大学机械振动课后习题和答案(1~4章总汇)

1、1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个 离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下， 汽车振动有几个自由度 ?1.3 设有两个刚度分别为 k1 , k2的线性弹簧如图 T1.3所示，试证明:1）它们并联时的总刚度 keq为：keq=ki，k22）它们串联时的总刚度keq满足:eqk1k2解: 1）对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为 x，但受力不同，分 别为：R =KxF2 = k2x* 矗201 1 Id由力的平衡有：P二R F = （k1 k2）xP故等效刚度

2、为：keqk1 k2x2）对系统施加力P,则两个弹簧的变形为： P/1 ，弹簧的总变形为：X =捲+x2 = P（丄+丄）Pk1 k2故等效刚度为:1 1=+ keqxk2k1k1k21.4求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1 , t2。1.4求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1 , t2。解：对系统施加扭矩 T,则两轴的转角为:可Tkt1kt-2kt 2kt系统的总转角为:系统的总转角为:kt1kt2keq1 1)kt1kt21 1 1故等效刚度为：一keqkt1kt 21.5两只减振器的粘性阻尼系数分别为C, , C2，试计算总粘性阻尼系数Ceq1）

3、在两只减振器并联时,2）在两只减振器串联时。解：1）对系统施加力p,则两个减振器的速度同为 x，受力分别为:* F, = q xP2 - C2X由力的平衡有：p =p, P2 = （ci C2）XP故等效刚度为：ceqc c2x2）对系统施加力P,则两个减振器的速度为：Xi聖Ci11/，系统的总速度为： 比=九+*2=卩（一+ ）X2 丄C1 C2C2故等效刚度为：Ceq =P =丄丄X C1 C21.6 一简谐运动，振幅为 0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。解：简谐运动的.T二证飓，振幅为5 10x=5仿込(祐)(m)即：*5仗加忖）（认）,3厶九2厶L2X - -5 10(

4、 t) cos( t)(m/s )0.150.15所以：xma510(m/S)Xmax =510( 2O.15)2(m/S2)1.7 一加速度计指示出结构振动频率为82Hz,并具有最大加速度 50g，求振动的振幅。（2二 f）22解牛：由 Xmax二A ：；二n可知:1.8 证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即：Bsin二 arctg ()A + BcosC = Ja2 +2ABcos +B2A cos t - Bcos（t）二 C cos（，t - v），并讨论=0,二 / 2，二三种特例。证明：Acos t Bcos(，t)=Acos t B cos t co

5、sBsin t sin=(A Bcos )cos t Bsi n si nt=,(A Bcos )2 (Bsin )2 cos( t - v)=A 2ABcos B2 cos(，t - j)=Ccos( t - v)其中:1)当=0时：V - 0;C = A B ；2) 当 =二2时：丁 _arctg(B/A);C =fA2 B2 ；当：=二时：v - 0;C = A - B ；1.9 把复数4+5i表示为指数形式。解：4+5i二Aer，其中：A = . 42 52 , v - arctg(5)41.10 证明：一个复向量用i相乘，等于把它旋转二 /2。证明：Ae二 i =AeF e2 =Ae

6、 21.11证明：梯度算子V是线性微分算子，即v af (x, y,z) bg(x, y, z)討 f (x, y, z) b g(x, y,z)这里，a, b是与x、y、z无关的常数。1.12求函数g (t A cos p t - Bcosq t的均方值。考虑p与q之间的如下三种关系： q = np ,这里n为正整数； q/p为有理数； q/p为无理数。1.13 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规 律(位移、速度、加速度、阻尼力 )。图 T 1.131.14 汽车悬架减振器机

7、械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T1.14所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律，并与前题比较。图 T 1.140)2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为o设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3 ,然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，贝mg 二 k、：，即：n 二,k/m = 、g/ :.取系统静平衡位置为原点x=0，系统运动方程为：mX kx = 0% =2(参考教材P14)Xo = 0解得：x(t) =2、cos nt2.2弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上

8、1kg物体后弹簧长85cm。设用手托 住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期 及弹簧力的最大值。解：由题可知：弹簧的静伸长LI = 0.85 0.65 =0.2(m)所以： 匕二、f 二器二 7(rad /s)取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：H5.=0其中，初始条件：!x(0)=q2(参考教材P14)1X(0)= 0所以系统的响应为：x(t) - -0.2cos，nt(m)弹簧力为：Fk = kx(t) = g x(t) - - cos nt(N)因此：振幅为0.2m、周期为(s)、弹簧力最大值为1N。72.3重物mi悬挂在刚度为k的弹簧上并处

9、于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由洛到mi上而无弹跳，如图所示，求其后的运动解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x = 0，则当m有x位移时，系统有：1 2Et =2(mi m2)x1 2U kx2由d(ET U ) = 0 可知：(m1 m2)x = 0即：n = ； k / (mi m2)x系统的初始条件为:xo 一 kHo =m/2ghmj +m2（能量守恒得:m2gh -(m1 m2)xo2)=ma因此系统的响应为：x(t) = Ao cos nt A1 sin ntAo = xok2ghkm1 m2其中：A =也- m2g1- n即: x(tmkg(con

10、 J 2ghk sinCOnt)kVmm22.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧 k约 束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角r为坐标，逆时针为正，静平衡位置时J - 0，则当m有二转角时，系统有：Et -I-mrf221 2Uk(rr)22(I由d(ET U 0可知:2.5均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求 此杆相对铅垂轴00微幅振动的周期。7/a0h02.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k2=2ki,k3=ki解：取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x=0,则当m有x 位移时，系统有：Et =

11、 -mX22LU# 丿八U = -kx2 -k-x2 = 5k-x2 （其中： k2 ）226k - +k2由d(ET U ) =0可知:mx 5k t x = 03即:(rad/s)，T 二 2(s)2.7如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为 R的圆轨面内无滑动地、以圆 轨面最低位置0为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率解：设物体重量W，摆角坐标v如图所示，逆时 为正，当系统有二摆角时，贝aU (R -r )(1 -COST) ： W(R -r)-2设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：c =(R -小小，即:;=(4r0记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为Ia，贝Ic W2

12、 JW2 .Wr2g 2 gg)2(咒)(M2世(R-r门24 g(或者理解为：Et Ic?2 1W(R -r)2，转动和平动的动能)22 g由d(ET U ) =0可知:-W(R -r)M W(R -r 户-02 g即：s产(rad/s)2.8横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮 静止在比重为 的液体中。设从平衡位置压 距离x（见图）,然后无初速度地释放，若不计 尼，求浮子其后的运动。I-有初始条件为:所以浮子的响应为:解：建立如图所示坐标系，系统平衡时 x=0，由牛顿第二定律得:2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴Oi, 02转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图

13、示位置 （半径OiA与02B在同一水平 线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为 mi, m2。由于两轮无相对滑动，因此其转角比为:解：两轮的质量分别为m1,m2，因此轮的半径比为:M r28取系统静平衡时円=0，则有：Et =1（2口1户|2 （如叨導=扣1 m2）rj晋1 2 1 2 1 2U =ki（ri）2 2k2（2=2）2k2）（rG）2由d（ET U ） = 0 可知：（mi m2）rj乱2 （ki k2）ri爲i = 0即：灼（rad/s），T =2沢（s）V mm2壯忆 +k2）ka2I P R22.10如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的 动惯量为I,轮

14、缘绕有软绳，下端挂有重量为P的 体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平 簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡 二=0，贝U当轮子有二转角时，系统有：Et =丄1 孑1P(Jr)2 = (lPr2)J222 g2g1 2U k)2由 d(ET U) =0 可知：(I PR2)护 ka2v_0g2乂卩(s)(rad/s)，故 T =上=2兀彳g2叫 $ ka2.11弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为 T,如果在m上附加一 个质量mi,则弹簧的静伸长增加 山，求当地的重力加速度。解:Eg 二 kkl4n2mlgmiTm-i2.12用能量法求

15、图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/20 (1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。aL解：取系统的摆角，为坐标，静平衡时=0(a)若不计杆重，系统作微振动，则有：4(-l222 gEtU 二 PgL(1 COST) ： fpgL J由 d(ET U)=0 可知：PL2*PLv-0g即:(rad/s)如果考虑杆重，系统作微振动，则有:Et(PL2)#1(1mLL21(P 匹)L勺2 g2 32 g 3U =PgL(1 - cos miLgL(1 - COST) ： (P mk)gL 2g 22miLmiL由d(ET U)=0可知：(P 匹儿铀g

16、 3U 号)gL”0U-号)疙2U-号)疙2(匕+号)-(匕)L(b)如果考虑杆重，系统作微振动，则有:PT 丄2八坊U-号)疙2即： nP m,kL(g+T)gV(P :l)lg 3(rad/s)(c)如果考虑杆重，系统作微振动，1 P 2 2112 -J2Et( L )( mlL )】2 g2 3则有:2U V号)吒1即： nkLPT _ (一4gP .(_L)L g 3mL、2 )g(rad/s)mL2.13求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式2答案：系统的运动微分方程 mX -一2kx = 0a2.14 一台电机重470N,转速为1430r/ min，固定在两根5号槽钢组成

17、的简支 梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N,弯曲刚度EI = 1.66 105Nm2(a )不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b) 设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c) 计算说明如何避开电机和系统的共振区。2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。wL /(3EI)2.16求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L 解：假设U形管内液柱长I ，截面积为A，密度为匸，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x时，有:1 2Et Alx|22U =A x g x由d(E

18、T U ) =0 可知：、Aixi 2g：、Ax =0即：n(rad/s)，T =兀(s)A,2. 17水箱I与2的水平截面面积分别 Ai、A2,底部用截面为Ao的细管连接。 液面上下振动的固有频率。解：设液体密度为匚取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降Xi时，右边液 面上升X2，液体在水箱I与2和细管中的速度分别为*1，*2,*3，则有:1 2 1 2 1 2Et =2【A1（h -X1）x122【A3LX322A2（h x?）*2i A 2A1 2 1 2A1h A3L（丄）A2h（丄）XA3A2（由于：h -x1 : h; h x2 : h;= A2X2 二 A3X3； Am = A2

19、x2）由d（ET U ） =0 可知：h（1L（卽 1g（1敎1=0（rad/s）即：n2.18女口图所示， 中振动。设Ti、明：一个重 W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体 T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证-2 W T2 工gATiT2、并指出）的意义（式中液体阻尼力Fd= ?2Av）/ / z /2.19试证明：对数衰减率也可用下式表示：=丄1 n西,（式中xn是经过n个循n Xn环后的振幅）。并给出在阻尼比为0.01、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解：设系统阻尼自由振动的响应为x（t）；to时刻的位移为Xo ； tn =to - n

20、T时刻的位移为Xn ；贝9：=e-nnTdx0 _Xe_ nto cos( dt0 - )X；二好 n(t0 nTd)cos d(to nTd)-所以有：In 勺 二 nnTd 二 n、= n In 虫，即：=lnXn洛n Xn当振幅衰减到50%时，xn=O.5xo，即：n=丄1n2 = ln2d2肚1）当.=0.01时，要11个循环；2）当-0.1时，n -1.1 ;要2个循环;3）当=0.3时，n =0.34 ;要1个循环;52.20 某双轴汽车的前悬架质量为 mi=1151kg,前悬架刚度为ki=1.02 10 N/m, 若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要

21、求前悬架的阻尼比.=0.25，那么应给前悬架设计多大阻尼系数（c）的悬架减振器？2.21重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长、,在上下运动时所遇到 的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物 体在静平衡位置以初速度V0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为X坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微 分方程为：PPX cX x = 0g、系统不振动条件为：-1,即：一2卩/.丁x ；_； o物体在平衡位置以初速度 0开始运动，即初始条件为：X：】-此时系统的响应为：(可参考教材P22)1)当1 时： x(t)nt(A1e nt 2 J A2e

22、口)其中:2)当二-1时:x(t)二 Aq A2te 一，其中:二 0即：x(t)二：ote 宀3)当二 wX - -K(x - y)w X KY cos L tw X Kx = KY cos L:-12二VwS2X(s) KX(s)二KY7(、KY 轴2X(s)二(s2 (竿)2)(ws2 K) nx, 2岛 丄2aY ,X 右sin a sin，nt kl2yL(a/ . 2)2 0 一 1工2)2 一 1 二护一 KiV = 2 k/w2.33mX KX=KyXn2X = ；yA2y2n2与L2v2 - rl24:2m2.34单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T2.34),。试求在微幅的强

23、迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为 L,摆锤质量为m02.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率 16002200r/min范围的振动 隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少？2.36试从式(2.95)证明：1. 无论阻尼比取何值，在频率比，/、.2时，恒有X = Ao2. 在，I -2 , X/A随增大而减小，而在，I n 2 , X/A随.增大而增大。2.37某位移传感器固有频率为4.75Hz,阻尼比 =0.65。试估计所能测量的最低频率，设要求误差1%, w%。2.38 一位移传感器的固有频为率 2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振 动，测得振幅为0.132cm问实

24、际振幅是多少？误差为多少？2.39 一振动记录仪的固有频率为fn= 3.0Hz，阻尼比 =0.50o用其测量某物体 的振动，物体的运动方程已知为x=25sin4 什 1伽8 t (cm)证明：振动记录仪的振动z将为z= 1)跖11(4t-50)+1.15sinE t-120)(cm)2.40求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零解：ah(t) =mhre-b sin %th(t)二me-Zsin d(t)h(t)二 msin 览h(t-2)=m4sind(t-)tfX=dcos n(t -)嗨(cos nt)t二 F1 osin 汕- )d(t- )ttffX(t) = 0F1

25、(t)h(t- .)d . t-F2(t)h(t- .)d.普cos n(t-t1)普1-cos(tj)0t1t1ttX(t)= F1(t)h(t-Jd -F2(t)h(t-Jd .o*h(. %)0t1t2二?cos n(t -切cos nt -等cos n(t t2) cos n(t t)bF()呻 F(t-J 诃(t)tt FX= .F(t)h(t-J+0#(t- )dcos nt二 01 _ sin J R t1cto后的响应。2.44如图T2.44所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的锯齿波, 求系统的稳态响应。2.45证明式(2.136),即卷积积分满足交换律h(t) F(

26、t) = F(t) h(t)3.1如图所示扭转系统。设h =212；6 =kt21 写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；2.写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图-0-0(kt1kt2)3 - 煜匕=0-kt 2円kt2r2 =0所以：M】|000 I 22_kt2kt2解: 1）以静平衡位置为原点，设Ii,l2的转角为广义坐标，画出Il,l2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程：li出 & 弓心（冃-二2）= 0131，即：I2 2 昆佗-3） =0l24l-0-0Ml J - IK 1 3 =o系统运动微分方程可写为:2）设系统固有振动的解为:&卜仆5，代入（a可得:(b)得到频

27、率方程：L（-2）=2kt1 -2 2I2一 6哋J或者采用能量法：系统的动能和势能分别为匚 _ 1丨 2I 2ET 丨1斗I 22 21 2 1 2 1 2 1 2U =2匕户12匕2（刊一玉）=2（kt1kt2122出-ktpp2求偏导也可以得到I.M 1,1K 1由于 11 = 212； kti = kt2，所以M = 12 .I。i-0-0即：L(2) =21养4 _4kt1I2 .2 kt12 =0-0解得:2-1,24612 二 1. (4 KJ 2) 4 212&(2 二、.2) kt12匚41；所以:(2- . 2) kti将( C)-26 2.-?1-_?2 - 2 1 2

28、代入(b)可得： ,|(22) 6 .L 2 I2Ki(2,2)kti(c)解得：鱼 2U212U12冷2U222令u2 =1，得到系统的振型为:-0.7071Ui =0U23.2求图所示系统的固有频率和振型。设m! =3m2；k3 =3k3ki。并画出振型图解:体,1）以静平衡位置为原点，设 mi,m2的位移x1,x2为广义坐标，画出mi,m2隔离根据牛顿第二定律得到运动微分方程:mX kx k2（x -x2）=o2X2 k2（% -xj ksX2 =0b 0 忌=广2-k2|o叫-_k2k2 十 k3 一所以：M .1 -Xi系统运动微分方程可写为：Ml IK 1=0UJlX2j或者采用能

29、量法：系统的动能和势能分别为Et *miXi * m2X22 221212U 二 kiXi k2（Xi X2） 5X3X2求偏导也可以得到l-M 1,1K 1X2由于 mi = 3m2； k = 3k = 3ki ，2）设系统固有振动的解为:X = Ui cos t，代入(a)可得:X2U2(b)得到频率方程：L（ 2）=22k2 -3 -_k2k224k2 - -叫=0即：L( 2) =3m； 4 14k2m2 2 7k22 =0解得：2 14k2m2 二、(14k2m2)2-4 3m| 7k22 (7 二 2 , 7) k21,2 _6m；-3（7 一27） k2 m2将（c）代入（b）可

30、得:r2k23g k23皿 m24k22,7 5Ul2U22令U2 =1，得到系统的振型为（7 2 戸）k2m2（c）（7一2、7）U2m25-2 7Ls3.3如图所示弹簧质量系统，写出系统的频率方程并求出固 有频率和振型，画出振型图。解：以静平衡位置为原点，设 mi,m2的位移x“X2为广义坐标, 系统的动能和势能分别为Et 二-mXi m1 mX222 21 2 1 2Ukx1k(x1 -x2)mg(x1 x2)求得：Mi1K = k|2 I0 1 -1 1系统运动微分方程可写为:丄*I i xMlK 1= 0x2X2x2(a)设系统固有振动的解为:x =严co&.jt，代入(a)可得:x

31、2u2(K ?2 IM 1) U1MJ(b)得到频率方程：L(-2)=22k - m-k即：L(灼2)=m2国4 _3加豹2+k2 =0解得：叫/(3 一、5) k所以:(c)将( c)代入(b)可得:kLmmU12U22U1 “U2解得:U11. 5 _1U212令U2 =1，得到系统的振型为:v3.4如图T 3.4所示，由一弹簧是连接两个质量 mi, m2构成的系统以速度 撞击制动器ki，求传到基础上的力的最大值。设 v为常数且弹簧无初始变形, 并设 mi=m2 与 ki=2k。kWWmin r ivA/vmE/ / /3.5求图所示系统的固有频率和振型，并画出振型图。设杆质量分布均匀。C

32、wL3.6求图所示系统当左边质量有初始位移A而其余初始条件均为零时的响应3.7如图T3.7所示由弹簧耦合的双摆，杆长为 L1 写出系统的刚度矩阵、质量矩阵和频率方程；2. 求出固有频率和振型；3. 讨论是值改变对固有频率的影响。解:4.1按定义求如图所示三自由度弹簧质量系统的刚度矩阵，并用能量法检验。 求系统的固有频率和振型。(设 mn = m3 二 m; m2 二 2m; k =k k; k2 = k3 = 2k; k k 3k;)解：1）以静平衡位置为原点，设m1,m2, m3的位移X|,x2,x3为广义坐标，画出mi,m2, m3隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程:m1Xi k1x

33、1 k2(Xr -x2) = 02X2 k2(X2 -xj k3(X2 -X3) k5X2 k6X2 =0 口3幕 k3(X3 -X2) k4X3所以：00 1f10010m20=m020o0m3_00d_k2I.M 丨=- k20k2k3k5k6_k3kik2-3-20=k-210-2J 0_230- k3k3k4Xi系统运动微分方程可写为:叫H叫I卜0(a)X2或者采用能量法：系统的动能和势能分别为Et = miXi2口2只22msXs22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 U 二-k1X12-k2(xX2)2-k3(X2-X3)2-k4X32-(k5k6)X2222222121212U =2(k1k2)X12(k2k3k5k6)X2?(k3k4)X3-k2X1X2-k3X2X3求偏导也可以得到I.M 1,1K 12）设系统固有振动的解为:x2= u2 cos t，代入(a)得:lX3 J IU3 I (IK co2 M )仙2 = O (b) 23km-2k03)=-2k210k -2 m-2 k=00-2k3k -国 2m得到频率方程:即：L(2) =(3k - 2m)(2m2 4 -16k