()( )( 1 )( 0)( )( 2121 1 21