量子力学第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案

1、第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在谐振子势 V(x)2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用：. p dx nh, n 1,2,.2mE V(x)解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为其中a由下式决定：E V(x)xa由此得a ,2E/m 2(2)x a即为粒子运动的转折点。有量子化条件；p dx 2 2m(Ea ,2x2) dx2ma,a2 x2dxa2ma2 nh/曰 2 nh(3)得a2m代入(2),解出En n1,2,3,(4)积分公式:22 ,a u du.u carcsin ca1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件

2、求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x, y, z轴方向，把粒子沿 x, y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有: Px dxnxhnx1,2,3,Px 2a nxh(2a： 一来一回为一个周期)Px nxh/2a ,同理可得,Py nyh/2b,Pz nzh/2c,nx, ny,nz 1,2,3,粒子能量12Enxnynz (Px2m2 222py Pz)2m2 nx -2 a2 ny b22 nzcnx,ny, nz1,2,3,1.

3、3设一个平面转子的转动惯量为I,求能量的可能取值。2提示：利用0Pd nh, n1,2,p是平面转子的角动量。转子的能量E p2/2I o解：平面转子的转角（角位移）记为它的角动量p I（广义动量）是运动惯量。按量子化条件p dxmh,m 1,2,3,因而平面转子的能量Em1.4有一带电荷e质量2p2/2I1,2,3,2 2 m2 2/2I ,m的粒子在平面内运动，垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.（解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动位，洛伦兹与向心力平衡条件是：，设圆半径是r ,线速度是v，用高斯制单2Bev mv又利用量子化条件，令电荷角动量q转角2pdq mrvdmrvnh

4、(2)即 mrv nh,1由（1）（2）求得电何动能=-mv2Be n2mc再求运动电荷在磁场中的磁势能，按电磁学通电导体在磁场中的势能磁矩*场强 电流*线圈面积*场强.2 .ev* r * B ”是电荷的旋转频率，vv 、，一，代入前式得2 r运动电荷的磁势能=BeJn (符号是正的)2mc点电荷的总能量=动能+磁势能=E= Be n ( n 1,2,3)2mc1.5 , 1.6未找到答案1.7 (1)试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律nM 1 n2sin 20认为p mv则 pdl 0这将导得下述折Ev仍就成立，E是粒子能量，从一种 c(2)光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出

5、下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理pdl射定律n1sin 3 n3sin 1这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 媒质到另一种媒质 E仍不变，仍有 pdl 0,你怎样解决矛盾?(解)甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的In1AQ B设A , B到界面距离是a,b(都是常量)有In1asec 1 n2 bsec 2又AB沿界面白投影c也是常数，因而1,2存在约束条件:atg 1 btg 2 c (2)求(1)的变分，而将1, 2看作能独立变化的，有以下极值条件I n1asec 1tg1d1 n2bsec 2tg2d20 再求(2)的变分

6、asec2 1d 1 bsec22d2c 0与（4）消去d 1和d 2得n1s访1 n2Sin 2乙法见同一图，取x为变分参数，取0为原点,则有：In1 a2 x2n2 b2 (c x2)求此式变分，令之为零，有： Inix xn2(c x) x 0.b2 (c x)2这个式子从图中几何关系得知，就是（5）.（2）按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vG光程原理作vGdl0,依前题相速22vp J,而vGJ cn, n是折射率,n是波前阵面更引起的，而波阵面速度则是相速度vp，这样最小作用vgvp量原理仍可以化成最小光程原理ndl 0前一非难是将光子的传播速度v看作相速度Vp的

7、误解.1.8 对高速运动的粒子（静质量m）的能量和动量由下式给出2mcv21 c22(2)mv22 V2c试根据哈密顿量及正则方程式来检验以上二式 速.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光（解）根据（3）式来组成哈氏正则方程式组qiH ，本题中qi v, pip,因而pi 22 42 2c pv 一 m c c p 2 422p. m c c p(4)从前式解出p （用V表示）即得到（2）.又若将（2）代入（3），就可得到 式.其次求粒子速度 v和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设：p k于（3）式右方，又用于式左方，遍除h:k2(k)按照波包理论，

8、波包群速度 vG是角频率丢波数的一阶导数:m2c4vGk 12k2c2k2 4m c22c P3 422m c c p最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而VG v 又按一般的波动理论，波的相速度VG是由下式规定Vp（是频率）利用（5）式得知VP2 4m c 22 2 c c k(6)故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出vG和Vp的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设:Vp2 c (7)vG补充:1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,x 0, x a V(x)Q 0 x a试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有a n - (n 1,2

9、,3,)2a/n又据de Broglie关系p h/而能量E p2/2m 2/2m 2.2 22 22h nn2m 4a2 2ma2n 1,2,3,(1)(2)(3)12 21试用量子化条件，求谐振子的能量谐振子势能V(x) 2m 2x2(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式：白pdq nh在量子化条件中，令p mx为振子动量,q x为振子坐标，设总能量EP22m2m(E2 2m x代入公式信：,2m(E )dx nh量子化条件的积分指一个周期内的位移，可看作振幅OA的四倍，要决定振幅a,注意在A或B点动能为-12 2.0, E m a ,(1)改写为：22 m

10、-、a2 x2 dx nh a积分得：m a2 nh一1遍乘得2 h乙法也是利用量子化条件，大积分变量用时间t而不用位移X,按题意振动角频率为，直接写出位移X,用t的项表不：q x a sin t求微分：dq dx a cos tdt (4)求积分：p mx ma cos t (5)将(4)(5)代量子化条件： ,22T 2p pdq ma 0 cos tdt nhT是振动周期,T=，求出积分，得2h n nm a nh E n n2n 1,2,3 正整数#2用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量，箱的长宽高分别为a,b,c.（解）三维问题，有三个独立量子化条件，可设想粒子有三个分运动，每

11、一分运动是自由运动 .设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时，与此壁正交方向的分动量变号（如pxpx）,其余分动量不变，设想粒子从某一分运动完成一个周期，此周期中动量与位移同时变号，量子化条件：apxd qx nxh 2 Px 0 dx 2a Pxbpydqy nyh 2 Ry 0 dy 2bpycpzdqz nzh 2pz0dz 2cpzpx，py，pz都是常数，总动量平方p v；rplp1pT总能量是：E 呆 J；2m 2m2PyP2)LX (火 2m 2a ,2b2 nzh 2)噂”)28m a(庄)2c但 nx, ny, nz1,2,3正整数.3平面转子的转动惯量为，求能量允许值.（解）解释题意：平面转子是个转动体，它的位置