【2019年整理】4-基本方程

1、第四章流体力学基本方程组1输运定理 2质量守恒定律 3动量方程 4角动量方程 5能量守恒原理 6初始条件和边界条件1输运定理流体力学的研究对象所有的力学定律，都是从系统的观念推导而得的，而以系统为对象研究流体运动，就必须随时对系统进行跟踪并识别边界，这在实际流动过程中显然是很难的。况且，工程上所关心的问题也不在于跟踪质量确定流体的运动，而在于确定的设备空间中流体的流动行为O在工程流体力学中，更多的是采用以控制体为对象，而如何将基于系统 的基本原理表达成适用于控制体的形式，这就是输运定理所要解决的问题。1输运定理系统与控制体1系统:系统是一团确定不变的物质的集合。特点：(1) 系统边界随流体一起

2、运动，其形状、大小可随 时间变化；(2) 系统可以通过边界与外界发生力的作用和能量 交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不 变的。2.控制体：在空间上体积固定不变的连续、封闭区域。特点：(1)控制体的边界相应于坐标系是固定不变的；(2)控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而 且可以有质量的交换。1输运定理输运定理流体物质系统（T时刻位于控制体内）控制体J DdtdA 蠢时刻控制 体OdtdA+ dt时刻流出的物质 -dt时刻流入的物质内的流体物质系统屮物理量JJ WU+ J vdtdA系统）V控制体）A（控制边畀输运定理：控制体内函数变化量等于同一空间内函数的时间不均匀性引起的变化量与控制

3、体界面上由于对流引起的函数变化量之和。是由欧拉首先提出的。流体物质系统J DdtdA 蠢OdtdA（T时刻位于控制体内）+ dt时刻流出的物质 -dt时刻流入的物质内的流体物质系统 物理量d_dtxdV = dtxdV + dtj OdtdAA（控制边界）输运定理：控制体内函数变化量等于同一空间内函数的时间不均匀性引起的变化 量与控制体界面上由于对流引起的函数变化量之和。是由欧拉首先提出的。10/57流入 部分TT时刻位于控制体内J OdtdAJ udtdA的流体物质系统卄时刻控制体内流体物质流出的物质 -流入的物质ddtdV =關统）P w控制体）dV +udAA（控制边界）输运定理：控制体

4、内函数变化量等于同一空间内函数的时间不均匀性引起的变化量与控制体界面上由于对流引起的函数变化量之和。是由欧拉首先提出的。1输运定理输运定理+ J y/(r,t)dV - J y/(r,t)dVV(rj+Ar)V(r,z+Ar)f y/dV = lim dt I3T)ArJ(r,r + Ar)dV J y/rtydV(/+/)lim 以八丫 + S以八，)dV =V(r,/4-A/5VV/(r)/j*0(厂 J y/rtydV = j*0(厂HU“+/)v(r.r)AVdv = l -dA =(问)必4lim f i/zz/V = f wycIA亠一 z L (J)dV=dV+odAVV/5 2

5、质量守恒方程质量守恒定律对于系统，由质量守恒定律有:ddtJ pdV = O应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时质量守恒方程jy = J/y+jAy. = O 山vv山 AJ pvdt胡办A控制体内的 质量变化量+输出控制体 质量流量输入控制体 质量流量输出控制体 净质量流量质量守恒定律局部质3E 变化率对流质量 通量r dpdV + pvdA= 0A控制体内质量随时间的变化率与通过控制面的对流 质量通量之和为零。微分形式j dV+j pvdA= 0VAl 字+血S)dV = O运用高斯散度定理，则有质量守恒定律的积分形式:16/57质量守恒定律的微分形式:+ div ( pv) dV =

6、0詈+ div(R)= O对不可压缩流体,，则方程简化为diw = 0以控制体为研究对象时质量守恒方程dA=O以流体微团为控制体的微分形式詈+ div （珂肿/ = 0直角坐标系微分方程a + dxy控制体内部z夕udyoy X/ d(pnx) pu Y +dxdxdpdxdzdydt dtdp(p + dtdxdzdy 一 pdxdzdy dt微分形式推导込+込+込从0dt dxdydz生 dxdzdydt + 沁 + 沁 + 冲 dxdzdydt = o dtdx dy dzX方向边界净流量d(pu )d(pu.)pux + dxdydzdt _ puxdydzdt = dxdydzdtd

7、xdxy, z方向边界净流量d(pUy) dxdzdydt dxdzdydt dydz3动量方程对于系统，由动量守恒定律（牛顿第二定律）有:d_ dt V(r,r)J vpdV = 工Fdt VV(A)应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时动量守恒方程V0(可dtdV + J pu(udA) = 22(A)J pDudtUdA/dt(A)控制体内的动量变化率作用于控制体的合力输出控制体 动量流量输入控制体 动量流量控制体净输出 的动量流量20/573动量方程外力体积力表面力单位质量上的体积力 单位面积上的表面力应力矢量应力张量矩阵形式t = T（r,t,n）应力张量和方向矢量缩并得应力矣量Ty

8、xXT TnyykyT Tnzyzz _L z JTZX 3动量方程X + Tyxny1 n +T n +T n jTnx + Tnv +T77n7k战兀 k y zz z J3动量方程用应力张量替换应力向量，动量平衡方程可写成:体积力表面力动量变化率对流动si 3； IBI重通BEdV+ pvpdApgdV+ TdA(A)J pv(v.dA=F3动量方程dV+ pvdA)= pgdV + TdA(A)V(A)fF(Qu)+ div (po o 0) yL &Jdu 二 J (廳+ div T)dVV0。J =I表面力合力I散度定理dtdiv pv Q)=廟 + div T。（爪）|4445匕

9、Q（应力张量的散度表示流 体应力状态的不均匀性）单位体积内总的动量变化率等于作用在物体上的外力之和。33/57pdtdupdt +考虑到连续性方程，字+血（丹）=0上式变为：dt=g+ 丄 divTdtp上式为柯西运动方程，表示单位质量流体的动量平衡。积分形式微分形式一dV + J pi5(pdA= J pgdV + TdA(A)dtp直角坐标形式dt)x dvx du -+ Dv - + Uv - + V- pdV = ( pg + divT ) dt7dV、dr Qt龙 i _+ Ubzxdx dydz )dedr _iT _|k dxdy& 丿二+吆+生、 dx67 丿 /duY1 de

10、二g* + P1 ( drdtxdxydy4dzdvxduvdvx+ q +U, + u- = gv + dtdxdydzpdv_do_dv_dv_1dr+q +vv +u = g_ + Ot內 07du du du du-+ u. - + S - + u_ -=禺 儿汕“ Pdt dx - dy dz普Pig“Ob St+ 一+dx dyde+川 IJ dx dy dz 丿/ dr _a、dxdydzg Sr drdx dy dz 丿dxdydzVer 、Xdx dydz +dx jdx dydz +dy dz 丿j dx第三章基本方程组1输运定理 2质量守恒方程 3动量方程 4角动量方程5

11、能量守恒方程 6初始条件和边界条件 4角动量方程角动量守恒原理是指一定体积y流体的角动量变化率等于作 用在该流体上的所有外力矩之和。对于系统，由角动量守恒定律有：J (rxu)pdV =去g)应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时角动量守恒方 程可表述为：控制体净输出丄 的动量矩流量十控制体内的动 量矩变化率作用于控制 体的总力矩37/57 4角动量方程应力张量就是对称的TT ,7二-T .TT刃 yx第三章基本方程组1输运定理 2质量守恒方程 3动量方程 4角动量方程 5能量守恒方程 6初始条件和边界条件 5能量守恒方程能量守恒定律可表述为：系统从外界吸热的速率与系统对外 界做功的速率之差等

12、于系统能量的变化率。Q-w =dE力系统44/57能量守恒原理是针对物质系统而言的，物质系统能量的变化 取决于它和环境的相互作用。若一个系统和它的环境有力的作用, 则总能量变化指动能和内能之和的变化：dEdt+ s p dV对开放系统，能量守恒方程为:(2pdV - pgv dV + j DTdA-热通量IJ动能和内、能变化率体积力应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时能量守恒方程u2 )+ s p dV +(4)(2vdt dA)/dt = j pgv dV 4- j DTdA 一 j qdAv(A)(A)控制体净输出I 的能量流量丁控制体内的能量变化率外界对控制体对做功的速率外界向控制体放

13、热速率-(2 、V + 8 dt 2/?dV+ j(A)、一 + s pv(A-pgvAV + jtJTdA-2、(A)J减(A)运用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程:d pdt 2 J pV dA + J pV dA + J pV dA = 0AinA outA wallR （ 八V71R c 1 Ijirdr = 0c = 2V。I R2JK例331密度为的不可压缩均质流体以均却速度V进入半径为尺的 水平直圆管，出口处的速度分布为及=c（i-右 式中c为待定常数，r 是点到管轴的距离，如果进出口处压力分别为必和 求管壁对流体的 作用力。v i(A)v(A)| pvvd A) = | p

14、gdV + Tcl AAVA1）控制体与边界条件J曾山v+J爪価）二J曲2）质量守恒方程3）动量方程pvvd A)+Ainr T T TI pvvd A)+A outpvvd A)Awal I= Jp?dU+ TdAVAin + Aout + Awal lP 2V l-F- 丿Ircrdr-7tRrpV = p虑-p?7iR2 _ F(lF (p2-A)+|pV21）控制体与边界条住Pi V三A2RJ三 U P2 F =j t dAAwall2）质量守T旦方程 pV-dA+ | pV-dA+ pV-dA = Q V7 _c017urdr-0 c = 2VAinA outAwall42/573）

15、动量方程pv(vd A) - pgdV +VTdAAin + Aout + Awallpv(vd A)+ jA)+ JAinA outAwallR( 2、2p02V27rrdr-7iR2pV2 = pR2 - p27rR2 -Fd 巧二二叔（血-卩）+亍妙2K例341密度为q的两股不同速度的不可压缩流体合流，通过一 段平直圆管，混合后速度与压力都均匀，如图所示。若两股来流 面积均为今，压力相同，一股流速为V,另一股流速为2匕假 定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失 为p4V316“1）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程K例341密度为q的两股不同速度的不可压缩流体

16、合流，通过一 段平直圆管，混合后速度与压力都均匀，如图所示。若两股来流 面积均为今，压力相同，一股流速为V,另一股流速为2匕假 定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失 为p4V31）控制体与边界条件J刃曲+ pV dA = O=0AinA out2）质量守T旦方程 3）动量方程K例341密度为q的两股不同速度的不可压缩流体合流，通过一 段平直圆管，混合后速度与压力都均匀，如图所示。若两股来流 面积均为今，压力相同，一股流速为V,另一股流速为2匕假 定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失 为p4V316“1）控制体与边界条件2）质量守T旦方程AinAoutT

17、T T p u(u d A)+T T T * T pv(vd A) = pgdV +TdAAwal IAin + Aout + Awal l3）动量方程AA- pV2- + p(2V)-1）控制体与边界条件2）质量守恒方程3)动量方程(p. v2 h丄 1pv+(p. 4Vn f +如+罗p2) /27 2丿224丿pVndA- j亀I。2丿AE = E_E? =AinAoutTTTTTTTTTTT-士卓、0u(udA)+ J puudA)+ J pu(udA) = pgdV+ TdA木主AmAwallVAin+Aoul + Auall3)42/571 9= pV-A4A0 44）机械能损失P

18、iA-P0 = pV- pV2- + p(2V)2-E3-53为了测定圆柱体的阻力系数将一个直径为，怅度 为/的圆柱放在二维定常不可压缩流中，实验在凤洞中进行，在图中2-2截面上测得的近似的速度分布如图所示，这两个截面上的压 力都是均匀的，数值为上亠。试求圆柱体的阻力系数口，G的定文式 为=厂=其中Fd为圆柱绕流时的阻力，p为流体密度, 蔦为来漬速度。1)控制体与边界条件2)质量守I旦方程J刃+ J)3)动量方程 皿J pvvd A)+ J pu(ud A)+AinA outKW3-53为了测定圜柱体的阻力耒数将一个直径为，怅度为/的圜柱放在二维定常不可压缩流中，实验在冈洞中进行，在图中 1-

19、1, 2-2截面上;则得的近似的速度分布如图所示，这两个截面上的庄 力者B是均匀的，数值为08。试求園柱体的阻力茅数C 6的定义式 也U九壮为来;盘速度。7其中g为圜柱绕流时的阻力，Q为流体密度,1)控制体与边界条件2)质量守I旦方程3)动量方程A wallt dAEW3-53为了测定圜柱体的阻力耒数 Q ,将一个直径为，怅度柱放在二维定常不可JEE缩流中,实验在冈洞中进行，在图中这两个截面上的庄1-1, 2-2截面上测得的近似的速度分布如图所示,力者B是均匀的，数值为PS。试求園柱体的阻力茅数C6的定义式 为，其中 6 为圜柱绕流时的阻力，Q为流体密度， 壮为来;盘速度。1）控制体与边界条件

20、J pV dA+ JpV 6/4 = 0AinA out2）质量守T旦方程 2V h3）动量方程C&I3-53 为了:则定阖柱体的阻力羡数将一个：径为，荻廈为/的U柱故在二维定常不可圧纟宿流中，实骏在凤洞中进行，在图中 1-1，2-2截面上测得的逅似的速度分希如图所示，这两个裁面上白勺圧 力者卩是均勻的，数值为Pg。试求国柱悻旳阻力手数U 耳旳定汶式 为 0迓=1S, 宾中刃住为國柱绕流日寸的阻力，F 为流体密廈，乙为来潦逢廈。p p - 一 - -p pJ pu(ud A)+ J pu(ud A)+ J pu(ud A) = J pgdV +Td AAinA outAwal IVAin + Aout + Awall1)控制体与边界条件2*( y2)_ p 2 质量守恒方程 d 真2d2 2py2ldy-dpVl -dpVl3）动量方程1）控制体与边界条件2）质量守T旦方程j pV-dA+ pV d2 = 0，AinAout2以=2特站=2嘉4宀2曲_ i |、 工口 c- 一 一3)动重方木王 J人)+J pvvd A)+Jp v(v